Линеаризация (моделирование) функции преобразования средства измерения

Контрольная работа

Линеаризация (моделирование) функции преобразования средства измерения

Введение

линеаризация аппроксимация функция погрешность

Линеаризация - замена исходной функции преобразования средства измерения линейной функцией [1]. Линеаризация функции преобразования является актуальной задачей измерительной техники. В данной работе рассмотрены несколько способов линейной аппроксимации функции преобразования средств измерений. Найдены погрешности линеаризации и сопоставлены полученные результаты для каждого метода.

Задача №1

Чувствительность средства измерения и предельную нестабильность чувствительности.

Чувствительность средства измерения:

Предельная нестабильность чувствительности:

Определим предельную нестабильность в начале и конце диапазона:

Задача №2

Определить предельные относительные погрешности δ_y и δ_x, приведенные к выходу и ко входу средства измерения.

Погрешность, приведенная к выходу:

Рассчитаем относительную погрешность в начале и конце диапазона:

Найдем погрешность на входе средства измерения:

Рассчитаем относительную погрешность в начале и конце диапазона:

%

Задача №3

Определить абсолютную, относительную и приведенную погрешности нелинейности при аппроксимации функции преобразования средства измерения в виде касательной в начальной точке. Определить наибольшую погрешность нелинейности.

Уравнение касательной имеет вид:

Координаты начальной точки:

(x₀;y₀)=(0;0).

Уравнение функции линеаризации принимает вид:

Определим погрешности линеаризации.

Абсолютная погрешность:

, для

Относительная погрешность:

%

Приведенная погрешность:

%

Максимальное значение погрешностей:

%

%

Задача №4

Определить абсолютную и относительную погрешности нелинейности при аппроксимации функции преобразования средства измерения в виде хорды, проходящей через начальную и конечные точки диапазона измерения. Определить наибольшую погрешность нелинейности.

Уравнение хорды имеет вид:

Точки, через которые проходит хорда:

Функция линеаризации примет вид:

Определим погрешности линеаризации.

Абсолютная погрешность:

, для

Относительная погрешность:

%

Максимальная погрешность находится в точке, в которой производная абсолютной погрешности равна 0:

Решая уравнение, получим

Максимальное значение погрешностей:

Задача №5

Аппроксимировать функцию преобразования средства измерения на интервале:  линейной функцией вида: , так, чтобы наибольшая погрешность линеаризации была минимальна: . Определить предельные относительную и приведенную погрешности линеаризации.

 - функция аппроксимации.

 - абсолютная погрешность линеаризации.

Погрешность принимает наименьшее значение в точке, в которой:

Запишем условие оптимизации системы:

Получаем уравнение следующего вида:

Найдём из этого уравнения x_э и Е:

;

Функция аппроксимации принимает следующий вид:

у_л=2,008х

Определяем погрешности линеаризации.

Находим абсолютную погрешность:

,

Предельная приведенная погрешность линеаризации равна:

%

Задача №6

Аппроксимировать функцию преобразования средства измерения на интервале: [0;х_н] линейной функцией вида y_л=Ex+F, так чтобы наибольшая погрешность линеаризации была минимальна; |Δ(у)|=|y-y_л|=min. Определить предельные относительную и приведенную погрешности линеаризации

- функция аппроксимации.

- абсолютная погрешность линеаризации.

Погрешность принимает наименьшее значение в точке, в которой:

Запишем условие оптимизации системы:

,

где ,

,

.

Сформируем систему следующего вида:

Подставляем значения, определяем параметры функции преобразования.

Получаем:

Таким образом, мы получили прямую вида:

у_л=-2,01х-0,015.

Определяем погрешности.

,

Предельная приведенная погрешность линеаризации равна:

%

Заключение

В данной курсовой работе по функции преобразования средства измерений, заданной уравнением, была найдена чувствительность средства измерения, предельные относительные погрешности, приведенные ко входу и выходу, абсолютные, относительные и приведенные погрешности нелинейности при аппроксимации несколькими способами.

Делая вывод из полученных результатов, можно утверждать, что метод аппроксимация функции преобразования средства измерения на интервале:  линейной функцией вида:  является самым точным, так как погрешность в этом методе наименьшая.

Библиографический список

линеаризация аппроксимация функция погрешность

1. Подбельский В.В. Программирование на языке Си / В.В. Подбельский, С.С. Фомин. - 2-е изд.- М.: Изд-во Финансы и статистика, 2010 г. - 600 с. илл.

2. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. - 3-е     изд.- М.: Наука, 1966 г. - 664 стр. с илл.

3. Сергеев А.Г. Метрология: учебное пособие для ВТУЗов / А.Г. Сергеев, В.В. Крохин. - М.: Изд-во Логос, 2009. - 408 с.