Решение задач с использованием производных
Задание 1
функция производные экстремум
Исследовать функцию на непрерывность:
Решение
Функция f(x) -
непрерывна в т х = а, если соблюдаются следующие условия:
при х = а функция f(x) имеет
определенное значение b;
при х → а функция имеет
предел, тоже равный b;
При нарушении хотябы одного из этих
условий функция называется разрывной в т х = а.
- значит в т х = 0 функция
непрерывна.
- значит в т х = 1 функция имеет
разрыв.
Покажем это на графике:
Задание 2
Найти производные функций:
Решение
Задание 3
Найти производные первого и второго порядков
функций
Решение
Задание 4
Материальная точка движется
прямолинейно по закону 
. Найти
скорость и ускорение в момент времени t = 3c. (S - выражено
в метрах).
Решение
Найдем скорость:
Найдем ускорение
Ответ: 
, 
Задание 5
Найти экстремальные значения функции.
Решение
Исследуем функцию на наличие точек
экстремума (точек максимума и минимума).
(-1; -2) и (1; 2) - точки
подозрительные на экстремум.
Рассчитаем значение производной
справа и слева от критической точки.
Значит на промежутке (
;-1) и (1; 
) функция
убывает, на промежутке [-1; 1] функция возрастает.
Занесем для ясности полученные
значения в таблицу:
(1; 2) - точка максимума. (-1; -2) -
точка минимума.
Задание 6
Исследовать функции и построить их графики.
Решение
) Область определения:
Функция определена и непрерывна на
всей числовой прямой т.к. f(x) -
многочлен.
2)Точки пересечения с осями
координат:
С осью ОХ т.е.
у=0: 
Вычисления сложны, поэтому точку
пересечения с ОХ найдем из графика
С осью ОУ т.е. х=0:
- точка пересечения с осою ОУ.
) Исследуем на четность нечетность.
Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x), то
функция четная, если f(-x) = -f(x), то
функция нечетная, при х
D(y). Если
равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.
Функция ни четная ни нечетная
)Исследуем на наличие асимптот.
Вертикальных асимптот нет т.к. нет
точек разрыва.
Наклонные асимптоты:
y = kx + b - уравнение
наклонной асимптоты.
тогда
Значит и наклонных асимптот тоже
нет.
)Исследуем функцию на наличие точек
экстремума (точек максимума и минимума), промежутки возрастания и убывания
функции.
- точка подозрительная на экстремум.
- точка подозрительная на
экстремум.
- точка подозрительная на
экстремум.
Исследуем поведение функции справа и
слева от каждой критической точки
Значит на промежутке (; -1) [0; 2]
функция убывает, а на промежутке [-1; 0] и (2;) функция возрастает.
Занесем полученные данные в таблицу:
- точка максимума. и - точки
минимума.
)Исследуем функцию на наличие точек
перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости функции.
- точка подозрительная на перегиб.
- точка подозрительная на перегиб.
, - координата точек перегиба.
)Область определения:
так как на 0 делить нельзя
2)Точки пересечения с осями
координат:
С осью ОХ т.е.
у=0: 
С осью ОУ т.е. х=0: 
- точка пересечения с осою ОУ.
) Исследуем на четность нечетность.
Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x), то
функция четная, если f(-x) = -f(x), то
функция нечетная, при хD(y). Если
равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.
Функция нечетная
)Исследуем на наличие асимптот.
Так как х ≠ -1 и х ≠ 1
то х = -1 и х = 1 вертикальная асимптота.
Наклонные асимптоты:
y = kx + b - уравнение
наклонной асимптоты.
тогда
у = 0 - горизонтальная асимптота
графика функции.
)Исследуем функцию на наличие точек
экстремума (точек максимума и минимума), промежутки возрастания и убывания
функции.
Значит точек экстремума нет
Рассчитаем значение производной
справа и слева от каждой критической точки.
Значит функция убывает на всем
промежутке
)Исследуем функцию на наличие точек
перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости функции.
- точка подозрительная на перегиб.
Исследуем поведение функции справа и
слева от х = -1 и х = 0
- координаты точки перегиба.
Список использованной литературы
1.Выгодский М.Я. Справочник по
высшей математике. - М.: АСТ: Астрель, 2006. - 991с.
.Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова
Т.А. Высшая математика. Под ред. А.И. Кирилова. - 3-е изд., испр. - М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 368с.
.Выгодский М.Я. Справочник по
элементарной математике. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 509с.
.Красс М.С., Чупрыков Б.П.
Математика для экономистов. - СПб.: Питер 2007. - 464с.