Классический метод расчета переходных процессов

Индивидуальное задание

Условие задачи:= 115 В

w = 10000 рад/с= 120 Ом= 16 Ом= 43 Ом

Классический метод: L=26 мГн C=0,88 мкФ

Классический метод расчета переходных процессов

1. По приложенной машинной распечатке задания необходимо:

Изобразить электрическую схему заданного варианта (вместо R1,R2,R3 начертить активные сопротивления, вместо L,C- индуктивность и емкость, на месте Е показать источник напряжения, К1,К2- ключи);

2. Ключ К2 находится в положении 1;

3.      В цепи действует источник напряжения e(t)=100sin104t B;

4.      Переходный процесс возникает вследствие размыкания ключа К1;

5.      Рассчитать классическим методом переходные процессы в индуктивности ,  и на емкости ,

6. Построить графики iL(t),Uc(t),ic(t),UL(t);

Решение.

1. Для получения исходных данных контрольной работы необходимо изобразить схему электрической цепи. Для этого вместо R1, R2, R3 на графической части листка с заданием начертим активные сопротивления, вместо C - ёмкость, вместо L - индуктивность, вместо E - источник ЭДС. Ключ K2 находится в положении 1. Коммутация происходит путём размыкания ключа K1. ЭДС источника равна:  В.

Схема замещения электрической цепи представлена на рисунке 1.

Рис. 1. Схема замещения электрической цепи по заданию

электрический цепь напряжение переходной

Расчет переходного процесса классическим методом сводится к непосредственному решению дифференциальных уравнений, описывающих цепь. Известно, что решение дифференциального уравнения имеет две составляющие. Это частное решение неоднородного и общее решение однородного дифференциальных уравнений. В электротехнике указанные составляющие называются принужденной и свободной. Принужденная составляющая переходного переходного процесса, или установившийся режим, рассчитывается в цепи после коммутации изученными ранее методами расчета цепей. Свободная составляющая переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения.

Расчет переходного процесса классическим методом производится в следующем порядке:

рассчитывается цепь до коммутации для определения независимых начальных условий;

рассчитывается установившейся режим после коммутации;

составляется характеристическое уравнение и определяются его корни;

записывается общее решение для свободных составляющих и полное выражение для переходного процесса искомой величины как сумма принужденной и свободной составляющих;

рассчитываются необходимые зависимые начальные условия и определяются постоянные интегрирования;

найденные постоянные интегрирования подставляются в полное решение.

Расчёт переходных процессов в цепи, представленной на рисунке 2, произведем в предложенном порядке.

Начальные условия - это значения токов в ветвях, напряжений на элементах цепи, их производных любого порядка в момент коммутации. Различают независимые и зависимые начальные условия. К независимым начальным условиям относятся ток в индуктивности и напряжение на емкости, так как они в момент коммутации не могут изменяться скачком. Это определяется законами коммутации:

iL(0-) = iL(0+), uC(0-) = uC(0+).

Остальные начальные условия относятся к зависимым.

До коммутации в рассматриваемом варианте отсутствует индуктивность (её зажимы закорочены ключом К1). Следовательно, ток через индуктивность L до коммутации будет равен нулю и, согласно закону коммутации, не изменится непосредственно после размыкания ключа: iL(0-) = iL(0+).

Расчет напряжения на емкости до коммутации проведем по схеме электрической цепи, представленной на рисунке 2.

Рис. 2. Схема замещения электрической цепи до коммутации

Так как в цепь включен источник синусоидальной ЭДС, расчет проводим символическим методом.

Сопротивления реактивных элементов равны:

 (Ом),

 (Ом).

Комплексное сопротивление цепи относительно источника равно:

 (Ом).

Комплексная амплитуда тока в ветви источника определяется по закону Ома

 (А).

Мгновенное значение тока в индуктивности запишем в виде:

 А.

Полагая в последнем выражении t=0-, получим величину тока в индуктивности непосредственно перед коммутацией:

 А.

По законам коммутации напряжения на емкости не может изменяться скачком.

Следовательно,  А.

Ток во второй ветви определим по правилу плеч

 (А).

Комплексная амплитуда напряжения на емкости определяется по закону Ома

 (В).

Мгновенное значение напряжения на емкости запишем в виде:

 В.

Полагая в последнем выражении t = 0-, получим величину напряжения на емкости непосредственно перед коммутацией:  (В). По законам коммутации напряжения на емкости не может измениться скачком.

Следовательно,

 (В).

Принужденные составляющие тока в индуктивности и напряжения на емкости определим по схеме цепи на рисунке 1.

Комплексное сопротивление цепи относительно источника равно:

 (Ом).

Комплексная амплитуда тока в ветви источника определяется по закону Ома

 (А).

Мгновенное значение тока индуктивности, т.е. искомая принужденная составляющая, запишется в виде:

 А.

Комплексную амплитуду тока в ветви с емкостью определим по правилу плеч:

 (А).

Комплексная амплитуда напряжения на емкости определяется по закону Ома:

 (В).

Мгновенное значение напряжения на емкости, т.е. искомая принужденная составляющая, запишется в виде:

Характеристическое уравнение цепи составляется по дифференциальному уравнению, описывающему цепь. Можно также составить характеристическое уравнение через входное сопротивление. Для этого в цепи после коммутации исключают источники (вместо источников необходимо включить их внутренние сопротивления). В полученной пассивной цепи разрывают любую ветвь и относительно разрыва записывают комплексное входное сопротивление  В выражении  заменяют на p. Выражение Z(p) приравнивают к нулю.

Для рассматриваемого варианта задания в цепи на рисунке 1 замыкаем накоротко зажимы источника ЭДС. Разрываем ветвь с емкостью. Комплексное входное сопротивление относительно разрыва запишется в виде

Полагая в последнем выражении =p, получим

После выполнения алгебраических преобразований получим характеристическое уравнение второго порядка

Подставляя численные значения, находим

p2 + 10552p + 52383278 = 0.

Корни данного уравнения равны

p1 = -5276 + j4954, p2 = -5276 - j4954.

По виду корней характеристического уравнения записывается свободная составляющая переходного процесса.

Для случая комплексно-сопряженных корней p1, 2 =

 (А)

Полный переходный ток в индуктивности равен сумме принужденной и свободной составляющих:

 (А)

В последнем уравнении неизвестными являются A1 и A2, следовательно, для их однозначного определения необходимо второе уравнение. Получим его дифференцированием перового.

Полагая в вышеприведенных уравнениях t=0+, получим

Производная тока в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t=0+ послекоммутационной схемы

Подставляя численные значения найденных ранее независимых условий i3(0+), uC(0+) и значение e(0+) = 0, получим

 .

Тогда уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид

Отсюда постоянные интегрирования будут равны:

A1 = -0.0655;

A2 = -0.0487.

Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности запишется в виде

 (А). (1)

Для определения напряжения на индуктивности в переходный период воспользуемся формулой

 (2)

Переходный процесс на емкости рассчитывается аналогично. Записываем выражение для uc = uспр (t) + uссв (t).

Принужденная составляющая переходного процесса определена выше. Тогда

 В.

Второе уравнение, необходимое для однозначного определения постоянных интегрирования, получим дифференцированием первого

Полагая в обоих уравнениях t=0+, получим

Производная напряжения на емкости в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Определим ее значение по выражению

Значение i2(0+) определим из системы уравнений по законам Кирхгофа для момента

Времени t=0+, записанной выше. Тогда

Уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид

Решая полученную систему уравнений, определим постоянные интегрирования: A1 = 1.167; A2 = -14.00.

Окончательное выражение для переходного напряжения на емкости

 В. (3)

Для определения тока через конденсатор в переходный период воспользуемся формулой

 (4)

При построении графиков переходных процессов прежде всего необходимо определить их длительность. Теоретически переходные процессы длятся бескончно долго, практически же оканчиваются за время, равное трем постоянным времени . За это время свободная составляющая переходного процесса будет иметь значение, составляющее 5% от значения при t=0+.

Постоянная времени  определяется как величина, обратная минимальному по модулю корню (или его действительной части) характеристического уравнения

 (с).

Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой задачи

 (с).

Графики переходных процессов  и , построенные по формулам (1) и (3) соответственно на рисунках 3 и 4.

Рис. 3. Закон изменения тока индуктивности

Рис. 4. Закон изменения напряжения на емкости

Графики переходных процессов  и  построенные по формулам (2) и (4), представлены соответственно на рисунках 5 и 6.

Рис.5. Закон изменения напряжения на индуктивности