Определение вероятности событий
ЗАДАНИЕ №1. Вероятность события. Теоремы
сложения и умножения событий
Среди 10 документов, поступивших в офис, два оформлены с ошибками. Для
проверки наудачу взяли 4 документа. Какова вероятность того, что среди них
окажется:
а) хотя бы один неверно оформленный документ,
б) только один неверно оформленный документ.
a) Воспользуемся
классической формулой Р(А)=,
Число
N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из
10 документов взять четыре, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 4: .
Событие
«выбран хотя бы один неверно оформленный документ» - это появление одного из
двух несовместных событий А1=«выбран один неверно оформленный документ и три
верно оформленных» и А2=«выбраны два неверно оформленных и два верно
оформленных документа» .
Данная выборка - неупорядоченная, без повторений.
Вероятность первого события:
Вероятность второго события:
Вероятность события «выбран хотя бы один неверно оформленный документ»
определяется как сумма несовместных событий А1 и А2:
b) Воспользуемся
классической формулой Р(B)=,
Число
N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из
10 документов взять четыре, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 4: . Вероятность того, что лишь один документ будет
оформлен неверно - это совместное появление событий «один документ оформлен
неверно» и «три документа оформлены верно» .
Т.е.,
число благоприятных исходов .
Т.к.
данная выборка - неупорядоченная, без повторений, то:
ЗАДАНИЕ
№ 2. Теорема полной вероятности события
Рассмотрим гипотезы:
Н1 - лампа поступила с первого завода,
Н2 - лампа поступила со второго завода.
Тогда из условия Р(Н1)=0,4; Р(Н2)=0,6.
Событие А - лампа работает бесперебойно.
По условию Р(А/Н1)=0,1; Р(А/Н2)=0,2.
Следовательно, по формуле полной вероятности
Р(А)=0,4·0,1+0,6·0,2=0,16.
ЗАДАНИЕ №3. Повторные независимые
испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Формула Муавра-Лапласа
В поселке из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность
того, что из 400 300 имеют холодильники.
По формуле Муавра-Лапласа:
где:
φ(x) - функция Гаусса, определяется по
таблицам,=0.8 - вероятность появления события, q=1-p,=400 - число
испытаний,=300 - число появлений события в n испытаниях.
по
таблицам найдем: φ(-2.5)= φ(2.5)=0.0175
Искомая
вероятность равна: .
ЗАДАНИЕ №4. Закон распределения вероятностей
случайных дискретных величин. Числовые характеристики дискретных случайных
величин. Функция распределения вероятностей случайной величины
. По заданному закону распределения дискретной случайной величины Х:
Условие нормировки: 0.2+0.3+0.1+0.2+0.2=1.
Если x из (-∞;1], то F(x)=P(X<x)=0;
если x из (1;4], то F(x)=P(X<x)=P(X=1)=0.2;
если x из (4;5], то F(x)=P(X<x)=P(X=1)+P(X=4)=0.2+0.3=0.5;
если x из (5;7], то F(x)=P(X<x)=P(X=1)+ P(X=4)+
+P(X=5)=0.2+0.3+0.1=0,6;
если x из (7;8], то F(x)=P(X<x)=P(X=1)+ P(X=4)+ P(X=5)+
+P(X=7)=0.2+0.3+0.1+0.2=0.8;
если x из (8;+ ∞ ), то F(x)=P(X<x)=P(X=1)+ P(X=4)+P(X=5)+P(X=7)+
+P(X=8)=0.2+0.3+0.1+0.2+0.2=1.
Следовательно,
Математическое ожидание:
Дисперсия:
=M[X2]-mx2
Dx=30.1-4.9=25.2.
Среднее квадратическое отклонение:
σx = = =5.02.
ЗАДАНИЕ №5 Статистическое распределение. Геометрическое изображение.
Выборочные характеристики статистического распределения
По данному статистическому распределению выборки вычислить:
а) выборочную среднюю,
с) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Построить полигон частот или гистограмму.
xi
|
11,5
|
12,0
|
12,5
|
13,0
|
13,5
|
14,0
|
14,5
|
ni
|
5
|
13
|
40
|
26
|
7
|
5
|
4
|
а) Выборочная средняя:
.
.
с)
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
.
вероятность событие формула распределение
Полигон
частот: