Модели фрактальной поверхности

Модели фрактальной поверхности

Реферат

Модели фрактальной поверхности

1. Основные положения

Топография поверхности описывается с помощью двух функций: распределения материала h(e) по высоте шероховатого слоя и распределения материала Ф(e) по высоте единичного выступа, определяемого формой выступа.

Анализ топографии большинства инженерных поверхностей показал, что реальное распределение материала в шероховатом слое подчиняется бета-распределению. Характер деформации единичного выступа зависит от его формы и величины сближения. Приняв модель выступа (или его вершину) в виде сферического сегмента, можно найти его состояние в зависимости от величины деформации. Так, упругое состояние определяется теорией Герца, при пластической деформации давление на выступе принимается равным максимальной твердости по Майеру, а при упругопластической деформации связь между нагрузкой и размером отпечатка при вдавливании шара в полупространство определяется эмпирической формулой Майера

где F - нагрузка; g − коэффициент, зависящий от диаметра шара; 2ap − диаметр отпечатка; n − показатель степени, характеризующий упрочнение материала.

Представление поверхности как фрактального объекта позволяет учесть особенности структуры поверхностного слоя. Реальная инженерная поверхность может быть частично фрактальной. Ее структура описывается случайным процессом, содержащим нерегулярные (или хаотические) геометрические компоненты разных масштабов. Математические модели идеальных фрактальных поверхностей учитывают различный уровень детализации геометрической структуры поверхности (в том числе шероховатость и субмикрошероховатость).

Самоподобная поверхность имеет такие же топографические особенности и повторения в статистическом аспекте в широком диапазоне масштабов. Запись профилограммы осуществляется в разных масштабах увеличения в вертикальном и горизонтальном направлениях. В этом случае можно говорить о самоаффинном подобии профиля реальной поверхности и ее записи. Соотношение между высотными и шаговыми параметрами профиля имеет вид

,

где b - коэффициент увеличения (уменьшения); Н - показатель Херста.

. Конструирование кривой Коха (von Koch)

Фрактальная кривая Коха и процедура ее построения понятны из рис. 1.

Рис. 1. Кривая Коха

На первом этапе (Е0) отрезок единичной длины делится на три части. Затем центральная часть замещается (этап Е1) двумя отрезками длиной 1/3, и длина полученной кривой становится равной 4(1/3). На этапе Е2 длина кривой будет равна 16(1/9).

Здесь N=16 - число отрезков, длина отрезка L*=(1/3)2. Для следующих этапов длина отрезка L*=(1/3)m, где m - номер этапа, а N - число отрезков данной кривой.

Усложнение "кривой" происходит при использовании той же процедуры, что и при построении кривой на предыдущих этапах.

Фрактальная размерность кривой Коха равна

. Случайная фрактальная кривая

Случайная кривая Коха имеет вид (рис. 2).

Многие из фрактальных объектов имеют случайные аналоги. Так, в кривой Коха каждый раз, когда среднюю треть интервала заменяют двумя другими сторонами равностороннего треугольника, можно, бросив монету, решить с вероятностью 1/2, поместить ли новую часть "выше" или "ниже" удаленной части.

После нескольких этапов получается довольно нерегулярная кривая.

Рис. 2. Случайная кривая Коха

Пусть С - случайная величина, распределенная равномерно на отрезке [0, 1/3]. Пусть также Е0 - отрезок единичной длины. Построение Е1 проводится путем удаления средней части с вероятностью С и замещением ее двумя отрезками с образованием равностороннего треугольника.

Эта процедура повторяется для каждого из четырех отрезков при создании очередной формы кривой. Высота равностороннего треугольника в средней части Е1 равна (1/6).

На каждом этапе конструирования кривой отрезок длиной L замещается четырьмя отрезками, имеющими длины (½)(1-С)L; CL; CL; (½)(1-С)L.

Так, при числе отрезков (форма Е1) m=4 и вероятностях С1=С4=(½)(1-С); С2=С3=С, где С - равномерно распределенная величина на отрезке [0, 1/3], имеем размерность по Хаусдорфу (S= dimH), определяемую по формуле:

или

Решение этого уравнения дает величину размерности по Хаусдорфу, равную dimH=1,144.

. Броуновские поверхности (Brownian surfaces)

Броуновское движение на отрезке [0, π] выразим с помощью рядов Фурье

где Ck - случайная величина, имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 0, и дисперсией, равной 1.

На рис. 3 представлены примеры функций, отражающих броуновское движение.

Размерность по Хаусдорфу броуновской функции dimH=1,

Функция броуновского движения при всей ее важности в ряде случаев используется ограниченно.

Броуновская функция имеет размерность 1, Практический интерес представляет моделирование других случайных функции с другой размерностью

dimH=2-α (при 0<α<1).

Рис. 3. Броуновское движение

На рис. 4 показаны случайные функции, отличающиеся от броуновской функции, для которой индекс α=0,5

Рис. 4. Случайные функции с разным индексом α

Другим методом моделирования функций с индексом α является метод, предложенный Вейерштрассом и содержащий случайную составляющую

Здесь λ>1; Ck - независимая случайная величина с нормальным распределением с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1; Ak - случайная фаза, имеющая равномерное распределение на [0, 2π].

. Броуновские поверхности

В общем случае поверхность, имеющая индекс α и размерность (3-α), может быть представлена функцией:

где Ck - случайная величина, имеющая нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, равной 1; Ak, Bk - случайные величины, имеющие равномерное распределение на [0, 2π].

На рис. 5 даны реализации случайных поверхностей с разными индексами α (размерностью 3-α).

Рис. Поверхности с индексом (размерностью):

а - α=0,5 (D=3-0,5=2,5); б − α=0,8 (D=2,2)

. Функции Вейерштрасса-Мандельброта

Профиль инженерной поверхности может быть описан уравнением Вейерштрасса-Мандельброта

.

Здесь G - фрактальный параметр шероховатости; D - фрактальная размерность профиля (1 < D < 2); g - масштабный параметр (g > 1); gn - определяет частотный спектр профиля шероховатой поверхности (g > 1).

К параметрам, характеризующим профиль шероховатой поверхности, следует отнести G, D и n. По мнению А. Маджумдара, подходящим значением для описания профиля является величина g = 1,

Нижний предел суммирования в уравнении Вейерштрасса-Мандельброта связан с первым кроссовером (рис. 1.3) и равен

где L - длина выборки (расстояние между двумя кроссоверами).

На рис. 6 представлены профили поверхностей при разной фрактальной размерности, полученные с помощью функции Вейерштрасса-Мандельброта.

Рис. 6. Профили поверхностей при фрактальной размерности:

А. Маджумдар предложил связать статистические показатели поверхности с фрактальными параметрами.

Так, связь между средним квадратическим отклонением ординат профиля σ и мощностью спектральной функции S(ω) имеет вид

Здесь wmin и wmax - низшая и наибольшая частоты.

В расчетах обычно принимают выборочное значение (оценку) среднего квадратического отклонения, т.е. σ = Rq. Наибольшая частота связана с разрешающей способностью инструмента измерения (радиусом щупа), а низшая - с длиной выборки.

Мощность спектральной функции Вейерштрасса-Мандельброта определяется выражением

Учитывая, что σ = Rq, и, произведя несложные преобразования, запишем:

деформация фрактальный поверхность броуновский

Проинтегрировав, получим:

Откуда фрактальный параметр шероховатости будет равен

Для инженерных поверхностей параметр G (по данным Д. Павелеску) изменяется в пределах от G=9,9·10-16 до 1,2·10-2 мкм.

При g =1,5; Rq=1,5 мкм; D=1,1; wmin=1/8 мкм и wmin=1/400 мкм имеем G=6,27·10-7.

Изменяя Rq при неизменяемых значениях D и w, параметр G будет равен:

В работе Павелеску и Тудора (D.Pavelescu, A. Tudor) отмечается существенная разница в оценке параметров шероховатости при использовании фрактального и статистического методов.

В табл. 1 приведены некоторые формулы для определения параметров шероховатости.

Таблица 1

Сравнительная оценка параметров шероховатости

В табл. 2 приведем (по Я.А. Рудзиту) средние значения некоторых параметров шероховатости: Rq - среднее квадратическое отклонение ординат профиля, Ra - среднее арифметическое отклонение, Rmax - наибольшая высота неровностей, n(0), m, s - соответственно число нулей, максимумов, число перегибов на единицу длины.

Фрактальная модель поверхности имеет вид

,

где сz - сомножитель; q>1 - параметр пространственно-частотного масштабирования; D - фрактальная размерность (2<D<3); N,M - число гармоник; K - основное пространственное волновое число; θnm - случайная фаза, распределенная равномерно в интервале [-π, +π].

Таблица 2

Средние значения параметров шероховатости

Сомножитель cz определяется из соотношения (А.А. Потапов, А.В. Лактюнькин)

.

Данная функция содержит в себе как случайную структуру, так и детерминированную составляющую, отражая особенности некоторых инженерных поверхностей.

Функция Z(x,y) является анизотропной в двух направлениях, если N и M не очень велики.

Поверхности, полученные с помощью этой функции без учета θnm и при N=M=4, приведены на рис. 7 и 8.

Рис. 7. Модели поверхности при N=M=20; q=2,7: а - D=2,5; б - D=2,2

Рис. 8. Модели поверхности при N=M=5; q=2,7: а - D=2,5; б - D=2,2

Список литературы

1.      Бутаков В. Оценка уровня стохастичности временных рядов произвольного происхождения при помощи показателя Хёрста / В. Бутаков, А. Грановский // Computer Modelling and New Technologies. - 200 - Vol.9. - №2. - 27-32.

2.      Sayles R.S. Surface topography as a nonstationary random process / R.S. Sayles, T.R. Thomas // Nature. - 1978. - 271. - 431-434.

3.      Маджумдар М. Фрактальная модель упругопластического контакта шероховатых поверхностей / М. Маджумдар, Б. Бхушан // Современное машиностроение. − 1991. − №6. − С. 11-23.

4.      Pavelescu D. On the roughness fractal character, the tribological parameters and the error factors/D/ Pavelescu, A. Tudor // Proceedings of the Romanian Academy, Ser. A. - 2004. -Vol. - №2.

5.      Рудзит Я.А. Микрогеометрия и контактное взаимодействие поверхностей / Я.А. Рудзит.- Рига: Изд-во "Зинатне", 197-210 с.

.        Потапов А.А. Теория рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью / А.А. Потапов, А.В. Лактюнькин // Нелинейный мир. - 2008. - Т. 6. - №1. - С. 3-36.