Основы теории вероятности

Основы теории вероятности

1. Задание 1

Сколькими способами можно выбрать по 6 карт из колоды, содержащей 36 карт?

Решение

Воспользуемся основными формулами комбинаторики, точнее Сочетаниями

Выбрать 6 карт из 36 можно способами.

Ответ: 1947792 способами можно выбрать по 6 карт из колоды, содержащей 36 карт.

2. Задание 2

На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада изделие будет стандартным.

Решение

Будем отталкиваться от теоремы противоположных событии:

P(A)+P(Ā)=1

Пусть событие А- «выбрано нестандартное изделие», тогда

Событие  - «выбрано стандартное изделие»

Р(А)=0,05

Р (Ā)=1-0,05=0,95 - вероятность того, что выбрано стандартное изделие

Ответ: 95% вероятность того, что при выдаче изделия со склада изделие будет стандартным.

3. Задание 3

Через остановку пролегают автобусные и троллейбусные маршруты. Троллейбусы подходят с интервалом в 15 минут, а автобусы с интервалом в 25 минут. К остановке подходит пассажир, какова вероятность того, что в ближайшие 10 минут он уедет на автобусе или троллейбусе?

Решение

Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости - это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

P(A) = µ(A)/µ(Ω),

Геометрическая вероятность

Вероятность того, что пассажир дождется троллейбуса или автобуса в течение ближайших 10 минут равна отношению площадей прямоугольников

=

Ответ: 27% вероятность того, что в ближайшие 10 минут он уедет на автобусе или троллейбусе.

. Задание 4

Пусть на трех предприятиях изготавливают одну и ту же продукцию. При этом в торговую сеть поступает: 50% продукции с предприятия 1, среди которой 10% брака; 30% с предприятия 2, среди которой 2% брака; 20% продукции с предприятия 3 среди которой 15% брака. Вычислить вероятность приобретения покупателем продукции без брака (событие F).

Решение

Пусть событие В₁-продукция изг. на 1 ом предприятии

В₂-продукция изг. на 2 ом предп-тии

В₃ - Продукция изг. на 3 ем предпр.

Р(В₁)=0,5, Р(В₂)=0,3, Р(В₃)=0,2

Событие F - «приобретенная продукция без брака»

Р_В1(F)=0,9 Р_В2 (F)=0,98 Р_В3 (F)=0,85 тогда

Р(F)=Р(В₁₎∙ Р_В1 (F) + Р(В₂)∙Р_В2(F) + Р(В₃)∙Р_В3(F) =

,5∙0,9 +0,3∙0,98 +0,2∙0,85=0,914

Ответ: 91,4% вероятность приобретения покупателем продукции без брака (событие F).

. Задание 5

Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распределения:

Решение

Частота 25-вершина распределения

Одновершинное распределение

; =

- выборочная средняя

=11,1;

D=²                     E_x =

D=

=0,005 A_s=

== =

=0,049

E_x = ₌        

. Задание 6

Найти условные математического ожидания двумерной случайной величины, заданной законом распределения:

Решение

Найдем условное распределение случ. величины X при условии, что случ. величина Y приняла значения y_j (j=1; 2) и условное распределение сл. вел.Y при условии, что случ величина X принимает значения x_i (i=1; 2; 3).

Составим таблицы распределения величин X и Y

0,25=0,2+0,05; 0,25=0,1+0,15; 0,5=0,3+0,2; 0,6=0,2+0,1+0,3; 0,4=0,05+0,15+0,2

Условные вероятности

π_ij=P

Π₁₁ = P

Π₂₁= P

Π₁₂ = P

Π₂₂==0,15: 0,25 = 0,6

Π₂₃= P

Для условного закона распределения случайной величины X при условии У получаем.

Условные математические ожидания

М (Х/-1)=-1

М (Х/0)=-1

М (Х/1)=-1

Найдем условные вероятности

=P

=

=P:0,6=0,5

=P:0,4=0,0,125

=P:0,4=0,375

=

Cоставим таблицу для условного закона распр-я случ величины У при условии Х.

Условные математические ожидания

М (У/-1)=-1∙0,33+0∙0,17+1∙0,5=0,17

М (У/1)=-1∙0,125+0∙0,375+1∙0,5=0,375.

карта вероятность пассажир способ