Численные методы

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    1,17 Мб
  • Опубликовано:
    2015-05-16
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Численные методы

Задание № 1

Найти решение системы 4 линейных уравнений с 4-мя неизвестными х12, х3, х4 с точностью до 10-4 следующими методами:

а) методом Гаусса;

б) методом простой итерации;

в) методом Зейделя.

Проверкой полученного решения является совпадение найденных разными методами решений с заданной точностью.


а) метод Гаусса.

Найти решение системы уравнений:


1. Сформируем расширенную матрицу:


Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

2. Разделим строку 1 на a11 =        1.42

Получим матрицу:


3. Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a21=        0.63

Вычитаемая строка:


Модифицированная матрица:


4. Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a31= 0.84

Вычитаемая строка:


Модифицированная матрица:


5. Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a41= 0.27

Вычитаемая строка:


Модифицированная матрица:


6. Разделим строку 2 на a22 =        -0.57197183098592

Получим матрицу:


7. Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a32=        -2.4192957746479

Вычитаемая строка:


Модифицированная матрица:


8. Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на a42=        1.3091549295775

Вычитаемая строка:


Модифицированная матрица:


9. Разделим строку 3 на a33 =        -6.4314897808422

Получим матрицу:


10. Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a43= 4.0531913321842

Вычитаемая строка:


Модифицированная матрица:


11. Разделим строку 4 на a44 =      -1.0916757937353

Получим матрицу:


12. Вычтем из строки 3 строку 4 умноженную на a34= 0.62435409222966

Вычитаемая строка:


Модифицированная матрица:


13. Вычтем из строки 2 строку 4 умноженную на a24=1.6733563161783

Вычитаемая строка:


Модифицированная матрица:


14. Вычтем из строки 1 строку 4 умноженную на a14=0.59859154929577

Вычитаемая строка:


Модифицированная матрица:

Вычитаемая строка:


Модифицированная матрица:


16. Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a13=0.29577464788732

Вычитаемая строка:


Модифицированная матрица:


17. Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a12=0.22535211267606

Вычитаемая строка:


Модифицированная матрица:


Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:


Заданная система уравнений имеет единственное решение:


б) метод простой итерации.

Найти решение системы уравнений:


Заметим, что метод простой итерации расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов:


Пусть требуемая точность e = 10-4.

Приведем систему к виду:


Последовательно вычисляем:

Шаг 1.

В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов: (1.32, -0.44, 0.64, 0.85).


Шаг 2.


Шаг 3.


Ответ: итерационный процесс расходится.

в) метод Зейделя.

Найти решение системы уравнений:


Заметим, что метод Зейделя расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов:


Пусть требуемая точность e = 10-4.

Приведем систему к виду:



Последовательно вычисляем:

Шаг 1.

В качестве начального приближения возьмем: (0, 0, 0, 0).

= 0.92957746478876.

При вычислении x2 используем уже полученное значение x1:


При вычислении x3 используем уже полученное значение x1 и x2:


При вычислении x4 используем уже полученное значение x1, x2 и x3:


Шаг 2.


Шаг 3.


Ответ: итерационный процесс расходится.

Задание № 2

Отделить один корень уравнения x4+2x-1=0 и вычислить его на полученном отрезке [а,b] с точностью до 0.0001 тремя методами:

а) методом дихотомии;

б) методом хорд;

в) методом простой итерации.

Убедиться, что корни, полученные при помощи этих методов, удовлетворяют уравнению F(х) = 0 и мало отличаются друг от друга.

[а,b]=[-1;2]

а) метод дихотомии














Ответ:

в) метод простой итерации


Ответ:

Задание № 3

уравнение итерация интеграл симпсон

Найти приближённо значение интеграла с точностью до 0,001 методом Симпсона.

 

Начальное количество разбиений .

Имеем . Отсюда . Результаты вычислений приведены в таблице.

0

1


0,909297

1

1,0125

0,921216


2

1,025


0,932285

3

1,0375

0,942458


4

1,05


0,951688

5

1,0625

0,959931


6

1,075


0,967141

7

1,0875

0,973273


8

1,1


0,978281

9

1,1125

0,982121


10

1,125


0,984749

11

1,1375

0,986121


12

1,15


0,986195

13

1,1625

0,984928


14

1,175


0,982278

15

1,1875

0,978204


16

1,2


0,972667

1,2125

0,965627


18

1,225


0,957046

19

1,2375

0,946886


20

1,25


0,935113

21

1,2625

0,92169


22

1,275


0,906585

23

1,2875

0,889764


24

1,3


0,871197

25

1,3125

0,850855


26

1,325


0,828709

27

1,3375

0,804732


28

1,35


0,7789

29

1,3625

0,751189


30

1,375


0,721578

31

1,3875

0,690046


32

1,4


0,656577

33

1,4125

0,621153


34

1,425


0,58376

35

1,4375

0,544386


36

1,45


0,503022

37

1,4625

0,459658


38

1,475


0,414288

39

1,4875

0,36691


40

1,5

41

1,5125

0,26612


42

1,525


0,212712

43

1,5375

0,157302


44

1,55


0,099898

45

1,5625

0,040508


46

1,575


-0,02086

47

1,5875

-0,08418


48

1,6


-0,14944

49

1,6125

-0,21662


50

1,625


-0,2857

51

1,6375

-0,35666


52

1,65


-0,42946

53

1,6625

-0,50408


54

1,675


-0,58049

55

1,6875

-0,65865


56

1,7


-0,73851

57

1,7125

-0,82005


58

1,725


-0,90323

59

1,7375

-0,98798


60

1,75


-1,07427

61

1,7625

-1,16205


62

1,775


-1,25126

63

1,7875

-1,34186


64


-1,43377

65

1,8125

-1,52694


66

1,825


-1,6213

67

1,8375

-1,7168


68

1,85


-1,81336

69

1,8625

-1,91092


70

1,875


-2,0094

71

1,8875

-2,10872


72

1,9


-2,20881

73

1,9125

-2,30959


74

1,925


-2,41097

75

1,9375

-2,51288


76

1,95


-2,61523

77

1,9625

-2,71793


78

1,975


-2,82089

79

1,9875

-2,92401


80

2


-3,02721


-6,854834099

-7,942676655


По формуле Симпсона получим:

.

Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность  складывается из погрешностей действий  и остаточного члена .

 ,

где  - коэффициенты формулы Симпсона и  - максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.

 

Оценим остаточный член.

 при  и, следовательно,

.

Таким образом, предельная полная погрешность равна:

 

и, значит, .

Ответ: .

Задание № 4

Найти четыре первых, отличных от нуля члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям и проверить это решение при помощи метода Пикара. Оценить точность при применении метода Пикара.

 

 

Последовательно дифференцируя уравнение необходимое число раз, найдем четыре первых ненулевых производных функции  в точке .


Таким образом, решение , с точностью до первых четырех ненулевых разложения в ряд, равно

 

Решим методом Пикара уравнение  с начальным условием , .

Переходим к интегральному уравнению:

 

 

Получаем последовательность приближений:



Видно, что при  ряд быстро сходится. Оценим погрешность третьего приближения. Так как функция   определена и непрерывна во всей плоскости, то в качестве a и b можно взять любые числа. Для определенности возьмем прямоугольник:

 

Тогда

 

Поскольку a = 0.25 , b/M = 1/1.25 = 0.8, имеем h = min (a, b/M) = 0.5.

Решение y будет задано для . При n=4 имеем:

 

Список использованной литературы

1. Волков Е.А. Численные методы.- М.: Наука, 1982.- 254 с.

. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Ланчик М.П. Численные методы. -

М.: Просвещение, 1991. - 175 с.

. Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.: Наука, 1978.-512 с.

. Турчак Л.И. Основы численных методов.- М.: Наука, 1987.- 319 с.

Похожие работы на - Численные методы

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!