Решение задач по прикладной механике
Санкт-Петербургский
государственный электротехнический университет“ЛЭТИ”
Пояснительная
записка к курсовому проекту
по
дисциплине Прикладная механика
Вариант 13
Решение
задач по прикладной механике кафедры ПМИГ
Содержание пояснительной записки
Задача
1. Анализ напряженно-деформированного состояния стержня с учётом собственного
веса при деформации растяжения (сжатия)
Задача
2. Исследование напряженно-деформированного состояния стержня при деформации
кручения
Задача
3. Исследование напряженно-деформированного состояния стержня при деформации
плоского поперечного изгиба
Задача 1. Анализ напряженно-деформированного
состояния стержня с учётом собственного веса при деформации растяжения (сжатия)
Дано:
P2=-400 H
P3=600 H
P4=500 H
F1= 6∙10-4м2
F2= 5∙10-4м2
F3= 3∙10-4м2
L1= 0,2 м
L2= 0,3 м
L3= 0,4 м
ϒ=7800
кг/м3
1. Найдём силу реакции опоры R
= 0
R + P2 + P3 + P4 + ϒg(F1
L1 + F2 L2 + F3 L3)=0= P2 + P3 + P4 + ϒg(F1
L1 + F2 L2 + F3 L3)=-400+600+500+ 7800∙9,8(6∙0,2∙10-4 + 5∙0,3∙10-4+3∙0,4∙10-4)
= 729,8 Н
. Найдём внутреннее усилие N
на каждом грузовом участке
Рассмотрим первый грузовой участок
≤x<
L1
-R + N + F1x ϒg=0=
R - F1x ϒg(0)=
729,8 Н
N(0,2)= 729,8-7800∙9,8∙6∙0,2∙10-4=
720,6 Н
Рассмотрим второй грузовой участок
L1≤x< L1+L2
R + P2 + N + ϒgF1
L1 + ϒgF2(x-
L1)=0= R - P2 - ϒgF1
L1 - ϒgF2(x-
L1)(0,2)=
729,8+400-7800∙9,8∙6∙0,2∙10-4=1120,1 Н
N(0,5)=
729,8+400-7800∙9,8∙6∙0,2∙10-4-7800∙9,8∙5∙0,3∙10-4=1109,1
Н
Рассмотрим третий грузовой участок
L1+L2≤x<
L1+L2+L3
R + P2
+ N + ϒgF1
L1 + ϒgF2
L2 +P3
+ ϒgF3(x-(L1+L2))
=0
N= R
- P2 - ϒgF1
L1 - ϒgF2
L2 -P3
- ϒgF3(x-(L1+L2))
N(0,5)= 729,8+400-7800∙9,8∙6∙0,2∙10-4--7800∙9,8∙5∙0,3∙10-4-600=
509,1 Н(0,9)=
729,8+400-7800∙9,8∙6∙0,2∙10-4-7800∙9,8∙5∙0,3∙10-4-600-7800∙9,8∙3∙0,4∙10-4=499,9
Н
3. Найдём нормальное напряжение Ϭx
на каждом грузовом участке:
Рассмотрим первый грузовой участок
≤x<
L1
Ϭx=
=
-
ϒgx
Ϭx(0)=
=1220∙103
Па
Ϭx(0,2)=
1220∙103-7800∙9,8∙0,2= 1204,7 Па
Рассмотрим второй грузовой участок
L1≤x<
L1+L2
Ϭx=
=
-
-
-
ϒg(x-
L1)
Ϭx(0,2)=
1460∙103 + 800∙103 - 18,4∙103 = 2241,6∙103 Па
Ϭx(0,5)=
2241,6∙103 - 7800∙9,8∙0,3 = 2218,7∙103 Па
Рассмотрим третий грузовой участок
L1+L2≤x<
L1+L2+L3
Ϭx=
=
-
-
-
-
-
ϒg(x-(L1+L2))
Ϭx(0,5)=2433∙103
+ 1333∙103 - 31∙103 - 2000∙103 = 1735∙103 Па
Ϭx(0,9)= 1735∙103
- 7800∙9,8∙0,4 = 1704,4∙103 Па
4. Найдём перемещение U
на каждом грузовом участке:
U1 = 
=(
-
)
U1 = 
-
=
1,15∙10-6 м
=1,15 мкм
U2=
= ( 
-
-
-
)
U2= 3,23 мкм=
=
( 
-
-
-
-
-
)
U3= 3,36 мкм+
U2+ U3= 7,74 мкм
5. Определим положение опасного сечения
При x=L1=0,2 м
Ϭxmax= 2241,6∙103
Па
6. Определим нормальное и касательное
напряжения на площадке, составляющей угол α=30○
с осью стержня.
Ϭα=
Ϭxmax∙cos2α
τα=
Ϭxmax∙sin2α
Ϭα=
2241,6∙103∙0,79= 1771 кПа
τα=∙2241,6∙103∙0,809=
906,7 кПа
Задача 2
Исследование напряженно-деформированного
состояния стержня при деформации кручения.
Дано:
M1= -8 Н∙м
M3= 5 Н∙м
m3= -50 Н∙м/м
L1= 0,1 м
L2= 0,2 м
L3= 0,2 м
. Определим неизвестный момент M2:
=0
M1 + M2
+ M3 + m3∙
L3 = 0
M2= -M1
- M3 - m3∙
L3
M2= 8-5+50∙0,2
= 13 Н∙м
. Запишем уравнения внутреннего усилия Mx
на каждом грузовом участке:
Рассмотрим первый грузовой участок
≤x<
L1
Mx=0
Рассмотрим второй грузовой участок
L1≤x<
L1+L2
Mx + M1
= 0
Mx=- M1
Mx= 8 Н∙м
Рассмотрим третий грузовой участок
L1+L2≤x< L1+L2+L3+ M1 + M2
+ M3 + m3∙(x-( L1+L2) = 0 = - M1
- M2 - M3
- m3∙(x-(
L1+L2)
Mx(0,3) = 8 -
13= -5 Н∙м
Mx(0,5) = -5 +
10 = 5 Н∙м
. Все сечения второго грузового участка
равноопастны,
при L1≤x<
L1+L2
Mxmax=8 Н∙м
. Подберём размеры круглого поперечного сечения
вала, если [τ] = 10 Мпа
r= 
r=
=0,8∙10-2= 8 мм=0,008 м
5. Определим полный угол закручивания сечений:
ϕ= 
+
+
=
= 0 - 
x
- 
-
+
= 
= 6,4∙10-9
ϕ= 0 +0,0045 - 0,0015 - 0,005 +
0,003 +0,012 - 0,004 - 0,015 + 0,009 = 0,003 рад
ϕ= 0,003 рад
Задача 3
Исследование напряженно-деформированного
состояния стержня при деформации плоского поперечного изгиба.
Дано:
P1=20 H
P3=-30 H
M2= 2 Н∙м
M3= 6 Н∙м
q3= 150 Н/м
L1= 0,4 м
L2= 0,1 м
L3= 0,3 м
. Определим реакции опоры
= 0
- R
+ P1 + P3
+ q3∙L3
= 0
R = P1 + P3 + q3∙L3= 20 - 30
+150∙0,3 = 35 H
= 0
MR - P1L1 + M2 - q3L3(L1+L2+L3/2) -
P3(L1+L2+L3) + M3 = 0= - P1L1 + M2 - q3L3(L1+L2+L3/2) - P3(L1+L2+L3) + M3= -20∙0,4+2-150∙0,3(0,4+0,1+0,15)+30∙0,8+6=
-
5,25
Н∙м
2. Запишем уравнения внутренних усилий Qz
и My на каждом грузовом
участке
Рассмотрим первый грузовой участок
≤x<
L1
-R + Qz = 0= R= 35 H
Rx - MR + My = 0= Rx + MR(0)= - 5,25
Н∙м(0,4)=
35∙0,4 - 5,25 = 8,75 Н∙м
Рассмотрим второй грузовой участок
L1≤x<
L1+L2
R + P1
+ Qz = 0
Qz = R
- P1
Qz = 35 - 20 =
15 H
-Rx + P1(x-L1) - MR + My = 0= Rx -
P1(x-L1) + MR (0,4)= 35∙0,4 - 5,25 = 8,75 Н∙м
My (0,5)= 35∙0,5
- 20∙0,1 - 5,25 = 10,25 Н∙м
Рассмотрим третий грузовой участок
R + P1
+ q3∙(x-(L1+
L2)) + Qz
= 0
Qz = R
- P1 - q3∙(x-(L1+
L2))
Qz (0,5)= 35 -
20 = 15 H
Qz (0,8)= 15 - 150∙0,3 = -30 H
Rx + P1(x-L1) + M2 + q3(x-(L1+L2))∙
(x-(L1+L2))/2 - MR + My = 0= Rx - P1(x-L1) - M2 - q3(x-(L1+L2))∙
(x-(L1+L2))/2 + MR (0,5)= - 5,25 +35∙0,5 - 20∙0,1
- 2 = 8,25 Н∙м
My (0,8)= -
5,25 +35∙0,8 - 20∙0,4 - 2 - 150∙0,045 = 6 Н∙м
На данном грузовом участке найдём значение x,
при котором Qz=0
Qz = R
- P1 - q3∙(x-(L1+
L2))=0
- 20 -150∙(x-0,5)=0
x=0,6
При данном значении x,
My принимает
максимальное значение на третьем грузовом участке.
My (0,6)= 9
Н∙м
3. Опасное сечение наблюдается на втором
грузовом участке
Mymax=10,25 Н∙м
при x=0,5м
. Подберём размеры прямоугольного
поперечного сечения, при условии:
h/b=2
и [Ϭ]= 100 Мпа
[Ϭ]= 
h=2b
b=
b= 
=
0,54∙10-2=
5,4 мм= 0,0054 м
h= 2∙0,0054=10,8
мм= 0,0108 м