Составление выражения для передаточной функции замкнутой системы

Составление выражения для передаточной функции замкнутой системы

Составить выражение для передаточной функции замкнутой системы, исследовать её на устойчивость, используя критерии Гурвица и Михайлова.

Звенья 1, 2 соединены параллельно:

Звенья 3, 4 и 5 соединены последовательно:

Звенья 12, 345 соединены последовательно:

Звенья 6 и 7 соединены параллельно:

С учетом обратной связи:

Таким образом, результирующая передаточная функция замкнутой системы:

Критерий Гурвица:

Для оценки устойчивости применим наиболее распространенный из алгебраических критериев - метод Гурвица. Для этого необходимо найти характеристическое уравнение системы в замкнутом состоянии. Полином знаменателя в выражении, приравненный к нулю. Это и есть характеристическое уравнение системы:

А(p) = a₃ · p³ + a₂ · p² + a₁ · p + a₀ = 0

Согласно критерию Гурвица, для того, чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы при а₀ > 0 были положительны все определители Гурвица:

∆1 > 0, ∆2 > 0, …, ∆n > 0,

где n - степень характеристического уравнения системы. В данном случае n = 3, следовательно, должны быть положительны все определители Гурвица до третьего порядка.

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:

) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a_n до a₁;

) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали снизу вверх;

) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули

Тогда согласно критерию Гурвица:

Так как все определители Гурвица больше 0, система устойчива.

Если характеристическое уравнение заданной САУ записать в виде:

A(ω) = a₀ · (jω)ⁿ + a₁· (jω)^n-1 +…+ a_n-1· jω + a_n= 0,

то его можно заменить эквивалентной суммой вещественной и мнимой частей, обозначив действительную часть через U (ω), а мнимую - через V (ω):

U(ω) +jV(ω) =А(jω),

где U(ω) = Rе А(jω) = a_n - a_n-2 · (ω)² + ….+a_n-4· (ω) ⁴+ a₀ · (ω)ⁿ ,

V(ω) = Im А(jω) = a_n-1 - a_n-3 · ω + ….+a_n-5 · ω³+ a₁ · ω^n-1

Для характеристического уравнения исходной САУ аналитические выражения вещественной и мнимой частей имеют вид:

передаточный функция замкнутый гурвиц

_А(ω) = 2.729 - 0.5374 · ω²_А(ω) = 22.2675 · ω - 0.0163 · ω³.

Изменяя ω в пределах от 0 до ∞, получим кривую - годограф Михайлова. Критерий Михайлова формулируется следующим образом: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении ω от 0 до начинался на вещественной оси в точке a₃ и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов, не обращаясь в ноль и стремясь к  в n-ом квадранте.

Следуя выше приведенному алгоритму, получим годограф Михайлова, представленный на рисунке. Находим значения вещественной и мнимой части.

Строим по точкам годограф:

Для уточнения пересечения с осями найдем решения:

_А(ω) = 22.2675 · ω - 0.0163 · ω³ = 0

ω(22.2675 - 0.0163 · ω²) = 0

ω = 0 ω = 36.9608(0) = 2.729 U(36.9608) = -68.4701_А(ω) = 2.729 - 0.5374 · ω²

ω = 2.2535(2.2535) = 49.9933

Из таблицы видно, что пересечение с осями происходит в правильном порядке.

Или в MathCAD

Годограф Михайлова начался на действительной оси и прошел 3 квадранта против часовой стрелки. Согласно критерию система устойчива.