Расчет механических систем

Задача № 1

По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 (Рис. 1) определить скорость, а также нормальное, касательное и полное ускорение точки М механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом, равен s. Данные для своего варианта взять из таблицы №1.

Таблица 1

№ варианта (№ схемы на рис.1)	Радиусы, м				Уравнение движения груза х = f(t), м	s, м
	R2	r2	R3	r3
3	0.58	0.45	0,60	-	3t2	7.9

Решение

Будем считать, что в заданный момент времени плоскость чертежа совпадает с плоскостью окружностью D. Положение М на теле D определяется расстоянием s_r = ОМ. При t = 1/3 с :

s_r = ОМ = 20sinπt см =20sin(π/3)=17,3 см.

Абсолютную скорость точки М найдем как метрическую сумму относительной и переносной ростей :

 

Модуль относительной скорости v_r=׀ v_r ,׀ ãäå

 

, при t= 1/3 с

 см/с.

Положительный знак показывает, что вектор , направлен в сторону возрастания s_r. Модуль переносной скорости

 

v_e = Rω_e

где R - радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М:

 

см

ω_e -модуль угловой скорости тела:

;

, при t= 1/3 с

ω_e=1-1/3 = 2/3 рад/с.

Положительный знак ω_e показывает, что вращение происходит вокруг оси Ох в сторону по направлению отсчета угла φ.

Модуль переностной скорости

 

v_e = Rω_e

v_e= 26,4×2/3=17,6 см/с.

Вектор v_e направлен по касательной к окружности L в сторону вращения тела. Так как v_e и v_r взаимно перпендикулярны, модуль абсолютной скорости точки М:

=36 см/с.

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относи к ного, переносного и кориолисова ускорений:

 

а = а_r + а_е + а_k= а_rτ + а_rn+ а_еτ + а_еn+а_k

 

Модуль относительного касательного ускорения:

=

а_rτ=-171 см/с²

Отрицательные знак а_rτ показывает, что вектор  направлен в сторону отрицательных значений s_r. Знаки  и а_rτ разные, следовательно, относительно движение точки М замедленное.

Относительное нормальное ускорение

,

так как траектория относительного движения прямая ρ=∞.

Модуль переносного вращательного ускорения

 

а_еτ=Rε_e,

= (φ_e)’’=1 рад/с.

Знаки ω_e и ε_e разные, следовательно вращение окружности D замедленное, направление векторов  и  противоположны.

 

а_еτ=Rε_e=26,4 см/с².

Вектор  сонаправлен с вектором .

Модуль переносного центростремительного ускорения

 

а_еn=Rω_e²=12 см/с²

Вектор а_еn направлен к центру окружности L.

Кориолесово ускорение

sin(ω_ev_r)=1

а_k=2×2/3 ×31,4=42 см/с²

Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекций

x: а_еτ+ а_rnsin45₌26,4+0=26,4

y: -a_r- а_rncos45=-(-171)-0=171

z: а_еτ=26,4

ωe	Скорость см/с			εe	Ускорение см/с2
	ve	vr	v		аеn	аеτ	аrn	аrτ	аk	ax	ay	az	a
2/3	17,6	31,4	36	-1	12	26,4	0	-171	42	26,4	171	26,4	175

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Çàäà÷à ¹ 2

Ïëîñêèé ìåõàíèçì ñîñòîèò èç ñòåðæíåé 1-4 è ïîëçóíà Â, ñîåäèí¸ííûõ äðóã ñ äðóãîì è ñ íåïîäâèæíûìè îïîðàìè Î₁ è Î₂ øàðíèðàìè (ðèñ.2).

Äëèíû çâåíüåâ ðàâíû: 1) ñòåðæåíü Î₁À: l₁=0,4ì, 2) ñòåðæåíü ÀÂ: l₂=1,2ì, 3) ñòåðæåíü DE: l₃=1,4ì, 4) ñòåðæåíü Î₂Å: l₄=1ì. Ïîëîæåíèå ìåõàíèçìà îïðåäåëÿåòñÿ óãëàìè ά, β, γ, φ è θ. Òî÷êà D íàõîäèòñÿ â ñåðåäèíå ñòåðæíÿ.

Îïðåäåëèòü âåëè÷èíû, óêàçàííûå â òàáëèöå 2, â ñòîëáöå «Íàéòè».

Äóãîâûå ñòðåëêè íà ðèñóíêå 2 ïîêàçûâàþò, êàê ïðè ïîñòðîåíèè ÷åðòåæà äîëæíû îòêëàäûâàòüñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå óãëû, òî åñòü ïî õîäó èëè ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ïîñòðîåíèå ÷åðòåæà íà÷èíàéòå ñî ñòåðæíÿ, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ óãëîì ά.

Çàäàííóþ óãëîâóþ ñêîðîñòü ñ÷èòàòü íàïðàâëåííîé ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè, à çàäàííóþ ñêîðîñòü V_ - îò òî÷êè  ê b.

Òàáëèöà 2

¹ âàðèàíòà	Óãëû					Äàíî			Íàéòè
	ά 0	βî	γî	φî	θî	ω1 (ñ-1)	ω4(ñ-1)	VB(ì/ñ)
3	30	120	30	0	60	8	-	-	VB,VE,ω3

 

Ðåøåíèå:

 

Ñêîðîñòü ò.E ==2,4 (ì/ñ), ^. Î₂Å â ñòîðîíó âðàùåíèÿ.

Îïðåäåëåíèå . Çíàÿ íàïðàâëåíèÿ  è  íàéäåì ïîëîæåíèå ÌÖÑ çâåíà 3 (ò.Ñ₃). Òîãäà

             (1)

Èç ðèñóíêà ñëåäóåò, ÷òî DÅÊÑ₃ - ðàâíîñòîðîííèé. Ò.å. . Òîãäà = 2,4 (ì/ñ). Âåêòîð ñêîðîñòè  íàïðàâëåí â ñîîòâåòñòâèè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ âðàùåíèÿ çâåíà Î₁À. Ò.ê. ò.Ê ëåæèò ïîñåðåäèíå çâåíà ÀÎ₁, òî = 4,8 (ì/ñ).

Îïðåäåëåíèå .. Íàéäåì ïîëîæåíèå ÌÖÑ çâåíà 2. Òîãäà

.   (2)

Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî DÂÀÑ₂ ðàâíîñòîðîííèé

,  

Îïðåäåëåíèå . Èç (1) =1,71 (1/ñ).

Îïðåäåëåíèå . Ò.ê. ò.À äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè, òî  è

Íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ: ^ÀÎ₁ â ñòîðîíó âðàùåíèÿ (e₁),  - âäîëü ÀÎ₁ îò À ê Î₁

==57,6 (ì/ñ²),

=4 (ì/ñ²).

Òîãäà óñêîðåíèå ò.À ðàâíî

==57,7 (ì/ñ²).

 

 

 

 

Çàäà÷à ¹ 3

Âåðòèêàëüíûé âàë ÀÊ (ðèñ.3, òàáë. 3), âðàùàþùèéñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω=10 ðàä/ñ, çàêðåïë¸í ïîäïÿòíèêîì â òî÷êå À è öèëèíäðè÷åñêèì ïîäøèïíèêîì â òî÷êå, óêàçàííîé â òàáëèöå 3. Äëèíû îòðåçêîâ âàëà ðàâíû: ÀÂ=ÂÄ=ÄÅ=ÅÊ =à=0,5ì. Ê âàëó æ¸ñòêî ïðèêðåïë¸í íåâåñîìûé ñòåðæåíü 1 äëèíîé l₁=0,6ì ñ òî÷å÷íîé ìàññîé m₁=4êã íà êîíöå è íåâåñîìûé ñòåðæåíü 2 ñ äëèíîé l₂=0,8ì è ñ òî÷å÷íîé ìàññîé m₂=7êã; îáà ñòåðæíÿ ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Òî÷êè êðåïëåíèÿ ñòåðæíåé ê âàëó è óãëû α è β óêàçàíû â òàáëèöå; ïðåíåáðåãàÿ âåñîì âàëà, îïðåäåëèòü ðåàêöèè ïîäïÿòíèêà è ïîäøèïíèêà.

Òàáëèöà 3

Íîìåð âàðèàíòà (íîìåð ñõåìû)	Ïîäøèïíèê â òî÷êå	Êðåïëåíèå		αî	βî
		ñòåðæíÿ 1 â òî÷êå	ñòåðæíÿ 2 â òî÷êå
3	K	E	D	90	60

Ðåøåíèå

 

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìûõ ðåàêöèé ðàññìîòðèì äâèæåíèå ñèñòåìû è ïðèìåíèì ïðèíöèï Äàëàìáåðà. Âûáåðåì âðàùàþùèåñÿ âìåñòå ñ âàëîì êîîðäèíàòíûå îñè Àõó òàê, ÷òîáû ñòåðæíè ëåæàëè â ïëîñêîñòè õó. Íà ñèñòåìó äåéñòâóþò àêòèâíûå ñèëû - ñèëû òÿæåñòè ,  è ðåàêöèè ñâÿçåé ,  (ïîäïÿòíèê) è  (öèëèíäðè÷åñêèé ïîäøèïíèê). Ïðèñîåäèíèì ê íèì ñèëû èíåðöèè.

Âàë âðàùàåòñÿ ðàâíîìåðíî è ýëåìåíòû ñòåðæíÿ èìåþò òîëüêî íîðìàëüíûå óñêîðåíèÿ, íàïðàâëåííûå ê îñè âðàùåíèÿ. ×èñëåííî            (- ðàññòîÿíèÿ ýëåìåíòîâ ñòåðæíÿ îò îñè âðàùåíèÿ). Ñèëû  íàïðàâëåíû îò îñè âðàùåíèÿ, à ÷èñëåííî  (- ìàññà ýëåìåíòà). Êàæäóþ èç ïîëó÷åííûõ ñèñòåì ïàðàëëåëüíûõ ñèë èíåðöèè çàìåíèì åå ðàâíîäåéñòâóþùåé, ðàâíîé ãëàâíîìó âåêòîðó ýòèõ ñèë. Ò.ê. ìîäóëü ãëàâíîãî âåêòîðà ñèë èíåðöèè ëþáîãî òåëà èìååò çíà÷åíèå , ãäå - ìàññà òåëà, - óñêîðåíèå åãî öåíòðà ìàññ, òî äëÿ ñòåðæíÿ 1 ïîëó÷èì

.

Äëÿ òî÷å÷íîé ìàññû 2     .

Óñêîðåíèÿ öåíòðîâ ìàññ ñòåðæíÿ 2 è ãðóçà 1 ðàâíû:

,         .

Èç ðèñóíêà

=(ì),

=0,28(ì),

Òîãäà ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ ñèë èíåðöèè ðàâíû:

=(Í),

=(Í),

Ëèíèÿ äåéñòâèÿ ðàâíîäåéñòâóþùåé  ïðîéäåò ÷åðåç öåíòð òÿæåñòè ñîîòâåòñòâóþùåé ýïþðû ñèë èíåðöèè (íà ðèñóíêå Í - âûñîòà òðåóãîëüíîé ýïþðû,  ì).

Ñîãëàñíî ïðèíöèïó Äàëàìáåðà, ïðèëîæåííûå âíåøíèå ñèëû (àêòèâíûå è ðåàêöèè ñâÿçåé) è ñèëû èíåðöèè îáðàçóþò óðàâíîâåøåííóþ ñèñòåìó ñèë. Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ýòîé ñèñòåìû ñèë:

;               ;

;                ;

;          .

ãäå             (ì),

(ì),

 (Í),              (Í).

Ðåøàÿ çàïèñàííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ, ïîëó÷èì

=

= 33,7 (Í);

= -97,7 (Í);

== 100 (Í).

Çàäà÷à ¹ 4

Ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç ãðóçà 1 (êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ ãðóçà î ïëîñêîñòü f=0.1), íåâåñîìîãî øêèâà 2, öèëèíäðè÷åñêîãî îäíîðîäíîãî êàòêà 4 ìàññîé m₄, ðàäèóñîì r₄=0.1ì è ñòóïåí÷àòîãî øêèâà 3 ñ ðàäèóñàìè ñòóïåíåé R₃=0.3ì, r₃=0.1ì è ìîìåíòîì èíåðöèè J₃ (ðèñ.4, òàáë.4). Òåëà ñèñòåìû ñîåäèíåíû íåâåñîìûìè íåðàñòÿæèìûìè íèòÿìè. Ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîé ñèëû F ñèñòåìà ïðèõîäèò â äâèæåíèå èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ.

Ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû íà øêèâ 3 äåéñòâóåò ïîñòîÿííûé ìîìåíò ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ Ì_ñ. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ãðóçà 1 â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà òî÷êà ïðèëîæåíèÿ ñèëû F ïîëó÷èò ïåðåìåùåíèå s (ì).

Òàáëèöà 4

¹ âàðèàíòà	m1, êã	m4, êã	Mc, Íì	J3, êãì2	F, Í	S, ì
3	5	7	0,2	0,5	150	1,6

Ðåøåíèå

ìåõàíè÷åñêèé ñêîðîñòü âðàùåíèå âàë

Ñèñòåìà èìååò îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû. Âûáåðåì â êà÷åñòâå îáîáùåííîé êîîðäèíàòû óãîë ïîâîðîòà j₂ êîëåñà 2 îò ðàâíîâåñíîãî ïîëîæåíèÿ (ïðè ðàâíîâåñèè j₂=0, s₅=0, s₁=0).

Ñîñòàâèì óðàâíåíèå Ëàãðàíæà

    (1)

Ò.ê. êîëåñî 2 âðàùàåòñÿ âîêðóã îñè, ãðóç 3 äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî, à êàòîê 5 - ïëîñêîïàðàëëåëüíî, òî

; ,          ãäå    , .

Òîãäà  Èìåÿ ââèäó, ÷òî äëÿ êàòêà 5  (òî÷êà îïîðû êàòêà î ïîâåðõíîñòü - ìãíîâåííûé öåíòð ñêîðîñòåé), ïîëó÷àåì

.

Âûðàçèì âñå ñêîðîñòè ÷åðåç îáîáùåííóþ ñêîðîñòü . . Òîãäà

,  è .

Ñëåäîâàòåëüíî

==.

Ò.ê. çäåñü Ò çàâèñèò òîëüêî îò , òî

,      è       .                   (2)

Îïðåäåëèì îáîáùåííóþ ñèëó . Íà ñèñòåìó äåéñòâóþò àêòèâíûå ñèëû: ñèëà òÿæåñòè  è ïàðà ñèë ñ ìîìåíòîì Ì₁.

Ñîîáùèì ñèñòåìå âîçìîæíîå ïåðåìåùåíèå, ïðè êîòîðîì êîîðäèíàòà  ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå  (). Òîãäà öåíòð êàòêà ïîëó÷àåò ïåðåìåùåíèÿ ;  è . Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà äåéñòâóþùèõ ñèë ðàâíà

==

Êîýôôèöèåíò ïðè  â çàïèñàííîì âûðàæåíèè è áóäåò èñêîìîé îáîáùåííîé ñèëîé. Ñëåäîâàòåëüíî .(3)

Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (2) è (3) â óðàâíåíèå Ëàãðàíæà (1), ïîëó÷èì:

. Ò.ê. , òî = 2,29g @ 22,9 (ñ^-2).

Çàäà÷à ¹5

Äëÿ çàäàííîé ñõåìû (Ðèñ.5) ïîñòðîèòü ýïþðó êðóòÿùèõ ìîìåíòîâ, îïðåäåëèòü äèàìåòð âàëà íà êàæäîì ó÷àñòêå èç ðàñ÷¸òà íà ïðî÷íîñòü ïðè çàäàííîì [τ_êð] è âû÷èñëèòü ïîëíûé óãîë çàêðó÷èâàíèÿ. Ìîùíîñòü íà çóá÷àòûõ êîë¸ñàõ ïðèíÿòü Ð₂=0,5Ð₁, Ð₃= 0,3Ð₁ è Ð₄=0,2Ð₁.

Äîïóñêàåìîå íàïðÿæåíèå [τ_êð] =75ÌÏà è G=8*10⁴ ÌÏà. Äàííûå äëÿ ñâîåãî âàðèàíòà âçÿòü ïî òàáëèöå 5. Ïîëó÷åííîå ðàñ÷¸òíîå çíà÷åíèå äèàìåòðà â (ìì) îêðóãëèòü äî áëèæàéøåãî áîëüøåãî ÷èñëà, îêàí÷èâàþùåãîñÿ íà 0,2,5 èëè 8.

Òàáëèöà 5

¹ âàðèàíòà è ñõåìû íà ðèñ.5	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ð, êÂò	21	23	25	27	29	12	32	52	72	92
ω,ðàä/ñ	12	15	18	21	24	8	14	20	26	32

Ðåøåíèå

                                                              Ò_Z, Íìì

                                                              ðàä

1. Îïðåäåëÿåì êðóòÿùèåñÿ ìîìåíòû:

Ò_z1= T₄= 375 ×10³ Í/ìì

Ò_z2= T₄ + Ò₃= 937,5 ×10³ Í/ìì

Ò_z3= T₄ + Ò₃ - Ò₁ = -562,5 ×10³ Í/ìì

Ò_z4= T₄ + Ò₃ - Ò₁ +Ò₂= 0 Í/ìì

2. Îïðåäåëÿåì äèàìåòðû ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé:

 

 

Çàäà÷à ¹ 6

Äëÿ áàëêè, óñòàíîâëåííîé íà äâå îïîðû (ðèñóíîê 6), ïîñòðîèòü ýïþðû ïîïåðå÷íûõ ñèë è èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ. Îïðåäåëèòü èç óñëîâèÿ ïðî÷íîñòè íîìåð äâóòàâðà ïðè [σ_è]=140ÌÏà. Íîìåð ñõåìû ñîîòâåòñòâóåò Âàøåìó âàðèàíòó.     

Òàáëèöà 6

Äàííûå äëÿ Ðàñ÷¸òà	Âàðèàíòû
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ñõåìà  ïî ðèñ.7	I	II	III	IY	Y	I	II	III	IY	Y
φ, ãðàä	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165
ω1, ðàä/ñ	10	12	14	16	18	16	14	12	10	18
LOA, ìì	60	40	50	40	-	70	50	75	50	-
LAB, ìì	150	210	-	210	-	225	-	225	-
LAC, ìì	10	-		-	-	15	-	-	-	-
L, ìì	30	-	-	-	-	20	-	-	-	-
α, ãðàä	0	-	-	-	-	30	-	-	-	-
LÎÂ, ìì	-	-	85	-	-	-	-	90	-	-
LÂÑ, ìì	-	150	175	150	-	-	210	200	210	-
LÂÄ, ìì		40		40			50		50
XC,ìì		LAB+LÎÀ/2		LAB+LÎÀ/2			LAB+LÎÀ/2		LAB+LÎÀ/2
YC, ìì		LÂÑ			LÂÑ		LÂÑ

Ðåøåíèå

Ðàçáèâàåì áàëêó íà òðè ñèëîâûõ ó÷àñòêà AB, BC, CD, äëÿ êàæäîãî ó÷àñòêà ïðèìåíÿåì ìåòîä ñå÷åíèé è ñîñòàâëÿåì óðàâíåíèÿ ïîïåðå÷íîé ñèëû è êðóòÿùåãî ìîìåíòà.

Îïðåäåëÿåì õàðàêòåðíûå îðäèíàòû ïîïåðå÷íîé ñèëû è êðóòÿùåãî ìîìåíòà è ñòðîèì åãî ýïþðû.

Ðàññìîòðèì ó÷àñòîê AB

 (2.1)

 (2.2)

Ðàññìîòðèì ó÷àñòîê BC

 (2.3)

 (2.4)

Ðàññìîòðèì ó÷àñòîê CD

 (2.5)

 (2.6)

0	1
2	3
4	5
6	7
8	9

Ðèñ.1

Ðèñ. 2

Ðèñ.3

Ðèñ. 4

Ðèñ.5

Ðèñ.6

Ðèñ. 7

Ñõåìà I		Ñõåìà II
Ñõåìà III	Ñõåìà IV		ÑõåìàV

Ðàçìåùåíî íà Allbest.ru