Системы массового обслуживания

  • Вид работы:
    Курсовая работа (т)
  • Предмет:
    Информационное обеспечение, программирование
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    524,89 Кб
  • Опубликовано:
    2015-03-17
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Системы массового обслуживания

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

. Математическое описание метода

.1 Общие сведения о системах массового обслуживания

.2 Многоканальные СМО с отказами

. Обоснование и выбор инструментальной среды для проведения расчетов

. Алгоритмическое обеспечение

.1 Постановка задачи

.2 Математическая модель

.3 Построение моделей СМО с отказами в Simulink

.3.1 Для 3-х канальной СМО

.3.2 Для 5-канальной СМО

.4 Расчет показателей эффективности

.4.1 для 3-х канальной СМО

.4.2 Для 5-канальной СМО

.5 Анализ результатов моделирования

Заключение

Список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ

На сегодняшний день метод имитационного моделирования является одним из наиболее эффективных методов исследования процессов и систем самой различной природы и степени сложности. Сущность метода состоит в составлении модели, имитирующей процесс функционирования системы, и расчета характеристик этой модели с целью получения статистических данных моделируемой системы. Используя результаты имитационного моделирования, можно описать поведение системы, оценить влияние различных параметров системы на ее характеристики, выявить преимущества и недостатки предлагаемых изменений, прогнозировать поведение системы.

Лучшей иллюстрацией области применения имитационного моделирования являются системы массового обслуживания. В терминах СМО описываются многие реальные системы: вычислительные системы, узлы сетей связи, магазины, производственные участки - любые системы, где возможны очереди и отказы в обслуживании. Цель данной курсовой работы - создание блок-схемы в среде MatLab Simulink, наглядно иллюстрирующей алгоритм расчета параметров модели многоканальной СМО с отказами и формирование рекомендаций по выбору оптимального количества каналов обслуживания.

Для достижения поставленной цели выделим основные задачи:

-    подробное описание многоканальной СМО с отказами;

     выбор контрольного примера и постановка задачи;

     определение алгоритма решения;

     создание имитационной модели в среде MATLAB (Simulink);

     анализ результатов и обоснование выбора оптимального количества каналов для исследуемой СМО

 

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА

 

.1 Общие сведения о системах массового обслуживания


В жизни часто встречаются системы, предназначенные для многоразового использования при решении однотипных задач: очередь в магазине, обслуживание автомобилей на автозаправках, билетные кассы и т.п. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслуживания, а системы - систем массового обслуживания (СМО).

Процессы поступления и обслуживания заявок в СМО являются случайными, что обусловлено случайным характером потока заявок и длительности их обслуживания.

Будем рассматривать СМО с марковским случайным процессом, когда вероятность состояния СМО в будущем зависит только от ее настоящего состояния и не зависит от прошлого (процесс без последействия или без памяти). Условие марковского случайного процесса необходимо, чтобы все потоки событий, при которых система переходит из одного состояния в другое (потоки заявок, потоки обслуживания и т.д.), были пуассоновскими. Пуассоновский поток событий обладает рядом свойств, в том числе свойствами отсутствия последействия, ординарности, стационарности.

В простейшем пуассоновском потоке событий случайная величина распределена по показательному закону:

,   (1.1)

где λ - интенсивность потока.

Целью теории систем массового обслуживания является выработка рекомендаций по рациональному их построению, организации работы и регулированию потока заявок. Отсюда вытекают задачи, связанные с теорией массового обслуживания: установление зависимостей работы СМО от ее организации, характера потока заявок, числа каналов и их производительности, правил работы СМО.

Основой СМО является определенное число обслуживающих устройств - каналов обслуживания.

Назначение СМО состоит в обслуживании потока заявок (требовании), представляющих последовательность событий, поступающих нерегулярно и в заранее неизвестные и случайные моменты времени. Само обслуживание заявок также имеет непостоянный и случайный характер. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания обусловливает неравномерность загрузки СМО: на входе могут накапливаться необслуженные заявки (перегрузка СМО) либо заявок нет или их меньше, чем свободных каналов (недогрузка СМО).

Таким образом, в СМО поступают заявки, часть из которых принимается на обслуживание каналами системы, часть становится в очередь на обслуживание, а часть покидает систему необслуженными.

Основными элементами СМО являются:

1.    входной поток заявок;

2.      очередь;

.        каналы обслуживания;

.        выходной поток заявок (обслуженные заявки).

Эффективность функционирования СМО определяется ее пропускной способностью - относительным числом обслуженных заявок.

По числу каналов n все СМО разделяются на одноканальные (n = 1) и многоканальные (n > 1). Многоканальные СМО могут быть как однородными (по каналам), так и разнородными (по продолжительности обслуживания заявок).

По дисциплине обслуживания различаются три класса СМО:

1.    СМО с отказами (нулевое ожидание или явные потери). "Отказная" заявка вновь поступает в систему, чтобы ее обслужили (например, вызов абонента через АТС).

2.      СМО с ожиданием (неограниченное ожидание или очередь). При занятости системы заявка поступает в очередь и, в конце концов, будет выполнена (торговля, сфера бытового и медицинского обслуживания).

.        СМО смешанного типа (ограниченное ожидание). Имеется ограничение на длину очереди (сервис по обслуживанию автомобилей). Ограничение на время пребывания заявки в СМО (ПВО, особые условия обслуживания в банке) также может рассматриваться.

Различают открытые (поток заявок не ограничен), упорядоченные (заявки обслуживаются в порядке их поступления) и однофазные (однородные каналы выполняют одну и ту же операцию) СМО.

Эффективность работы систем массового обслуживания характеризуют показатели, которые можно разбить на три групп:

1.      Группа показателей эффективности использования СМО:

-         абсолютная пропускная способность (А) - среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, или интенсивность выходящего потока обслуженных заявок (это часть интенсивности входящего потока заявок);

          относительная пропускная способность (Q) - отношение абсолютной пропускной способности к среднему числу заявок, поступивших в систему за единицу времени;

          средняя продолжительность периода занятости СМО ();

          интенсивность нагрузки (ρ) показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость СМО;

          коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течение которого система занята обслуживанием заявок.

2.      Показатели качества обслуживания заявок:

         среднее время ожидания заявки в очереди ();

         среднее время пребывания (обслуживания) заявки в СМО ();

         вероятность отказа заявки в обслуживании без ожидания ();

         вероятность немедленного приема заявки ();

         закон распределения времени ожидания заявки в очереди в СМО;

         среднее число заявок в очереди ();

         среднее число заявок, находящихся в СМО ().

.        Показатели эффективности функционирования пары "СМО - потребитель" (вся совокупность заявок или их источник, например средний доход в единицу времени от СМО). Эта группа полезна, когда доход от СМО и затраты на ее обслуживание измеряются в одних и тех же единицах, и отражает специфику работы СМО.

1.2 Многоканальные СМО с отказами


Система M/M/n/0 представляет собой n- линейную СМО с r местами ожидания (r=0), в которую поступает пуассоновский поток интенсивности , а времена обслуживания заявок независимы и при этом время обслуживания каждой заявки на любом приборе распределено по экспоненциальному закону с параметром . В случае, когда , заявка, поступившая в переполненную систему (т.е. когда заняты все приборы и все места ожидания), теряется и вновь в нее не возвращаются. Система M/M/n/r также относится к экспоненциальным СМО.

Уравнения, описывающие распределение заявок в системе

Рассматривая -число заявок в системе в момент t, нетрудно показать, что процесс  является однородным Марковским процессом с множеством состояний . Ниже мы покажем, что процесспредставляет собой ПРГ.

Выпишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Для этого рассмотрим моменты t и . Предполагая, что в момент t процесс v(t) пребывает в состоянии i, определим, куда он может попасть в момент , и найдем вероятности его переходов за время . Здесь возможны три случая.

А. i<n. В этом случае все находящиеся в системе заявки обслуживаются на приборах (если i=0- заявок в системе вообще нет). Вероятность того, что за время процесс не выйдет из состояния i равна произведению вероятности не поступления заявки за время на вероятность  того, что за это время не обслужится ни одна из i заявок, т.е. равна . Вероятность перехода за время  в состояние i+1 равна  - вероятности поступления заявки в систему. Наконец поскольку каждый прибор закончит за время  обслуживание находящейся в нем заявки с вероятностью , а таких приборов i, то вероятность перехода в состояние i-1 равна . Остальные переходы имеют вероятность .



Таким образом, мы фактически доказали, что процесс  является процессом рождения и гибели с интенсивностями  при  при  и  при . Обозначая через , распределение числа заявок в системе в момент t, получаем следующие выражения для  в случае, когда :

,

,

,


Если же , то, что очевидно последнего выражения не будет, а в предпоследнем индекс i может принимать значения i=n,n+1,… .

Вычитая теперь  из обеих частей равенства, деля на  и переходя к пределу

при , получаем систему дифференциальных уравнений:

,

,

, (1.2)

.

Стационарное распределение очереди

В случае конечного r, например r=0, процесс  является эргодическим. Также он будет эргодическим в случае  при выполнении условия, о котором будет сказано ниже. Тогда из (1) при  получаем, что стационарные вероятности состояний pi удовлетворяют систему уравнений:

,

,     (1.3)

,

.

Поясним теперь вывод системы уравнений (1.3), исходя из принципа глобального баланса. Так, например, согласно диаграмме переходов для фиксированного состояния i, , имеем, что суммарные потоки вероятностей входящий в состояние i и выходящий из него равны, соответственно,  и .

Рисунок 1 Диаграмма переходов

Исходя теперь из принципа локального баланса, что баланс потоков вероятностей между состояниями i и i+1 отражается равенствами :

,

, (1.4)

являющимися уравнениями локального баланса для данной СМО. Проверка справедливости равенств (1.4) производится непосредственным суммированием системы уравнений (1.3) по i при i=0,1,…,n+r-1.

Из соотношения (1.4), выражая рекуррентно вероятности  через ,


где , а  определяется из условия нормировки , т.е.

.     (1.6)

Ясно, что формулы можно получить из общих соотношений для стационарных вероятностей состояний процесса рождения и гибели при указанных выше значениях  и .

Если , то стационарный режим существует при любом .

Выпишем теперь выражения для некоторых характеристик очереди.

Стационарная вероятность  немедленного обслуживания заявки (обслуживания без ожидания) совпадает со стационарной вероятностью того, что в системе находится 0,1,…,n-1 заявок, т.е.


Рассмотрим интересующий нас частный случай, когда r=0. тогда в системе отсутствуют места для ожидания (система с потерями M/M/n/0) и такая система носит название системы Эрланга. Система Эрланга описывает процессы, происходящие в простейших телефонных сетях, и названа так в честь А. К. Эрланга, впервые её исследовавшего. Для системы M/M/n/0 стационарные вероятности определяются формулой Эрланга

,         .

Следовательно, стационарная вероятность потери заявки определяется формулой:

,

которую также называют формулой Эрланга.

Наконец, когда , то мы имеем систему , для которой при любом  стационарные вероятности существуют и, как следует из формул Эрланга при , имеют вид

.

Вернемся теперь к соотношениям (1.4). Суммируя эти равенства по i=0,1,…,n+r-1 , получаем

,

где - среднее число занятых приборов. Выписанное соотношение выражает равенство интенсивностей принятого в систему и обслуживаемого ею потоков в стационарном режиме. Отсюда мы можем получить выражение для пропускной способности системы , определяемой как среднее число заявок, обслуженных системой в единицу времени, и называемой иногда интенсивностью выхода:

.

Выражение для стационарного числа N заявок в системе нетрудно получить либо непосредственно из распределения вероятностей (4), либо воспользовавшись очевидным соотношением .

Стационарное распределение времени пребывания заявки в системе

Стационарное распределение W(x) времени ожидания начала обслуживания принятой в систему M/M/n/r заявки вычисляется практически так же, как и для системы . Заметим, что заявка, заставшая при поступлении i других заявок в системе, немедленно начинает обслуживаться, если i<n. При полностью загруженной системе заявки выходят из нее через экспоненциально распределенные с параметром  времена.

Путем несложных преобразований находим, учитывая независимость времени обслуживания от времени ожидания начала обслуживания, находим, что стационарное распределение V(x) времени пребывания в системе принятой к обслуживанию заявки имеет ПЛС

.

Стационарные средние времена ожидания начала обслуживания  и пребывания заявки в системе  задаются формулами:

,

.

Последнее выражение можно также получить из формул Литтла.

Нестационарные характеристики

Нестационарное распределение числа заявок в системе  получается интегрированием системы (1) с учетом начального распределения .

Если , то система (1) представляет собой линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Выходящий поток

В системе , в установившемся режиме поток заявок, покидающих систему, является пуассоновским. То же самое можно сказать и о выходящем потоке из системы M/M/n/r, если понимать под ним суммарный поток как обслуженных, так и потерянных заявок. Доказательство этого с помощью метода обращения времени полностью совпадает с доказательством аналогичного факта для системы .

 

2. Обоснование и выбор инструментальной среды для проведения расчетов


Моделирование систем является важным инструментом, когда необходимо понять, объяснить непонятную проблему или решить поставленную задачу с помощью компьютера. Серией компьютерных экспериментов исследуют модель и получают подтверждение или опровержение передэкспериментальных гипотез о поведении модели.

Результаты поведения модели менеджер использует для реального объекта, то есть принимает плановое или прогнозируемое решение, полученное с помощью исследования модели.- это компьютерная программная система для моделирования систем управления. Simulink является составным элементом Matlab и использует для моделирования все возможности. С помощью Matlab Simulink моделируются линейные, нелинейные, дискретные, стохастические и гибридные системы.

При этом, в отличие от классических способов моделирования, пользователю не нужно досконально изучать язык программирования и многочисленные методы математики, а достаточно общих знаний, которые нужны для работы с компьютером, и знаний о той предметной области, в которой он работает.

При работе в Matlab Simulink можно моделировать динамические системы, выбирать методы решения дифференциальных уравнений, а также способов изменения модельного времени (с фиксированным или переменным шагом). В ходе моделирования имеется возможность следить за процессами, которые происходят в системе. Для этого используются специальные устройства наблюдения, входящие в состав библиотеки Simulink. Результаты моделирования могут быть представлены в виде графиков и таблиц.

Преимущество Simulink заключается в том, что он позволяет пополнять библиотеки блоков с помощью программ, написанных как на языке Matlab, так и на языках С++, Fortran и Ada.

Исследуемую модель системы составляют в виде блок-схемы. Каждый типичный блок является объектом с графическими чертежами, графическими и математическими символами исполняемой программой и числовыми или формульными параметрами. Блоки соединяются линиями, которые отражают движение материальных, финансовых и информационных потоков между объектами.

Одной из самых распространенных областей, в которой используется инструментарий Matlab Simulink, является экономика. Simulink, в частности используется при исследовании таких экономических процессов как рыночное равновесие, проектирование оптимальных ставок налогообложения бизнеса, анализ динамики циклов и кризисов, оптимальное планирование на фирмах, в банках, страховых компаниях и пенсионных фондах. массовый обслуживание многоканальный имитационный

Итак, Matlab Simulink - это система имитационного моделирования, которая позволяет удобно и легко строить и исследовать модели экономических процессов.

3. Алгоритмическое обеспечение

 

.1 Постановка задачи


В качестве многоканальной СМО с отказами рассмотрим работу вычислительного центра.

Требуется определить основные характеристики эффективности данной СМО, если интенсивность, с которой каждая ЭВМ обслуживает заказ, равна 1/3 заявки в час, а интенсивность, с которой заявки поступают в вычислительный центр, равна 0,25 единиц в час. Рассмотреть случай увеличения количества ЭВМ на 2 единицы в центре и проследить, как изменятся основные характеристики этой системы. По результатам анализа полученных результатов, дать рекомендации относительно оптимального числа каналов обслуживания.

Рекомендации к решению задачи: здесь n = 3; λ = 0.25 ед. в час.;  = 1/3 в час.

3.2 Математическая модель


Пусть СМО содержит n каналов, интенсивность входящего потока заявок равна , а интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна . Размеченный граф состояний системы изображён на рисунке 2.

Рисунок 2 - График состояний многоканальной СМО с отказами

Состояние S0 означает, что все каналы свободны, состояние Sk (k = 1, n) означает, что обслуживанием заявок заняты k каналов. Переход из одного состояния в другое соседнее правое происходит скачкообразно под воздействием входящего потока заявок интенсивностью  независимо от числа работающих каналов (верхние стрелки). Для перехода системы из одного состояния в соседнее левое неважно, какой именно канал освободится. Величина  характеризует интенсивность обслуживания заявок при работе в СМО k каналов (нижние стрелки).

Легко увидеть, что многоканальная СМО с отказами является частным случаем системы рождения и гибели, если в последней принять  и

       (3.1)

При этом для нахождения финальных вероятностей можно воспользоваться формулами (4) и (5). С учётом (16) получим из них:

         (3.2)

      (3.3)

Формулы (3.2) и (3.3) называются формулами Эрланга - основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании заявки р_отк равна вероятности того, что все каналы заняты, т.е. система находится в состоянии Sn. Таким образом,

 (3.4)

Относительную пропускную способность СМО найдём из (3.4):

     (3.5)

Абсолютную пропускную способность найдём из (3,5):


Среднее число занятых обслуживанием каналов можно найти таким образом: так как каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем  заявок, то  можно найти по формуле:


3.3 Построение моделей СМО с отказами в Simulink

 

.3.1 для 3-х канальной СМО


Рисунок 3 Модель СМО с 3-мя каналами обслуживания

Рисунок 3 (продолжение) Модель СМО с 3-мя каналами обслуживания

В моделях, реализованных в Simulink, есть возможность вывести значения показателей эффективности СМО. При изменении входных параметров, значения будут пересчитываться автоматически.

Система массового обслуживания с тремя каналами может находиться в четырех состояних: S0 - все каналы свободны, S1 - 1 канал занят, S2 - 2 канала занято, S3 - все 3 канала заняты. Вероятности этих состояний представлены на рисунке 4.

Рисунок 4 Вероятности состояний для СМО с 3-мя каналами

3.3.2 Для 5-канальной СМО


Рисунок 5 Модель СМО с 5-ю каналами

Рисунок 5 (продолжение) Модель СМО с 5-ю каналами

Как и в случае n=3 для СМО с n=5 реализован вывод значений показателей эффективности в самой модели.

Система массового обслуживания с пятью каналами может находиться в шести состояних: S0 - все каналы свободны, S1 - 1 канал занят, S2 - 2 канала занято, S3 -3 канала заняты, S4 -4 канала заняты, S5 -все 5 каналов заняты. Вероятности этих состояний представлены на рисунке 7

Рисунок 6 Вероятности состояний для СМО с 5-ю каналами

 


3.4 Расчет показателей эффективности


Расчет показателей эффективности систем массового обслуживания с тремя и пятью каналами был произведен с помощью пакета MS Excel по формулам, описанным в параграфе 3.2

 

.4.1 для 3-х канальной СМО


Таблица 1 Расчет показателей эффективности трехканальной СМО

n (число каналов обслуживания)

3

ʎ (интенсивность входящего потока заявок)

0,25

µ (интенсивность потока обслуженных заявок, выходящих из одного канала)

0,33333

ρ (приведенная интенсивность потока заявок)

0,75

вероятности состояний

 

P_0

0,47584

P_1

0,35688

P_2

0,13383

P_3

0,03346

сумма вероятностей

1

Q (относительная пропускная способность СМО)

0,96654

A (абсолютная пропускная способность СМО)

0,24164

P_serv (вероятность того, что заявка будет обслужена)

0,96654

P_otk (вероятность того, что заявка получит отказ)

0,03346

n' (среднее число занятых каналов)

0,72491

 

3.4.2 Для 5-канальной СМО


Таблица 2 Расчет показателей эффективности пятиканальной СМО

n (число каналов обслуживания)5

0,25

µ (интенсивность потока обслуженных заявок, выходящих из одного канала)

0,33333

ρ (приведенная интенсивность потока заявок)

0,75

вероятности состояний

 

P_0

0,47243

P_1

0,35432

P_2

0,13287

P_3

0,03322

P_4

0,00623

P_5

0,00093

сумма вероятностей

1

Q (относительная пропускная способность СМО)

0,99907

A (абсолютная пропускная способность СМО)

0,24977

P_serv (вероятность того, что заявка будет обслужена)

0,99907

P_otk (вероятность того, что заявка получит отказ)

0,00093

n' (среднее число занятых каналов)

0,7493

 

3.5 Анализ результатов моделирования


Таблица 3 Сравнение результатов моделирования с теоретическими расчетами для трехканальной СМО

Параметр

Теоретическое значение

Эмпирическое значение

Отклонение (в долях)

P_0

0,47584

0,487

0,023

P_otk

0,03346

0,03136

0,07

Q

0,96654

0,9686

0,002

A

0,24164

0,2422

0,002

n'

0,72491

0,7265

0,002


Таблица 4 Сравнение результатов моделирования с теоретическими расчетами для пятиканальной СМО

ПараметрТеоретическое значениеЭмпирическое значениеОтклонение (в долях)




P_0

0,47242823

0,4852

0,026

P_otk

0,000934245

0,0009952

0,061

Q

0,96678239

0,999

0,032

0,241695598

0,2498

0,032

n'

0,725086793

0,7493

0,032


Из таблиц видно, что отклонения эмпирических значений от теоретических не превышает ε=7%. Это означает, что построенные нами модели адекватно описывают поведение системы и они применимы для поиска оптимальных соотношений количества каналов обслуживания.

Таблица 5 Сравнение эмпирических показателей СМО где n=3 и СМО где n=5

Параметр

Показатели СМО где n=3

Показатели СМО где n=5

P_0

0,487

0,4852

P_otk

0,03136

0,0009952

Q

0,9686

0,999

A

0,2422

0,2498

n'

0,7265

0,7493


Очевидно, что чем выше число каналов обслуживания, тем меньше вероятность отказа системы и выше вероятность того, что заявка будет обслужена. Абсолютная пропускная способность системы в случае функционирования 5 каналов хоть и незначительно выше, чем если бы функционировало всего 3 канала, однако это свидетельствует о том, что необходимо сделать выбор в пользу увеличения числа каналов обслуживания.

Таким образом, проведенный эксперимент показал, насколько можно доверять результатам моделирования и выводам, сделанным на основе интерпретации этих результатов.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ


В ходе выполнения курсовой работы были решены все поставленные задачи и достигнута поставленная цель, а именно - были созданы модели, описывающие экономический процесс, рассчитаны показатели этих моделей и сформированы рекомендации для практического применения.

Моделирование было выполнено в системе Matlab Simulink в виде блок-схем, которые в простой и удобной форме показывают сущности экономических процессов. Так же была произведена проверка адекватности построенных моделей путем расчета теоретических показателей эффективности выбранных типов СМО, по результатам которой модели были признаны с большой вероятностью приближенными к реальности. Из этого следует, что при рассмотрении аналогичных процессов и для экономии времени, мы можем воспользоваться моделями, разработанными в ходе этой работы.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


1.       Рыжиков Ю.И. Имитационное моделирование. Теория и технологии. - СПб.: КОРОНА принт: М.: Альтекс-А, 2004.

2.      Варфоломеев В.И. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем: Практикум. Учеб. пособие . - М.: Финансы и статистика, 2000.

.        Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1998

.        Самаров К.Л. Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Учеб. пособие для вузов. - М.: Резольвента, 2009

.        Советов Б.А., Яковлев С.А. Моделирование систем. М: Высшая школа, 1985.

.        Вентцель Е.С. Исследование операций. М: Наука, 1980.

Похожие работы на - Системы массового обслуживания

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!