Основы электротехники

Основы электротехники

Задача 1

Дано: Схема (а):

; ;Е=12 В.

Решение:

1.Выберем произвольно в ветвях положительные направления токов и промаркируем их:.

2.Преобразуем поэтапно исходную схему в одноконтурную схему. Последовательность преобразований имеет вид:

3.Определим ток и напряжение на участке 1-2 одноконтурной схемы:

4.Определим токи и :

5.Проверим полученные результаты с помощью первого закона Кирхгофа. Для узла 1, имеем:

Все верно.

Задача 2

Дано: Схема

Решение:

Решим задачу с помощью векторной диаграммы. На основании второго закона Кирхгофа () строим векторную диаграмму напряжений.

Для этого проводим в произвольном направлении вектор тока, действующее значение которого .

Вектор напряжения совпадает по фазе с вектором (как напряжение на активном сопротивлении), поэтому откладываем вдоль в принятом масштабе напряжений. Векторы и действующих значений напряжений опережают вектор тока по фазе (как напряжение индуктивной цепи) и поэтому откладываем их от вектора против часовой стрелки. Из начала вектора описываем циркулем дугу окружности радиусом , а из конца вектора - дугу окружности радиусом . Пересечение этих двух дуг определяет положение векторов и на векторной диаграмме. Затем с конца опускаем перпендикуляр на направление вектора и таким образом разлагаем вектор на две составляющие: вектор , совпадающий по фазе с вектором тока , и вектор , опережающий на . Измерив длину этих векторов линейкой, получаем и .

Теперь находим активное и индуктивное сопротивление катушки:

Индуктивность катушки

Проверку вычислений производим по формуле

что совпадает со значениями полного сопротивления цепи, полученным в результате непосредственных измерений:

Задача 3

Дано: Схема:

U=40 В, R=1 Oм, L=1.59 Гн, С=796 мкФ, f=100 Гц

Решение:

1.Определяем комплексные сопротивления активных и реактивных элементов схемы:

,

.

2.Определяем комплексные сопротивления всех ветвей цепи:

ветвь RL: .

ветвь C: .

3.Определяем комплексное сопротивление цепи:

.

Здесь 0.002 активное сопротивление, Ом; 1996 реактивное сопротивление Ом; знак "-" у реактивного сопротивления показывает, что цепь имеет емносной характер.

.Определяем комплексное действующее значение тока всей цепи.

.

Здесь начальная фаза напряжения принята равной нулю u = 0.

Показание амперметра А1 составляет I1 = -0.02 A.

.Определяем комплексное действующее значение тока в ветви RL:

Показание амперметра А2 составляет I2 = A.

.Определяем комплексное действующее значение тока в ветви C:

Показание амперметра А3 составляет I3 =-20 A.

.Определяем комплексную мощность цепи.

.

Таким образом, полная мощность цепи S = 0.8 ВА; активная мощность цепи P = 0 Bт; реактивная мощность цепи Q = 0.08 ВАр. Знак "-" у реактивной мощности указывает на емносной характер цепи.

Задача 4

Дано: Схема:

; ;

Решение:

Определяем угловую резонансную частоту цепи:

Определяем действующее значение тока в цепи при резонансе:

Определяем действующие значения напряжений на каждом из элементов цепи при резонансе:

Проверку вычислений производим по формуле:

Строим на основании полученных данных векторную диаграмму цепи. Предварительно выбираем масштабы тока и напряжения так, чтобы диаграмма расположилась на половине тетрадного листа. В нашем примере принимаем, что масштаб тока mi = 0,01 А/см, а масштаб напряжения mu = 150 В/см. Из диаграммы видно, что при резонансе векторы действующих значений напряжений на индуктивности и на емкости численно равны между собой и находятся в противофазе друг к другу (т.е. под углом 180°). При этом UL − UC = 0, поэтому показания вольтметра электромагнитной системы составляет ноль вольт.

Рассчитываем и строим частотные характеристики полного сопротивления цепи z(ω), тока I(ω) и угла сдвига фаз ϕ(ω) в пределах от 0,3/ω0 до 2/ω0. Для их построения воспользуемся формулами (4.3), (4.4) и (4.5). Результаты расчетов сведем в таблицу. Частотные характеристики, построенные по данным таблицы показаны на рисунку.

Расчетные величины частота 1/сXL, ОмXС, Омz, ОмI, Aϕ, град0,3 ω0 =949400106383969830,000155-890,6 ω0 =1891890052910340110,000441-880,8 ω0 =2522520039682144860,001035-881 ω0 =31631600316453520,042498-71,3 ω0 =4114110024330167720,000894+881,6 ω0 =5055050019801307000,000489+882 ω0 =6326320015822473780,000317+89

Рассчитаем величину добротности по соотношению:

Определяем величину добротности Q по графику тока I, представленному на рисунку. Для этого на уровне проводим горизонтальную линию до пересечения ее с кривой тока I.

Отрезок ab этой линии определяет величину абсолютной полосы

пропускания 3,5. В соответствии с (4.10) имеем

Эта величина сходится со значением Q, полученным аналитически в решения данной задачи.

Задача 5

Дано: Схема

Решение:

Вначале преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС:

В результате преобразования получилась цепь, показанная на рисунку

Для этой цепи составляем систему из пяти уравнений (пять ветвей, т.е. пять неизвестных токов). По первому закону Кирхгофа составляем два уравнения для узлов 1 и 2, а по второму закону Кирхгофа для трех произвольно выбранных контуров − левого (I), среднего (II) и правого (III), предварительно выбрав направление токов

во всех ветвях цепи и направление обхода выбранных контуров, как это показано на рисунку.

Расставив все токи в порядке возрастания номеров, получим

Составляем квадратную матрицу Z коэффициентов в уравнениях, записанных по законам Кирхгофа:

Здесь: а) элементы матрицы, полученные по 1-му закону Кирхгофа, являются безразмерными величинами (±1 или 0) и имеют знак (+) или (−) соответствующий знаку токов, входящих в эти уравнения; б) элементы матрицы, соответствующие коэффициентам уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, имеют размерность сопротивлений и равны нулю, если в рассматриваемый контур эти элементы входят. Таким образом, матричная форма системы уравнений данной задачи:

Дано: Схема

сопротивление резонансный ток цепь

Решение:

1.Выбираем (произвольно) направление токов во всех ветвях цепи, а также независимые контуры и направление контурных токов. Рассматривая контуры в порядке I, II, III и т.д. находим, что только эти три первые контура являются независимыми. Выбранные направления токов ветвей и направление контурных токов показаны на рис.

2.Составляем систему из трех уравнений по методу контурных токов.

,

,

,

,

,

,

B.

В данной цепи имеется источник тока. Он создает свой контур (выбирается произвольно) с известным контурным током . Выбираем этот контур (из соображений простоты вычислений), состоящий из источника J&и сопротивления R между узлами 1 и 3. В этом сопротивлении возникает дополнительное напряжение RJ&, взятое со знаком (), поскольку оно направлено против контурного тока

Это напряжение добавляется в левую часть уравнения для первого контура. Величина этого напряжения известна, поэтому его можно перенести в правую часть первого уравнения со знаком (+):

Итак, получаем следующую систему уравнений (с учетом, что RJ перенесено в правую часть третьего уравнения):

Для определения контурных токов воспользуемся теорией определителей

.

Задача 7

Дано: Схема

;

Решение:

Исходную схему заменим эквивалентной схемой, состоящей из последовательно соединенных ЕГ и RГ.

Для определения ЕГ проведем мысленно опыт холостого хода. С этой целью на схеме отсоединим от выводов 1-2 сопротивление RН.

При этом напряжение, возникшее между выводами 1-2, является напряжением UХХ холостого хода, и оно будет равно ЭДС эквивалентного источника: UХХ = ЕГ.

Напряжение UХХ можно определить из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для контура, в который входят U1, UХХ источники Е1

и Е2:

где a

После подстановки численных значений источников и резистивных

элементов получим:

Для определения RГ выполним опыт короткого замыкания. Для этого в исходной схеме (рис. 7.3,а) заменим источники Е1 и Е2 перемычками.

Тогда входное сопротивление такой схемы относительно зажимов

-2 будет равно сопротивлению RГ:

Находим ток в ветви 1-2, используя формулу:

Задача 8

Дано: Вариант І;

Решение:

а) Расчет трехфазной цепи при симметричном режиме работы

При таком режиме

Определяем комплексные значения фазных ЭДС генератора по формуле:

Определяем комплексные действующие значения линейных напряжений генератора формулы:

B

B

В качестве проверки расчетов найдем, что

Определяем комплексное действующее значение напряжения между нейтральными точками приемника 0′ и генератора 0, используя формулу:

Здесь

Определяем комплексные действующие значения токов в линейных проводах, формулы.

Для контура 0AA0′ по 2-му закону Кирхгофа имеем:

Откуда .

Аналогично:

Из приведенных выше расчетов следует, что величины действующих значений токов во всех трех фазах цепи (т.е. показания амперметров электромагнитной системы) при симметричном режиме ее работы одинаковы а векторы фазных токов сдвинуты друг относительно друга по фазе на 120°. Легко заметить, что , поэтому тока в нейтральном проводе нет и, следовательно, при симметричном режиме работы цепи нейтральный провод не нужен.

Определяем действующие значения фазных напряжений приемника, формулы:

Из этих расчетов следует, что величины действующих значений фазных напряжений (т.е. показания вольтметров электромагнитной системы) во всех трех фазах одинаковы: , а векторы этих напряжений сдвинуты друг относительно друга по фазе на 120°. При этом в каждой фазе векторы тока и напряжения совпадают по фазе, как это и должно быть в цепи только с активным сопротивлением.

Векторная диаграмма токов и напряжений трехфазной цепи при симметричном режиме ее работы (два варианта) показана на рисунку, причем вектор направлен по оси вещественных. Векторная диаграмма показывает, что при симметричном режиме работы достаточно провести расчет для одной фазы. В двух других фазах действующие значения тока и напряжения равны по величине току и напряжению первой фазы, но сдвинуты относительно их по фазе на +120° и −120°.

б. Расчет трехфазной цепи при обрыве фазы В и отсутствии нулевого провода

При таком режиме работы (), () и

Определяем комплексное действующее значение узлового напряжения , формула:

Здесь .

Определяем комплексные действующие значения токов в линейных проводах, формулы:

Ток в фазе А:

Ток в фазе В: так как

Ток в фазе С:

Действующие значения фазных токов при этом режиме работы (показания амперметров электромагнитной системы): в фазе А IA = 33 А; в фазе В IB = 0 A и в фазе С IC = 19 A. Действующие значения токов в фазах В и С составляют 0,87 от их значения при симметричном режиме работы.

Определяем комплексные действующие значения фазных напряжений,

Формулы.

Напряжение на фазе А: