|
xi
|
0
|
1
|
2
|
4
|
5
|
6
|
7
|
9
|
10
|
|
|
1
|
2
|
2
|
5
|
7
|
6
|
2
|
3
|
2
|
30 
|
|
ximi
|
0
|
2
|
4
|
20
|
35
|
36
|
14
|
27
|
20
|
158
|
|
xi2mi
|
0
|
2
|
8
|
80
|
175
|
216
|
98
|
243
|
200
|
1022
|
По формуле (3) как и раньше имеем
,
а по формуле (8)
и
.
Дано: 
а) считая объем выборки большим и
полагая 
;
1) Для 
находим по таблице 2 
,
2) Тогда 
.
3) 
и 
.
Отсюда получаем искомый доверительный
интервал: (4,4;6,2).
б) считая объем выборки недостаточно
большим и рассматривая s только как оценку 
.
1)По таблице 3
.
2)Точность
1) Границы интервала:
Получим доверительный интервал (4,3;6,3).
Пример 3. Вариационный ряд, записанный по
результатам 64 опытов по определению содержания нитратов (мг/кг) в огурцах,
поставляемых в магазин из совхоза, имеет вид:
0,1 0,2 0,2 0,4 1,0 1,5 2,1
2,2 2,3 2,5 2,5 3,5 3,8 3,9 4,2 4,2 4,4 4,5 5,0 5,0 5,5 5,6 5,8
6,0 6,2 6,3 6,5 6,8 6,8 6,8 7,0 7,5 7,8 7,8 7,8 7,8 8,0 8,0 8,6
8,8 9,0 9,5 9,5 9,5 9,5 9,5 10,0 10,0 10,0 11,3 11,8 11,8 11,8
11,9 12,0 12,0 12,8 13,2 13,8 13,8 14,0 14,5 15,0 15,9.
Наименьшее и наибольшее
значения данного вариационного ряда : 
.
Размах выборки R:
.
В примере 3 
.
Выбираем число интервалов
.
Ширина каждого интервала
определяем по формуле
.
Принимая 
, считаем 
.
Интервальный статистический ряд имеет
вид
|
Границы интервалов
|
0 – 2
|
2 – 4
|
4 – 6
|
6 – 8
|
8 – 10
|
12 – 14
|
14 - 16
|
|
|
6
|
8
|
10
|
12
|
10
|
8
|
6
|
4
|
Графически интервальный
статистический ряд имеет вид гистограммы:
Гистограмма частот
распределения концентрации нитратов в огурцах
Если заменить границы
интервалов серединами интервалов 
,
которые вычисляются по формуле:
,
где 
-
граничные значения интервала i,
то получим дискретный статистический ряд
|
|
1
|
3
|
5
|
7
|
9
|
11
|
13
|
15
|
|
|
6
|
8
|
10
|
12
|
10
|
8
|
6
|
4
|
имеем
|
xi
|
mi
|
ximi
|
xi2mi
|
|
1
|
6
|
6
|
6
|
|
3
|
8
|
24
|
72
|
|
5
|
10
|
50
|
250
|
|
7
|
12
|
84
|
588
|
|
9
|
10
|
90
|
810
|
|
11
|
8
|
88
|
968
|
|
13
|
6
|
78
|
|
15
|
4
|
60
|
900
|
|
суммы
|
64
|
480
|
4608
|
откуда
,
и
.
Имеем 
, . .
1)Для находим
по таблице 2 ,
2)Тогда 
.
3) 
и 
.
Отсюда получаем
искомый доверительный интервал: (7,0; 8,0).
Пример
4. В контрольной точке на морской
акватории из придонного слоя отобрали 5 проб воды и определили в них содержание
растворенного кислорода, получив следующие значения (мл/л):
5,07 5,16 5,19 5,23 5,25.
Тогда
содержание растворённого кислорода в придонном слое оценим значением
.
Выборочные данные (мл/л): 5,07 5
,16 5,19 5,23 5,25.
Выборочное среднее: 
Рассчитаем рассеяние содержания
растворённого кислорода в воде по формулам (4) и (5):
.
Дано: 
1)По таблице 3
.
2)Точность
2)
Границы
интервала:
Получим доверительный интервал
(5,04; 5,32).
Пример 5. Пусть имеется
генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по
нормальному закону с дисперсией, равной 
.
Произведена выборка объема n = 27 и получено выборочное среднее характеристики
. Найти доверительный интервал,
покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики
генеральной совокупности с надежностью 
.
Дано: n = 27, ,
, .
Решение.
1)
По таблице для функции
Лапласа из уравнения
найдем значение 
.
2) Определим точность оценки d:
.
3)Находим
границы доверительного интервала:
Отсюда получаем искомый доверительный интервал:
(10,76;
13,24).
1
Пример 7.
Произведено девять проб почвы с целью определения, превышает ли концентрация
загрязняющего вещества уровень ПДК, равный 4,2 мг/кг. Получены следующие
результаты в мг/кг:
4,7
5,8 3,9 6,1 5,1 4,4 4,6 4,1 4,5
Можно
ли с надежностью 0,95 утверждать, что ПДК в среднем превышена?
Решение.
1) Вычисляем выборочное среднее:
2)
Вычисляем дисперсию:
и
выборочное среднее отклонение 
.
3)
Так как 
то по
таблице 3
4)
Точность оценки
,
5)
Границы интервала: 
Получим доверительный интервал (4,23;5,37) мг/кг.
6)Так
как 
> ПДК=4,2, то
ПДК превышена.
Ответ:
Можно сделать вывод о превышении ПДК с заданной доверительной вероятностью
0,95.
Пример 8. В результате клинического анализа крови 10 детей
интерната определено содержание свинца в крови. Получены данные (мкг/100мл):
3,2 10,2 4,8 5,4 14,2 11,1 10,1 8,9 12,4 2,1
Можно ли утверждать с доверительной
вероятностью 0,95, что содержание свинца в крови детей не превышает в среднем
значения 9,0 мкг/100мл, выше которого возможны изменения поведения и обучения
детей?
|
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
суммы
|
|
|
xi
|
3,2
|
10,2
|
4,8
|
5,4
|
14,2
|
11,1
|
10,1
|
8,9
|
12,4
|
2,1
|
82,4
|
|
|
xi2
|
10,24
|
104,04
|
23,04
|
29,16
|
201,64
|
123,21
|
102,01
|
79,21
|
153,76
|
4,41
|
830,72
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Вычисляем
выборочное среднее
2) Найдем дисперсию по
расчетной формуле:
и выборочное среднее
отклонение 
.
3) Так как 
то по таблице 3
.
4) Точность оценки
,
5) Границы интервала:
и 
.
Получим доверительный
интервал (5,30; 11,18 мкг/100мл.
6)Сравним пороговое значение
концентрации свинца в крови с доверительным интервалом:
,