Топографические параметры инженерных поверхностей

Топографические параметры инженерных поверхностей

Контрольная работа

Топографические параметры инженерных поверхностей

Содержание

Введение

. 2D анализ поверхности

. Сравнение методов оценки фрактальной размерности профиля инженерной поверхности

. 3D инженерная поверхность

. Моделирование поверхности при решении контактных задач с учетом шероховатости

Список литературы

Введение

Качество поверхностного слоя деталей машин определяет эксплуатационные свойства деталей и узлов машин. Показателями качества являются либо отдельные параметры, либо комплексы, отражающие особенности геометрической структуры поверхности, физико-механические и химические свойства поверхностного слоя, а также остаточные напряжения в нём.

Инженерные поверхности представляют собой мультифрактальные объекты, учитывающие макрогеометрию, волнистость, шероховатость и субшероховатость (соответственно миллиметровая, микрометровая и нанометровая шкалы измерения). В зависимости от задачи исследования используют одно- или многоуровневые модели поверхности.

В дополнение к известным по ГОСТ 2789-73 параметрам шероховатости следует использовать фрактальные показатели поверхности, в частности размерность D, которая является дробной.

1. 2D анализ поверхности

На рис. 1 представлена профилограмма шероховатой поверхности, выполненная в разных шкалах измерения в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Распределение ординат профиля (рис. 2) обычно подчиняется нормальному закону. При этом распределение ординат вершин выступов может отличаться от нормального закона. В ряде случаев это распределение соответствует бета-распределению.

Рис. 1. Профилограмма поверхности

Рис. 2. Гистограмма распределения ординат профиля

Приведем основные параметры (по ГОСТ 2789-73), полученные на основе анализа профилограммы:

-       амплитудные (высотные) - Ra - среднее арифметическое отклонение профиля; Rmax - наибольшая высота профиля; Rz − высота неровностей профиля по десяти точкам;

-       шаговые - Sm - средний шаг неровностей профиля; S − средний шаг местных выступов профиля;

-       гибридные - t_p - относительная опорная длина профиля (на уровне сечения профиля р от линии выступов профиля), равная отношению опорной длины профиля к базовой длине (рис. 3).

Рис. 3. Опорная кривая (Абботт-Фейерстоун)

Здесь уровень р=1 соответствует линии впадин.

К дополнительным статистическим параметрам отнесем асимметрию и эксцесс. На рис. 4 и 5 показаны кривые плотности распределения ординат профиля с разными значениями коэффициентов асимметрии и эксцесса.

Рис. 4. Плотность распределения p(z) ординат профиля при разном значении коэффициента асимметрии

Рис. 5. Плотность распределения ординат профиля с разным эксцессом

Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле

В дискретной форме коэффициент асимметрии равен

Здесь z - ордината профиля;  − среднее арифметическое значение ординат.

Эксцесс определяется выражением

В дискретной форме это выражение имеет вид

При Ku=3 плотность распределения ординат подчиняется нормальному закону. На рис. 6 представлены копии профилограмм с разными коэффициентами асимметрии и эксцесса.

Отметим, что при решении инженерных задач, когда эксплуатационные свойства детали или узла определяются главным образом качеством поверхностного слоя, выбор параметров топографии зависит от постановки самой задачи и точности полученного решения.

При разном соотношении вертикального (ВУ) и горизонтального (ГУ) увеличений форма профиля становится разной (рис. 7). Соответственно топографические параметры оказываются зависимыми от масштаба измерения. Так, при увеличении участка поверхности проявляются все более мелкие детали, наблюдается рост средних квадратических значений кривизны вершин выступов и наклон [1].

Рис. 6. Профили инженерных поверхностей при разных значениях эксцесса и асимметрии

Рис. 7. Профиль инженерной поверхности при разном увеличении

Масштабная зависимость основных и необходимых для моделирования процесса контактного взаимодействия параметров может приводить к неоднозначным результатам для пары шероховатых поверхностей. Обращает на себя внимание тот факт, что увеличение масштаба приводит к большей детализации структурных особенностей поверхности, причем эти структурные особенности повторяются вплоть до нанометрических масштабов. Самоаффинность (рис. 8) обусловлена сходством внешнего вида профиля при разных увеличениях. Фрактальная характеристика шероховатой поверхности не зависит от масштаба. К подобной характеристике относят фрактальную размерность. Самоподобная поверхность - это поверхность, когда часть повторяет целое и увеличение по всем трем осям одинаково, самоаффинные поверхности характеризуются неодинаковым увеличением: в плоскости ХОY имеем X=ζx; Y=ζy; в плоскости XYZ - Z=ζ^Hz, где ζ - увеличение.

Рис. 8. Похожая структура при разном увеличении (скейлинге)

Фрактальная размерность является очень информативным параметром, описывающим сложную геометрию поверхности деталей машин и механизмов. Наряду с существующими параметрами и показателями качества поверхности деталей, фрактальная размерность является мощным средством при описании геометрии поверхностей с учётом их трёхмерной (пространственной) структуры. Она может широко использоваться при проектировании и создании трёхмерных моделей поверхности, имитационном моделировании течения рабочих сред в пористом слое, в контактных задачах и при решении многих других технических проблем.

2. Сравнение методов оценки фрактальной размерности профиля инженерной поверхности

Для определения фрактальной размерности используются различные аналитические и расчётные методы оценки. Рассмотрим три метода оценки фрактальной размерности применительно к обработке данных на ЭВМ и приведем сравнительные оценки этих методов.

Исходными данными для определения фрактальной размерности является информация о поверхности в виде совокупности ординат поверхности в специальном формате. Данные после оцифровки поверхности записывались в формате «map». В процессе исследований была сформирована база данных по некоторым поверхностям с разными видами обработки.

При нахождении фрактальной размерности профиля рассматривались следующие методы.

.        Метод отрезков (yardstick method) заключается в измерении выделенного фрагмента фрактальной кривой длиной L отрезками размером r. Число отрезков n, необходимых для измерения длины исследуемой кривой, концы которых находятся на профиле (рис. 9), нелинейно растёт с уменьшением длины отрезка r. Зависимость длины l=n·r от r в двойных логарифмических координатах позволяет вычислить фрактальную размерность профиля как

Следует учесть, что данный метод применим только для самоподобных кривых. Для самоафинного профиля следует учесть разные масштабы в вертикальном и горизонтальном направлениях профиля.

.        Метод покрытий очень похож на метод «yardstick» и отличается тем, что отрезок, которым измеряют длину выделенного фрагмента фрактальной кривой, лежит на ней, нигде не пересекая её, а лишь касаясь профиля. Пример метода покрытия представлен на рис.

Рис. 9. Метод отрезков

Рис. 10 Метод покрытий

Как и в методе отрезков, в методе покрытий строят в двойных логарифмических координатах зависимость длины профиля l=n*r от числа покрытий r, откуда по углу средней линии графика определяют фрактальную размерность.

3.      Метод нормированного размаха, или метод Хёрста. Суть метода Хёрста заключается в нахождении среднего выборочного значения высот профиля Х на исследуемой длине L как . Тогда накопившееся отклонение высот профиля X(t) от среднего значения будет равно . Выражение для размаха имеет вид R(L)=max X(l,L)-min X(l,L).

Нормированный размах хорошо описывается степенной зависимостью , где H - показатель Хёрста, связанный с фрактальной размерностью как D = 2-H.

Результаты сравнительных исследований представлены в таблице 1.

Наиболее точным и простым в использовании является метод спектральной плотности для определения фрактальной размерности профиля поверхности, и метод периметр-площадь - для определения фрактальной размерности 3D поверхности.

Представленные методы дают возможность определить фрактальную размерность инженерных поверхностей и их профилей, что позволяет с новых позиций рассматривать вопросы моделирования контакта шероховатых поверхностей, процессов трения и протекания жидких сред через стык сопряжённых поверхностей, а также повышать точность расчётов, связанных с определением фактических пятен контакта и контактных давлений.

Таблица 1 Сравнительная оценка методов

Тип обработки

D заданная

Оценка отрезками

Оценка покрытиями

Метод Хёрста

Спектральная плотность

Периметр-площадь

1

Фрезерование

1,3

1,295

1,283

1,279

1,289

2,42

2

Электроэррозионная

1,25

1,262

1,229

1,285

1,262

2,31

3

Точение чистовое

1,2

1,232

1,17

1,34

1,22

2,24

Алгоритмы оценки фрактальной размерности представлены в виде блок-схемы (рис. 11, 12). Процедура определения фрактальной размерности по методу отрезков выполняется следующим образом.

.        Выделяем исходную длину профилограммы L=2r, которую приравниваем к единице.

.        Выбираем отрезок r<L/2, считая, что r = k∙L/2, где k=0,5;0,4; …;0,01.

.        Подсчитываем число окружностей n(r) радиусом r, с помощью которых измерялась длина выделенного участка профиля.

.        Находим два кроссовера (переход от номинально гладкой поверхности к шероховатой и от шероховатости к субшероховатости), построив график зависимости n(r) от r в логарифмических координатах. В этих пределах (между двумя переходами) необходимо определить уравнение линии тренда линейной зависимости. Угловой коэффициент К линии тренда будет иметь отрицательное значение. Связь углового коэффициента с фрактальной размерностью профиля будет иметь вид D = 1 - 2·K, 1 < D < 2.

.        Повторяем пункты 1 - 4 для следующих трасс поверхности. Результатом будет число фрактальной размерности, полученное по методу наименьших квадратов из совокупности результатов, найденных в пунктах 1 - 4

Рис. 11. Блок-схема метода расчёта фрактальной размерности по Хёрсту

инженерный поверхность шероховатость фрактальный

Процедура оценки фрактальной размерности методом отрезков представлена блок-схемой (рис. 12).

Метод покрытий основан на тех же процедурах, что и метод отрезков. Существенным отличием метода покрытий является то, что отрезки не пересекают профиль поверхности, а покрывают её, касаясь в возможных опорных точках. Положение первого отрезка рассчитывается с учётом его центра тяжести и профиля изучаемой поверхности. Отрезок ориентируется на поверхности профиля, касаясь их в двух точках, без учёта силы трения.

Рис. 12. Блок-схема определения фрактальной размерности по методу отрезков

Положение следующих отрезков ориентируется в зависимости от конечной точки предыдущего отрезка и профилограммы поверхности. Профиль поверхности покрывается числом n отрезков размера r. С уменьшением размера r отрезков они всё ближе и ближе повторяют контур поверхности. Результатом, как и в предыдущем методе, является зависимость  от . По углу наклона линии тренда на построенном графике можно судить о фрактальной размерности профиля поверхности: D = 1 - 2K, 1 < D < 2. Повторив перечисленную процедуру для других трасс оцифрованной поверхности и обработав данные по методу наименьших квадратов, можно найти фрактальную размерность профиля поверхности D = 2 - 2Ks, 1 < D < 2, где Ks - среднее значение угла наклона линии тренда. По описанным методам была разработана программа, позволяющая выполнить данные расчёты (рис. 13).

Рис. 13. Пример определения фрактальной размерности по методам отрезков и покрытия

С помощью представленной программы был проведен ряд экспериментов на поверхностях из базы данных, сравнительные результаты которых показаны в табл. 2.

Таблица 2 Определение фрактальной размерности разными методами

Анализ разных методов показывает, что в ряде случаев для распространенных видов обработки поверхности фрактальная размерность имеет практически одинаковое значение.

. 3D инженерная поверхность

На рис. 14 представлен трехмерный участок поверхности размером (N_x·Δx) x (N_y·Δy).

Рис. 14. К анализу топографии поверхности

•        дисперсию

·        среднее квадратическое значение наклона вдоль оси х

·        среднее квадратическое значение наклона вдоль оси y

;

·        среднее квадратическое значение кривизны по направлению оси x

;

·        среднее квадратическое значение кривизны по направлению оси y

.

Здесь E{…} - математическое ожидание; σ - среднее квадратическое значение ординат поверхности (при ограниченной выборке в расчетах используют Rq). Для анизотропных поверхностей существует два ортогональных направления, называемых главными, вдоль которых вторые спектральные моменты m₂₀ или m₀₂ будут иметь максимальное и минимальное значения вдоль всех возможных направлений.

Часто приходится анизотропную поверхность приводить к изотропной. В этом случае спектральные моменты приведенной изотропной поверхности определяются из выражений [2]:

.

Радиус кривизны в направлениях x и y равен

Выражение для приведенного радиуса закругления вершины выступа имеет вид

Амплитудные (высотные) параметры поверхности:

·        cреднее арифметическое отклонение ординат поверхности (для профиля - Ra)

·        среднее квадратическое отклонение ординат (для профиля - Rq)

·        высота неровностей по десяти точкам (для профиля Rz)

где S_pi, S_Vi - высота пяти наибольших выступов и пяти наиболее глубоких впадин.

На рис. 15 представлена связь между S_q и S_a для инженерных поверхностей после разных видов обработки [3]. Для профиля поверхности аналогичные соотношения определяются выражением [4]

Рис. 15. Зависимость между S_q и S_a

Принимая во внимание данные для типичных инженерных поверхностей и основываясь на графике 15, получим следующее математическое выражение зависимости:

Коэффициент асимметрии плотности распределения ординат поверхности оценивается выражением

Отрицательная асимметрия характеризует поверхность с глубокими впадинами (резервуарами смазочного материала), что благоприятно сказывается на эксплуатационных трибологических характеристиках, например для подшипников скольжения и других узлов трения, особенно в период пуска и остановки.

Эксцесс для поверхности имеет вид

Для гауссовой поверхности S_ku=3.

Оценка статистических параметров зависит от размера дискретизации (Δx, Δy). В табл. 3 приведено по Стауту (Stout, K.J.) сравнение амплитудных параметров, полученных с разными размерами дискретизации, и процент ошибки сравниваемых результатов.

Таблица 3 Зависимость амплитудных параметров поверхности с разными интервалами дискретизации для некоторых видов обработки

Шаговые (пространственные) параметры шероховатости:

·        плотность вершин выступов

Минимальное число вершин выступов принимают равным 8. Это число относят к рассматриваемому участку поверхности.

Гибридные параметры

·        Среднее квадратическое значение наклона неровностей

Следует отметить, что оценка наклона неровностей к срединной плоскости существенно зависит от интервала дискретизации.

·        Опорная площадь поверхности S_tp

;

где A(h) - опорная площадь на уровне h.

·        Среднее арифметическое значение кривизны (радиуса^-1) верхней части выступа

На рис. 16 показаны координаты вершины k-го выступа (x_p , y_q).

Рис. 16. Координаты верхней части и периметр сечения выступа

Фрактальные параметры. Существующие процедуры трёхмерного топографирования шероховатой поверхности позволяют создать map-карты - 3D модели инженерных поверхностей. Ниже представлены наиболее распространённые методы определения фрактальной размерности поверхности.

Рассмотрим некоторые методы оценки фрактальной размерности поверхности.

·        Определение фрактальной размерности по спектру мощности (рис. 17) имеет вид

,

где P(ω) - функция спектра мощности, ω - частота, C_p - некоторая константа, S - наклон средней линии функции спектра мощности. Фрактальную размерность находят из наклона средней линии функции спектра мощности, которая в двойных логарифмических координатах становится линейной. Фрактальная размерность в данном примере определяется по формуле

,

где m - угловой коэффициент (наклон) прямой (рис. 17, б), построенной в двойных логарифмических координатах (в данном случае m = -2,06).

А                                                            б

Рис. 17. Шероховатая поверхность (а) и ее спектральная плотность (б)

Тогда

Фрактальная размерность поверхности будет равна

·        Определение фрактальной размерности изотропных и анизотропных поверхностей связано с рассмотрением форм образующихся «островов» при срезе поверхности горизонтальной плоскостью. Фрактальная размерность определялась из анализа соотношения «периметр-площадь» острова (рис. 18).

Рис. 18. Определение периметра и площади «острова»

С помощью метода покрытия острова квадратной сеткой с размером ячейки d найдём его периметр P=N_p·d и площадь A^1/2=N_A·d, где N_p и N_A - соответственно число ячеек, покрывающих периметр P и площадь A. При уменьшении размера ячейки периметр и площадь растут. Наклон прямой ln(A) - ln(P), построенной в двойных логарифмических координатах, соответствует отношению 2/D. Тогда фрактальная размерность, определяемая по соотношению периметр-площадь, находится по уравнению

Фрактальная размерность поверхности по Б. Мандельброту равна

D_S=D+1.

Для анизотропной поверхности разрушения предложена формула [5]

_S=D_x+D_y,

где  −фрактальные размерности профиля по ортогональным направлениям (1<D_x<2; 1<D_y<2).

Эта формула справедлива при условии

Параметры поверхности, характерные для некоторых узлов трения, приведены в табл. 4.

Примечание: ● - сильное влияние, • − среднее, ○ - слабое влияние.

4. Моделирование поверхности при решении контактных задач с учетом шероховатости

Реальные поверхности, полученные с помощью разных видов обработки, представлены на рис. 19, 20.

Рис. 19. Участок реальной анизотропной поверхности

Рис. 20. Участок реальной изотропной поверхности

Рассмотрим некоторые методы моделирования инженерной поверхности: 1) метод серединного смещения; 2) метод случайного сложения (метод Фосса) и 3) метод Вейерштрасса.

Метод срединного смещения (рис. 21) выполняется в следующей последовательности: фиксируем точки на границах области, т.е. в точках 0 и 1 при условной длине отрезка, равной 1; в середине отрезка определяем высоту по формуле

где n - номер уровня смещения; σ - масштаб по высоте z; g − случайная величина, имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 0 и дисперсией, равной 1; H − показатель Хёрста;

Рис. 21. Последовательность создания фрактальной кривой

Применительно к модели поверхности метод срединного смещения требует несколько иной процедуры (рис. 22). Здесь точки в середине определяются по уже представленному алгоритму за исключением того, что середина берётся как среднее четырёх точек

Рис. 22. Процедура образования фрактальной поверхности

Метод случайного сложения (Фосса) выполняется в следующей последовательности:

) фиксируем высоту Z = 0 в углах сетки и посередине рёбер из L x L элементов (этап n=1);

) в середине сетки проводим интерполяцию с использованием уже имеющихся точек и прибавляем к ним независимое гауссово случайное число g с нулевым средним и единичной дисперсией (этап n=2);

) на следующем этапе в четырёх новых точках также проводим интерполяцию и прибавляем к ним независимое гауссово случайное число g с нулевым средним и уменьшенной дисперсией, равной:

,

где r=

Процедура продолжается до достижения требуемого масштаба (рис. 23).

Рис. 23. К методу Фосса

Фрактальная модель поверхности (по Вейерштрассу) выражается следующим уравнением:

Здесь C_z - сомножитель; q - параметр пространственно-частотного масштабирования (q>1); D - фрактальная размерность (2<D<3); N,M - число гармоник; K - основное пространственное число; Θ_n,m - случайная фаза, распределенная равномерно в интервале [-π, +π].

Сомножитель C_z имеет вид

Окно разработанной нами программы моделирования фрактальной поверхности приведено на рис. 24.

Рис. 24. Моделирование фрактальной поверхности

На рис. 25 и 26 с помощью программы получены модели некоторых фрактальных поверхностей.

Моделирование срединным смещением D=2,75

Рис. 25. Моделирование срединным смещением

Моделирование поверхности случайным сложением D=2,15

Рис. 26. Моделирование случайным сложением

Сравним реальные поверхности с фрактальными моделями.

На рис.27 показана поверхность после токарной обработки, а на рис. 28 - ее модель.

Рис. 27. Реальная поверхность

Рис. 28. Модель поверхности (по Вейерштрассу)

На других рисунках (рис. 29, 30) также показаны реальная поверхность и ее модель.

Рис. 29. Реальная поверхность после электроэрозионной обработки

Рис. 30. Модель поверхности

Интерес представляет решение задачи о контактном взаимодействии двух фрактальных поверхностей. Считается, что если значения высотных параметров сопряженных поверхностей отличаются на порядок, то задача контактного взаимодействия упрощается: рассматривается контакт гладкой поверхности с той шероховатой, у которой высотные параметры существенно выше, чем у сопряженной поверхности.

Когда параметры шероховатости сопряженных поверхностей примерно одинаковы, существуют разные способы определения параметров эквивалентной поверхности, взаимодействующей с гладкой.

Нами предлагается использовать фрактальные представления и определять фрактальную размерность эквивалентной поверхности следующим образом. При контакте моделей фрактальных поверхностей (рис. 31) имеем картины распределения пятен касания.

Рис. 31. Площадки касания двух поверхностей

Применив подход определения фрактальной размерности «периметр-площадь», можно найти фрактальную размерность эквивалентной поверхности. Затем необходимо смоделировать поверхность с эквивалентной фрактальной размерностью и рассматривать задачу контактного взаимодействия гладкой поверхности с найденной эквивалентной.

Список литературы

·        Маджумдар, А. Фрактальная модель упругопластического контакта шероховатых поверхностей / А. Маджумдар, Б. Бхушан//Современное машиностроение. - 1991.-Сер. Б. - № 6. - С.11-23.

·        Маккул, Дж. Распределение площади, нагрузки, давления и локального повышения температуры в микроконтактах по модели Гринвуда-Вильямсона // Проблемы трения и смазки. - 1988. -№ 4.-С. 99-105.

·        Stout, K.J. Development of methods for the characterization of roughness in three dimensions.-Penton Press, 2000.-358 p.

·        Рудзит, Я.А. Микрогеометрия и контактное взаимодействие поверхностей / Я.А. Рудзит. - Рига: Изд-во «Зинатне», 1975.-210 с.

·        Xie, H. Direct fractal measurement and multifractal properties of fracture surfaces/ H. Xie, J. Wang, E. Stein// Physics Letters A 242. - 1998. - P. 41-50.