Численные методы

Численные методы

Задание № 1

Найти решение системы 4 линейных уравнений с 4-мя неизвестными х₁,х₂, х₃, х₄ с точностью до 10^-4 следующими методами:

а) методом Гаусса;

б) методом простой итерации;

в) методом Зейделя.

Проверкой полученного решения является совпадение найденных разными методами решений с заданной точностью.

а) метод Гаусса.

Найти решение системы уравнений:

1. Сформируем расширенную матрицу:

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

2. Разделим строку 1 на a₁₁ =        1.42

Получим матрицу:

3. Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a₂₁=        0.63

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

4. Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a₃₁= 0.84

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

5. Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a₄₁= 0.27

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

6. Разделим строку 2 на a₂₂ =        -0.57197183098592

Получим матрицу:

7. Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a₃₂=        -2.4192957746479

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

8. Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на a₄₂=        1.3091549295775

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

9. Разделим строку 3 на a₃₃ =        -6.4314897808422

Получим матрицу:

10. Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a₄₃= 4.0531913321842

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

11. Разделим строку 4 на a₄₄ =      -1.0916757937353

Получим матрицу:

12. Вычтем из строки 3 строку 4 умноженную на a₃₄= 0.62435409222966

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

13. Вычтем из строки 2 строку 4 умноженную на a₂₄=1.6733563161783

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

14. Вычтем из строки 1 строку 4 умноженную на a₁₄=0.59859154929577

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

16. Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a₁₃=0.29577464788732

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

17. Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a₁₂=0.22535211267606

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

Заданная система уравнений имеет единственное решение:

б) метод простой итерации.

Найти решение системы уравнений:

Заметим, что метод простой итерации расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов:

Пусть требуемая точность e = 10^-4.

Приведем систему к виду:

Последовательно вычисляем:

Шаг 1.

В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов: (1.32, -0.44, 0.64, 0.85).

Шаг 2.

Шаг 3.

Ответ: итерационный процесс расходится.

в) метод Зейделя.

Найти решение системы уравнений:

Заметим, что метод Зейделя расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов:

Пусть требуемая точность e = 10^-4.

Приведем систему к виду:

Последовательно вычисляем:

Шаг 1.

В качестве начального приближения возьмем: (0, 0, 0, 0).

= 0.92957746478876.

При вычислении x₂ используем уже полученное значение x₁:

При вычислении x₃ используем уже полученное значение x₁ и x₂:

При вычислении x₄ используем уже полученное значение x₁, x₂ и x₃:

Шаг 2.

Шаг 3.

Ответ: итерационный процесс расходится.

Задание № 2

Отделить один корень уравнения x⁴+2x-1=0 и вычислить его на полученном отрезке [а,b] с точностью до 0.0001 тремя методами:

а) методом дихотомии;

б) методом хорд;

в) методом простой итерации.

Убедиться, что корни, полученные при помощи этих методов, удовлетворяют уравнению F(х) = 0 и мало отличаются друг от друга.

[а,b]=[-1;2]

а) метод дихотомии

Ответ:

в) метод простой итерации

Ответ:

Задание № 3

уравнение итерация интеграл симпсон

Найти приближённо значение интеграла с точностью до 0,001 методом Симпсона.

Начальное количество разбиений .

Имеем . Отсюда . Результаты вычислений приведены в таблице.

По формуле Симпсона получим:

.

Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность  складывается из погрешностей действий  и остаточного члена .

 ,

где  - коэффициенты формулы Симпсона и  - максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.

Оценим остаточный член.

 при  и, следовательно,

.

Таким образом, предельная полная погрешность равна:

и, значит, .

Ответ: .

Задание № 4

Найти четыре первых, отличных от нуля члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям и проверить это решение при помощи метода Пикара. Оценить точность при применении метода Пикара.

Последовательно дифференцируя уравнение необходимое число раз, найдем четыре первых ненулевых производных функции  в точке .

Таким образом, решение , с точностью до первых четырех ненулевых разложения в ряд, равно

Решим методом Пикара уравнение  с начальным условием , .

Переходим к интегральному уравнению:

Получаем последовательность приближений:

Видно, что при  ряд быстро сходится. Оценим погрешность третьего приближения. Так как функция   определена и непрерывна во всей плоскости, то в качестве a и b можно взять любые числа. Для определенности возьмем прямоугольник:

Тогда

Поскольку a = 0.25 , b/M = 1/1.25 = 0.8, имеем h = min (a, b/M) = 0.5.

Решение y будет задано для . При n=4 имеем:

Список использованной литературы

1. Волков Е.А. Численные методы.- М.: Наука, 1982.- 254 с.

. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Ланчик М.П. Численные методы. -

М.: Просвещение, 1991. - 175 с.

. Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.: Наука, 1978.-512 с.

. Турчак Л.И. Основы численных методов.- М.: Наука, 1987.- 319 с.