Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad

  • Вид работы:
    Курсовая работа (т)
  • Предмет:
    Информационное обеспечение, программирование
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    302,17 kb
  • Опубликовано:
    2011-03-25
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad












Курсовая работа

На тему:


«Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad»







Екатеринбург 2010

1. Краткие теоретические сведения

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка:

y(n) = f (x, y, y, y’’… y(n-1))

Общее решение этого уравнения зависит от n-произвольных постоянных.

Точное решение дифференциального уравнения может быть найдено вручную, либо операторным методом в пакете MathCad. Также есть приближенные методы решения: решение с помощью рядов, численные методы и др. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения приближенного решения останавливаются на некотором шаге процесса.

Принцип операторного метода состоит в том, что при переводе функции дифференциального уравнения y(n) = f (x, y, y, y’’… y(n-1)) в пространство Лапласа мы получаем изображение F(s), которое зависит только от одной переменной s. Отсюда, по теореме о единственности мы можем найти точное решение дифференциального уравнения.

Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за приближенное решение принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х0) = y0, причём известно, что f (x, у) – аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0, y0). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:

y (x) – y (x0) =

Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо последовательным дифференцированием, либо с помощью метода неопределенных коэффициентов, который применяется в курсовой работе. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х – х0.

К численным методам относятся методы, позволяющие находить приближенное решение при некоторых значениях аргумента (т.е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов (метод Рунге-Кутты).

Если a – точное решение, то абсолютной погрешностью приближенного значения a* называют величину Д(а*), которая определяется следующим образом:

|a*-a| ≤ Д(a*)

Относительной погрешностью Дa приближенного значения называют некоторую величину, которая определяется следующим образом:

|(a*-a)/ a* | ≤ д(a*)

Таким образом, эти две погрешности связаны между собой:

д(a*) = Д(a*) / |a*|

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Числа a* и Дa принято записывать с одинаковым количеством знаков после запятой.

2. Дифференциальное уравнение


Получить точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать локальную погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов с использованием точного решения.

Дано:

2x''+5x'=29cos t

x(0)= -1

x'(0)=0

 

2.1 Точное решение операторным методом


Пусть X(s) изображение, а х(t) оригинал.

Продифференцируем левую часть уравнения:

2x''+5x'=5*(s2*X-s*x(0) – x'(0))+5*(s*X-x(0))

Подставим данные значения x(0) и x'(0) в уравнение и получим:

x''-3x'+2x= 2*(s2*X+s)+5*(s*X+1)=X*(2s2+5s)+s*2+5

Преобразуем правую часть уравнения в пространство Лапласа

Найдем значение изображения:

Given


Сопоставим изображению оригинал:


Найдем значения функции, построим её график:


дифференциальный уравнение эйлер операторный

2.2 Приближенное решение с помощью рядов



Запишем функцию в виде ряда:


Найдем производные первого и второго порядков от этой функции:


Разложим в ряд правую часть уравнения:


Полученные ряды подставим в исходное уравнение:


Найдем значения коэффициентов




Подставим найденные значения в разложение функции в ряд и построим график функции:



2.3 Численное решение методом Эйлера


Перепишем условие следующим образом:

x'=z

z'+ 5z=29cos t

z'=29cos t – 5z

Задаём начальные данные:



Находим значение x и x'



Для сравнения решим это дифференциальное уравнение с шагом 0,01. Построим график.

2.4 Численное решение методом Рунге-Кутты четвертого порядка


Определяем функцию D, задающую производные и находим значения функции. Строим график функции:




 

 


2.5 Расчет погрешности приближенного и численных методов


Таблица 1 – Значения функции

Заданный интервал

Точное решение

Приближенное с помощью рядов

Метод Эйлера (шаг 0,1)

Метод Эйлера (шаг 0,01)

Метод Рунге Кутты

0

-1,000000

-1,000000

-1,000000

-1,000000

-1,000000

0,1

-0,933240

-0,933240

-1,000000

-0,938953

-0,933221

0,2

-0,753725

-0,753766

-0,855000

-0,762488

-0,753695

0,3

-0,488339

-0,488787

-0,601974

-0,498255

-0,488302

0,4

-0,159271

-0,161707

-0,270096

-0,168991

-0,159232

0,5

0,214972

0,205973

0,117337

0,206412

0,215012

0,6

0,618801

0,592753

0,541466

0,612091

0,618840

0,7

1,038952

0,975227

0,986812

1,034588

1,038989

0,8

1,464038

1,326187

1,440495

1,462384

1,464072

1,884213

1,612712

1,891659

1,885536

1,884245

1

2,290920

1,794271

2,331055

2,295416

2,290950


Таблица 2 – Локальная, абсолютная и относительная погрешность


Абсолютная погрешность

Относительная погрешность

Решения с помощью рядов

метода Эйлера (шаг 0,1)

метода Эйлера (шаг 0,01)

метода Рунге Кутты

Решения с помощью рядов

метода Эйлера (шаг 0,1)

метода Эйлера (шаг 0,01)

метода Рунге Кутты

Локальная погрешность

0,000000

0,000000

0,000000

0,000000

0,0

0,0

0,0

0,000

0,000000

0,066760

0,005713

-0,000019

0,0

-6,7

-0,6

0,002

0,000041

0,101275

0,008763

-0,000030

0,0

-11,8

-1,1

0,004

0,000448

0,113635

0,009916

-0,000037

-0,1

-18,9

-2,0

0,008

0,002436

0,110825

0,009720

-0,000039

-1,5

-41,0

-5,8

0,024

0,008999

0,097635

0,008560

-0,000040

4,4

83,2

4,1

0,026048

0,077335

0,006710

-0,000039

4,4

14,3

1,1

-0,006

0,063725

0,052140

0,004364

-0,000037

6,5

5,3

0,4

-0,004

0,137851

0,023543

0,001654

-0,000034

10,4

1,6

0,1

-0,002

0,271501

-0,007446

-0,001323

-0,000032

16,8

-0,4

-0,1

-0,002

0,496649

-0,040135

-0,004496

-0,000030

27,7

-1,7

-0,2

-0,001



2.6 Совместное графическое решение


Рисунок 1 – Совместное графическое решение

Из всех методов наиболее точным оказался метод Рунге-Кутты, его максимальная относительная погрешность 0,024%, относительная погрешность приближенного метода составила 27,7%. Метод Эйлера с шагом 0,1 имеет наибольшую погрешность 83,2%, однако при уменьшении шага в до 0,01 его погрешность составляет всего 5,8%. Это подтверждает то, что погрешность метода Эйлера сильно зависит от принятого шага. Проанализировав графическое решение делаем вывод о том, что методы Эйлера и Рунге-Кутты повторяют форму кривой точного решения, а график приближенного решения с увеличением аргумента всё сильнее отклоняется от искомого графика – свидетельство того, что погрешность решения с помощью рядов зависит от количества членов ряда. Характер кривой также говорит о том, что точность приближенного решения с помощью рядов удовлетворительна только вблизи некоторой точки.

3. Система дифференциальных уравнений


Решить систему дифференциальных уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента), численное решение методом Эйлера, Рунге-Кутты. Представить графическое совместное решение, рассчитать локальную, относительную и абсолютную погрешность решения.

Дано:

dx/dt=3x + y

dy/dt=5/2x – y + 2

x(0)=0

y(0)=1

3.1 Точное решение операторным методом


Пусть X(s) изображение, для оригинала x(t), Y(s) изображение для оригинала y(t). Перейдем от оригинала к изображению:

Найдем значения изображений:


Найдем значения функции и построим её график:



 

3.2 Приближенное решение с помощью рядов


Преобразуем систему таким образом что, получим дифференциальное уравнение второго порядка, зависящее только от x:

x''-2x'-11/2x-2=0

Алгоритм решения такой же, как и при решении дифференциального уравнения с правой частью специального вида, но без необходимости раскладывать правую часть.










Похожие работы на - Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!