Определение вероятности события и статистического распределения
Задание 1
В коробке смешаны электролампы одинакового
размера и формы: по 150 Вт - 8 штук и по 100 Вт - 13. Вынуты из коробки наугад
три лампы. Найти вероятность того, что среди них:
а) только одна лампа по 150 Вт; b)
две лампы по 150 Вт;
с) не менее двух ламп по 150 Вт; d)
хотя бы одна лампа по 150 Вт;
е) все лампы одинаковой мощности.
Решение
a) событие F1
- из трех наудачу взятых ламп только одна будет 150 Вт:
b) событие F2 - из трех
наудачу взятых ламп две лампы будут по 150 Вт:
c) событие F3 - из трех
наудачу взятых ламп не менее 2 будет по 150 Вт:
d) событие F4 - из трех
наудачу взятых деталей будет хотя бы одна лампа 150 Вт:
e) событие F5 - из трех
наудачу взятых ламп все три будут одной мощности
Задание 2
По самолету производится три независимых
выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором -
0,5, при третьем - 0,6. Для вывода самолета из строя достаточно трех попаданий.
При двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,7, при одном попадании
- с вероятностью 0,4.
. Найти вероятность того, что в результате трех
выстрелов самолет будет выведен из строя.
. В результате трех выстрелов самолет не был
выведен из строя. Сколько попаданий вероятнее всего произошло в самолет?
Решение
) Рассмотрим гипотезы:
H1 - из трех
выстрелов не будет ни одного попадания
H2 - из трех выстрелов
будет ровно одно попадание
H3 - из трех
выстрелов будет два попадания
H4 - из трех
выстрелов будет три попадания
и событие
F - самолет будет
выведен из строя.
Тогда
P(H1)=0,6×0,5×0,4=0,12
|
P(F/H1)=0
|
P(H2)=0,4×0,5×0,4+0,6×0,5×0,4+0,6×0,5×0,6=0,38
|
P(F/H2)=0,4
|
P(H3)=0,4×0,5×0,4+0,4×0,5×0,6+0,6×0,5×0,6=0,38
|
P(F/H3)=0,7
|
P(H4)=0,4×0,5×0,6=0,12
|
P(F/H4)=1
|
События Hi
образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности получим:
=0,12×0+0,38×0,4+0,38×0,7+0,12×1=0,538
) Рассмотрим событие F - самолет
не был выведен из строя при трех выстрелах при тех же гипотезах, тогда
P(F/H1)=1
|
P(F/H2)=0,6
|
P(F/H3)=0,3
|
P(F/H4)=0
|
Т.к. самолет не был выведен из строя, т.е.
событие F произошло, то
вероятности гипотез определим по формуле Байеса
=0,12×1+0,38×0,6+0,38×0,3+0,12×0=0,462
Таким образом, вероятнее всего в самолет
произошло одно попадание.
Задание 3
Согласно статистическим данным в городе N
в среднем 18% открывающихся новых предприятий прекращают свою деятельность в
течение года.
1. Какова вероятность того, что из 6 наугад
выбранных новых предприятий города N
к концу года деятельности останется:
а) ровно 4; b)
4; с) менее 4; d) хотя бы
одно предприятие?
. Вычислить вероятность того, что из ста вновь
открытых предприятий в городе N
к концу года прекратят свою деятельность:
а) 15; b)
не менее 15; с) не более 21; d)
не менее 13, но не более 23 предприятий.
Решение
)
n=6q=0,18p=1-q=1-0,18=0,82
Значение n<10,
поэтому для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:
a) ровно 4
предприятия останется:
b) более 4
предприятий останется:
P(более 4)=P6(5;6)=P6(5)+P6(6)
Тогда
c) менее 4
предприятий останется:
P(менее 4)=1-P(не менее
4)=1-P6(4;6)=1-(0,2197+0,4004+0,304)=0,0759
d) хотя бы
одно предприятие останется
P(хотя бы
1)=1-P(ни
одного)=1-P6(0)=1-0,186=0,999966
)
n=100p=0,18q=0,82
Значение n=100
достаточно велико, поэтому для расчетов воспользуемся локальной и интегральной
формулами Лапласа:
a) ровно 15
предприятий прекратят свою деятельность:
,
где , а j(x) - локальная функция Лапласа
По таблице находим, что
j(-0,78)=j(0,78)=0,2943, Þ
b) не менее
15 предприятий прекратят свою деятельность, т.е. от 15 до 100:
Pn(k1;k2)»Ф(x2)-Ф(x1),
где и , а Ф(x) -
интегральная функция Лапласа
,
По таблице значений функции Ф(x) находим,
что Ф(-0,78)=-Ф(0,78)=-0,2823, а Ф(21,34)=0,5, Þ P100(15;100)»0,5+0,2823=0,7823
c) не более
21 предприятия прекратят свою деятельность:, т.е. от 0 до 21:
,
По таблице значений функции Ф(x) находим,
что Ф(-4,69)=-Ф(4,69)=-0,499999, а Ф(0,78)=0,2823, Þ P100(0;21)»0,2823+0,499999=0,782299
d) не менее
13, но не более 23 предприятий прекратят свою деятельность:
,
По таблице значений функции Ф(x) находим,
что Ф(1,3)=0,4032, Þ
P100(13;23)»0,4032+0,4032=0,8064
Задание 4
Два бухгалтера независимо друг от
друга заполняют одинаковые ведомости. Первый бухгалтер допускает ошибки в среднем
в 8%, второй - в 12% всех документов. Количество заполненных ведомостей первым
бухгалтером равно 1, вторым - 2. Рассматривается случайная величина (с.в.) - число
ведомостей, заполненных двумя бухгалтерами без ошибок.
. Составить ряд распределения с.в. и
представить его графически.
. Найти функцию распределения с.в. и построить
её график.
. Вычислить математическое ожидание
(среднее значение) М, дисперсию
D и среднее
квадратическое (стандартное) отклонение ().
. Определить вероятности: а) Р; b) Р; c) Р
Решение
) Определим возможные значения случайной
величины Х и их вероятности:
Х=0: 0,92×0,882=0,712448
Х=1: 0,08×0,882+0,92×(0,12×0,88+0,88×0,12)=0,256256
Х=2: 0,92×0,122+0,08×(0,12×0,88+0,88×0,12)=0,030144
Х=3: 0,08×0,122=0,001152
Проверка:
,712488+0,256256+0,030144+0,001152=1
Запишем ряд распределения
x
|
0
|
1
|
2
|
3
|
p
|
0,712488
|
0,256256
|
0,030144
|
0,001152
|
Изобразим ряд распределения графически в виде
полигона
2) Составим функцию распределения:
Построим график функции
распределения
) Математическое ожидание и
дисперсия находятся по формуле:
D(X)=0,3872-0,322=0,2848
) Найдем требуемые вероятности:
Р(X<MX)=Р(X<0,32)=F(0,32)=0,712448
Р(X³MX+1)=1-Р(X<1,32)=1-F(1,32)=1-0,968704=0,031296
=P(-0,2137<X<0,8537)=0,712448-0=0,712448
Задание 5
Между двумя населенными пунктами,
отстоящими друг от друга на расстоянии L = 9 км,
курсирует автобус с остановками по требованию в любом месте. Расстояние (в км),
которое проезжает некий пассажир, севший в автобус в начале маршрута, является
случайным с плотностью распределения
. Установить неизвестную постоянную С и
построить график функции p(x).
. Вычислить математическое ожидание
(среднее значение) М, дисперсию D и среднее
квадратическое (стандартное) отклонение ().
. Во сколько раз число высадок от
начала маршрута до среднего места поездки пассажира превосходит число высадок
от этого места до конца маршрута автобуса?
Решение
) Для нахождения постоянной C
воспользуемся свойством плотности распределения:
Построим график плотности
распределения
) Найдем функцию распределения
а) если x<0, то F(x)=0, т.к.
значений, меньших 0, случайная величина не принимает.
б) если 0£x<9, то
в) если x>3, то
в силу свойства плотности
распределения
Окончательно получим:
Построим график F(x):
) математическое ожидание
вычисляется по формуле
Дисперсия вычисляется по формуле:
, где
DX=24,3-4,52=4,05
Среднее квадратическое отклонение
равно:
)
Р(X<MX)=Р(X<4,5)=F(4,5)=
Р(X³MX)=1-Р(X<MX)=1-0,5=0,5
Т.е. число высадок от начала
маршрута до среднего места поездки пассажира и число высадок от этого места до
конца маршрута автобуса равны.
Задание 6
При переносе грузов вертолетами используются
тросы, которые изготовлены из синтетических материалов на основе новых
химических технологий. В результате 25 испытаний троса на разрыв получены
следующие данные (в тоннах):
.948, 3.875, 5.526, 5.422, 4.409, 4.314, 5.150,
2.451, 5.226, 4.105, 3.280, 5.732, 3.249, 3.408, 7.204, 5.174, 6.222, 5.276,
5.853, 4.420, 6.525, 2.127, 5.264, 4.647, 5.591
Необходимо:
1. Определить исследуемый признак и его тип
(дискретный или непрерывный).
2. В зависимости от типа признака построить
полигон или гистограмму относительных частот.
. На основе визуального анализа полигона
(гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения исследуемого
признака.
. Вычислить выборочные характеристики
признака: среднее, дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
. Используя критерий согласия
«хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в
п.3 закону распределения при уровне значимости 0,01.
. Для генеральной средней и дисперсии
построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности
0,99.
. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о
равенстве:
а) генеральной средней значению 5С;
б) генеральной дисперсии значению С 2 , где С =
1,09.
Решение
Значения выборки в соответствии с вариантом
задания
,21332
,22375
,02334
,90998
,80581
,70226
,6135
,67159
,69634
,47445
,5752
,24788
,54141
,71472
,85236
,63966
,78198
,75084
,37977
,8178
,11225
,41653
,73776
,09419
. Тип признака - непрерывный, т.к. случайная величина
может принимать любые значения из некоторого интервала.
. Построим гистограмму относительных частот.
Определим количество интервалов:
k=1+1,44×ln
n,
где n
- количество значений, а k
- количество интервалов.
В данном случае имеется 25 значений, поэтому
количество интервалов равно:
k=1+1,44×ln
25 »
5,6.
Примем количество интервалов равным 5.
Определим величину одного интервала:
Определим относительные частоты для
каждого интервала. Расчеты удобно провести в таблице
№ интервала
|
Интервал
|
ni
|
wi
|
|
1
|
2,417…3,504
|
3
|
0,12
|
0,1104
|
2
|
3,504…4,591
|
5
|
0,2
|
0,1840
|
3
|
4,591…5,678
|
6
|
0,24
|
0,2208
|
4
|
5,678…6,765
|
8
|
0,32
|
0,2943
|
5
|
6,765…7,852
|
3
|
0,12
|
0,1104
|
Построим гистограмму
. На основе
визуального анализа можно выдвинуть гипотезу о распределении признака по
нормальному закону.
. Определим
выборочные характеристики изучаемого признака.
а)
выборочное среднее:
б)
выборочная дисперсия:
в)
выборочное среднее квадратическое отклонение
. Проверим
гипотезу о соответствии выборочных данных нормальному распределению
Определим
концы интервалов по формуле , для чего составим таблицу
i
|
Границы интервалов
|
Границы интервалов
|
|
xi
|
xi+1
|
zi
|
zi+1
|
1
|
2,4165
|
3,5037
|
-¥
|
-1,188
|
2
|
3,5037
|
4,5909
|
-1,188
|
-0,390
|
4,5909
|
5,6780
|
-0,390
|
0,408
|
4
|
5,6780
|
6,7652
|
0,408
|
1,205
|
5
|
6,7652
|
7,8524
|
1,205
|
+¥
|
Найдем
теоретические вероятности pi и теоретические частоты . Результаты
расчетов запишем в таблицу
i
|
Границы интервалов
|
Ф(zi)
|
Ф(zi+1)
|
pi
|
|
|
zi
|
zi+1
|
|
|
|
|
1
|
-¥
|
-1,188
|
-0,5
|
-0,383
|
0,117
|
2,94
|
2
|
-1,188
|
-0,390
|
-0,383
|
-0,152
|
0,231
|
5,77
|
3
|
-0,390
|
0,408
|
-0,152
|
0,158
|
0,310
|
7,75
|
4
|
0,408
|
1,205
|
0,158
|
0,386
|
0,228
|
5,69
|
5
|
1,205
|
+¥
|
0,386
|
0,5
|
0,114
|
2,85
|
Вычислим
наблюдаемое значение критерия Пирсона . Для этого составим таблицу:
i
|
ni
|
|
|
|
|
1
|
3
|
2,94
|
0,06
|
0,0039
|
0,0013
|
2
|
5
|
-0,77
|
0,5916
|
0,1025
|
3
|
6
|
7,75
|
-1,75
|
3,0572
|
0,3946
|
4
|
8
|
5,69
|
2,31
|
5,3221
|
0,9348
|
5
|
3
|
2,85
|
0,15
|
0,0220
|
0,0077
|
Итого
|
25
|
25
|
|
|
1,4410
|
=1,441
По уровню
значимости a=0,01
и количеству степеней свободы k=n-3=5-3=2 находим по таблице
критических точек: =9,2
Т.к. , то нет
оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении критической массы на
разрыв.
. Построим
доверительный интервал для генеральной средней и генеральной дисперсии
Предельная
ошибка выборки для средней рассчитывается по формуле:
где t -
коэффициент доверия, который зависит от вероятности, с которой делается
утверждение.
Коэффициент
доверия находится из соотношения 2Ф(t)=p, где Ф(х) - интегральная функция
Лапласа.
По условию
p=0,99, Þ
Ф(t)=0,99
Ф(t)=0,495=2,58.
Границы, в
которые попадает генеральная средняя, задаются неравенствами:
,1225 -
0,7034 £
a £
5,1225 + 0,7034
,4191 £
a £
5,5259
Найдем
интервальную оценку дисперсии:
По таблице
критических точек распределения находим, что =42,98, а =10,86,
тогда доверительный интервал для дисперсии будет:
,0807≤s2≤4,2786
а) проверим
гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45.
Выдвигаем
гипотезы:: a=5,45: a>5,45
Т.к.
дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то рассчитываем выражение
По таблице
значений критических точек Стьюдента находим критическое значениекр(a;n-1)=tкр(0,01;24)=2,8
Т.к.
1,201<2,8, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной
средней значению 5,45.
б) Проверим
гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881.
Выдвигаем
гипотезы:: s2=1,1881:
s2>1,1881
Рассчитываем
выражение
По таблице
значений критических точек распределения «Хи-квадрат» находим критическое
значение (a;n-1)=(0,01;24)=43
Т.к.
37,5<43, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной
дисперсии значению 1,1881.
Список
литературы
вероятность
статистический дисперсия математический
1. Гмурман
В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике: Учебное пособие для студентов вузов. - М.: Высшая школа, 2002.
2. Семёнов
А.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс.
- Новосибирск: НГАЭиУ, 2003.