Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов

Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов

Введение

Теория вероятностей возникла в середине 17 в. То, что случайные явления представляют собой не исключение, а правило в реальном мире, было замечено еще в древности. Об этом словами Лукреция Кара прекрасно говорит Альфред Реньи. Попытки математически подойти к изучению случайных явлений делались задолго до Паскаля и Ферма. Во всяком случае, факты устойчивости частот случайных событий, связанных с демографическими данными и потреблением больших городов, были известны еще в Древнем Китае и Древнем Риме. Изучать случайные события с помощью точных методов пытались Кардано и Галилей. Однако начало теории вероятностей на самом деле положила только переписка Паскаля и Ферма по поводу вопросов кавалера де Мере. К тому времени процесс научного познания уже победил; научное мышление уверенно одолевало воззрения теологов, и свободный полет творческой мысли неизбежно приводил к одному из основных вопросов познания: каковы типы закономерностей, господствующих в Природе? Нет ли наряду с механистическим детерминизмом детерминизма более общего, позволяющего охватить явления природы шире и глубже?

На этот вопрос теперь дан определенный ответ: закономерности случайных явлений дают нам детерминизм более широкого типа, который в качестве предельного случая включает детерминизм полный, практически в реальных явлениях не наблюдаемый.

Начиная с Паскаля, Ферма и Гюйгенса, в научный обиход вошли первые понятия теории вероятностей - математической науки о случайных событиях. Эти понятия формировались на примерах изучения азартных игр, но создатели начал теории вероятностей отчетливо понимали общее натурфилософское значение своих рассмотрений. В связи со сказанным полезно привести подлинные слова Гюйгенса, которые содержатся в его трактате «Об азартных играх»: «…я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории». Последующее развитие науки в полной мере подтвердило эту точку зрения.

С течением времени изменялся и расширялся объект изучения теории вероятностей. Если в самом начале ее появления, фактически вплоть до конца XVIII века, основной интерес представляло исследование вероятностей случайных событий, то уже в XIX веке центр тяжести переносится на исследование случайных величин. Впрочем, само это понятие формировалось очень долго, и его элементы встречаются уже в работе Гюйгенса. Позднее случайными величинами занимались Муавр, Котс, Даниил Бернулли, Лаплас, Лежандр, Гаусс. Работы упомянутых ученых (кроме Муавра) относились к теории ошибок наблюдений, и здесь по необходимости должно изучать не столько случайные события, сколько случайные величины. Логически четкий смысл понятие случайной величины приобрело только в работах акад. А.Н. Колмогорова, а понятие функции распределения одной из работ А. Ляпунова.

На этом, однако, не прекратилось расширение объекта изучения. Во второй четверти нашего столетия в теорию вероятностей было введено важнейшее понятие - понятие случайного процесса. Его формирование протекало под влиянием физики, биологии, инженерного дела. Суть в том, что как физика и биолога, так и инженера в первую очередь интересует процесс развития явления во времени, а потому рассмотрение только случайных величин, которые не связаны с течением времени, имеет лишь ограниченное значение. И хотя определение случайного процесса связано с именами таких выдающихся исследователей, как А.Я. Хинчин, А.Н. Колмогоров, Е.Е. Слуцкий, следует все же отметить, что у них были и предшественники - Лаплас, Башелье, Пуанкаре, А.А. Марков. По предложению французского математика Адамара в честь Маркова назван важнейший класс случайных процессов (марковские процессы), для которых все влияние прошлого на развитие процесса в будущем заключается в достигнутом им в настоящий момент состоянии. Вскоре задачи геофизики и других областей естествознания привели к необходимости рассмотрения не только случайных величин, зависящих от одного параметра - времени, но и от многих параметров - времени и положения. Так появились новые объекты изучения - случайные поля.

Само собой разумеется, что центральное понятие теории вероятностей - вероятность - не могло оставаться неизменным на протяжении почти трехсот лет. Хорошо известно, что классическое определение, возникшее в переписке Паскаля и Ферма, оказалось недостаточным тогда, когда наука столкнулась с необходимостью изучения задач страхования, ошибок наблюдения. Разрыв логических основ теории вероятностей с потребностями практики сказывался уже в начале прошлого века и стал совершенно нетерпим в наши дни. Вот почему в последние пятьдесят лет ученые уделяли такое внимание логическим вопросам, вопросам разумного расширения действия понятий теории вероятностей. Это было вызвано потребностями как бурно прогрессирующей практики, предъявившей к теории вероятностей многообразные требования, так и самой математики.

Теоретические основы науки о авиационной техники в СССР были заложены в 50-60-х гг. Их базу составили количественные методы расчёта и анализа и инженерные методы обеспечения при создании и испытаниях изделий авиационной техники. Разработка методов количеств, оценки уровня, дифференцированный подход к оценке влияния различных видов отказов систем на выполняемые летательным аппаратом функции позволили перейти к активному управлению процессом обеспечения на этапах проектирования, экспериментальной отработки и лётно-доводочных испытаний летательных аппаратов. Была создана основа для объективной сравнительной оценки уровней летательных аппаратов различных типов и динамики их изменения во время эксплуатации. Реализация этих методов стала возможной благодаря созданию и широкому внедрению единой отраслевой системы учёта и сбора информации об отказах, выявляемых в эксплуатации, а также благодаря разработке вероятностно-статистических и расчётно-аналитических методов. В 70-х гг. наука о надёжности в авиации получила дальнейшее развитие. Основу её составили комплексные программы обеспечения, опирающиеся на научные методы проектирования, испытаний и эксплуатационной оценки изделий авиационной техники. Цель работы по обеспечению и анализу - изучение причин зарождения и развития неисправностей и создание изделий с заданным и контролируемым уровнем. Сложность решения проблемы возрастает одновременно с увеличением сложности создаваемых изделий и их насыщением автоматическими устройствами и системами, поддерживающими рабочие режимы вблизи пределов устойчивости работы и прочности конструкции. Благодаря применению научных методов обеспечения, учёту предшествующего опыта уровень вновь создаваемых изделий возрастает по сравнению с уровнем прототипов.

1. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата.

транспорт вероятность летательный

1.1 Постановка задачи задания №1

Летательный аппарат (ЛА) состоит из

- m двигателей с вероятностей отказа P₁, P₂,… P_m;

- n дублирующих систем энергосбережения с вероятностей отказа

P_1Э, P_2Э,… P_nЭ;

N c вероятностей отказа Р_с каждая.

Катастрофа наступает, если выходит из строя любая (r+1) и более двигателей, либо если все системы энергоснабжения, либо если хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.

В случаи отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью Р_D.

Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы P_1, одна система энергосбережения с вероятностей отказа P_1Э и N вспомогательных подсистем с вероятностей отказа Р_с каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.

В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом

двигателей;

систем энергосбережения;

вспомогательных подсистем.

Дано

m = 5; Р₁ =6∙10^-4,         Р₂ =5∙10^-4,  Р₃=7∙10^-4,          Р₄=2∙10 ^-4, Р₅=4∙10 ^-4

r=4 Р_D=0.1;

n=4 Р_1Э=3∙10^-4,    Р_2Э=4∙10^-4,  Р_3Э=10 ^-4, Р_4Э=6∙10 ^-4;

N=3∙10³ P_c=6∙10^-9.

Решение.

Математическая часть

Введем обозначение событий:

- D₁, D₂, D₃, D₄ - отказ 1-го, 2-го, 3-го и 4-го двигателей соответственно;

- В₁,   В₂, В₃, - отказ 1-й, 2-й, и 3-й системы энергоснабжения соответственно;

·  С_i - отказ i-ой вспомогательной подсистемы, i = 1,2,…, N;

·  Е_к - катастрофа;

- E_kd, E_кэ, E_кc - катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.

А) Рассмотрим случай ЛА с дублирующими системами:

В этом случае:

Е_K=Е_KD+Е_KЭ+E_КС.                                  (1.1)

Перейдем к противоположным событиям, будем иметь:

=  (1.2)

Из равенства (1.2) в силу соотношения двойственности получим:

Е_K=∙∙    (1.3)

Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:

P(E_K)=1 - P()=1-P(∙∙) (1.4)

Из равенства (1.4) в силу независимости событий Е_KD, Е_KЭ,                E_КС получим:

P(E_K)=1- P∙ P()∙ P(E_KC)=1 - (1-P(E_KD))∙(1-P(E_KЭ))∙P(E_KC)). (1.5)

Рассмотрим структуру событий Е_KD, Е_KЭ, E_КС и найдем их вероятности, то есть вероятности катастроф, связанных с отказом

·двигателей Е_КD

·систем энергоснабжения Е_KЭ

·вспомогательных подсистем Е_KC

1) Рассмотрим структуру событий Е_KD и найдем P(E_KD)= P_KD

Так как событие Е_KD - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей наступает, если выходят из строя любых (r+1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого г из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью Р_D. Значит:

Е_KD= Е_KDr+ Е_{KD≥ (r+1)}, где

Так как в нашем случае число двигателей m = 5, r = 4; то r + 1 = 4 + 1 = 5.

Значит:

Е_KD= Е_KD4+ Е_KD≥5 где:

Е_КD4 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r =4 из m=5 двигателей;

Е_KD>5 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за выходы из строя любых (r + 1) = 5 и более двигателей, а в нашем Е_KD>5= Е_KD5 - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа пяти двигателей. Из этого следует, что:

Е_KD≥5 = Е_KD5 = D₁∙ D₂∙ D₃∙ D₄∙ D₅                      (1.6)

В свою очередь катастрофа, связанная с отказом ровно r = 4 двигателей (при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (ас вероятностью P_D), значит

E_KD4=E_K∙ E_D4

Тогда:

E_KD= E_KD4+ E_KD≥5= E_K∙ E_D4+ E_KD≥5

P(E_KD)=P(E_KD4+ E_KD≥5)= P(E_KD4)+ P(E_KD≥5)=P(E_K∙ E_D4)+P(E_KD≥5)

а для нашего случая и учитывая (1.6), получим:

P(E_KD)=P(E_KD4+ E_KD≥5)= P(E_KD4)+ P(E_KD≥5)=P(E_K∙ E_D4)+P(E_KD≥5)= P(E_K∙ E_D4)+P(E_KD5) = P(E_K∙ E_D4)+ P(D₁∙ D₂∙ D₃∙ D₄∙ D₅)

С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом ровно r=4 двигателей при работающих остальных из пяти имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:

E_D4 = D₁∙ D₂ ∙ D₃∙D₄  + D₁∙ D₂ ∙ D₃∙∙ D₅ + D₁∙ D₂ ∙ ∙D₄∙D₅ +

+ D₁∙∙ D₃∙D₄∙D₅ +∙ D₂ ∙ D₃∙D₄ ∙ D₅                                                           (1.8)

то есть не работают 5-й, 4-й, 3-й, 2-й, 1-й двигатели из пяти, имеющихся у ЛА.

Замечание.

Тот факт, что события E_KD4 и E_KD≥5 несовместны, можно доказать следующим образом:

E_KD4∙ E_KD≥5 =< согласно (1.7) >= E_K∙ E_D4∙ E_KD≥5=< согласно (1.6) >= E_K∙ E_D4∙ Е_KD5 = =< согласно (1.6) и (1.8) = E_K(D₁∙ D₂ ∙ D₃∙D₄  + D₁∙ D₂ ∙ D₃∙∙ D₅ + D₁∙ D₂ ∙ ∙D₄∙D₅ + D₁∙∙ D₃∙D₄∙D₅ +∙ D₂ ∙ D₃∙D₄ ∙ D₅) ∙ D₁∙ D₂∙ D₃∙ D₄∙ D₅ = E_K ((D₁∙ D₂∙ D₃∙ ∙D₅ D₁∙ D₂∙ D₃∙ D₄∙D₅)+(D₁∙ D₂∙ ∙ D₄∙D₅ ∙ D₁∙ D₂∙ D₃∙ D₄∙D₅)+(D₁∙ ∙ D₃∙ D₄∙D₅ ∙ D₁∙ D₂∙ D₃∙ D₄∙D₅)+(∙ D₂∙ D₃∙ D₄∙D₅ ∙ D₁∙ D₂∙ D₃∙ D₄∙D₅)+(D₁∙ D₂∙ D₃∙ D₄∙ ∙D₁∙ D₂∙ D₃∙ D₄∙ )=

= E_K((D₁∙ D₁)∙(D₂ ∙D₂)∙(D₃∙ D₃)∙(D₄∙ D₄) ∙(D₅ ∙ ) + (D₁∙ D₁)∙(D₂∙ D₂)∙(D₃∙ D₃)∙(D₄∙ )∙(D₅ ∙ D₅)+(D₁∙ D₁)∙(D₂∙ D₂)∙(D₃∙ )∙(D₄∙ D₄) ∙(D₅ ∙ D₅) +(D₁∙ D₁)∙(D₂∙ )∙(D₃∙ D₃)∙(D₄∙ D₄) ∙(D₅ ∙ D₅)+(D₁∙ )∙(D₂∙ D₂)∙(D₃∙ D₃)∙(D₄∙ D₄) ∙(D₅ ∙ D₅)

Используя тот факт, что A∙A = A и A∙=Ø, получим

E_KD4∙ E_KD≥5 =E_K((D₁ ∙D₂ ∙ D₃ ∙D₄∙ Ø) + (D₁ ∙D₂ ∙D₃∙ Ø∙ D₅)+ (D₁ ∙D₂ ∙ Ø ∙ D₄∙D₅) + (D₁ ∙ Ø ∙ D₃ ∙D₄∙D₅) + (Ø ∙D₂ ∙D₃ ∙D₄∙ D₅)) = Ø

А как известно, что, если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.

По определению условной вероятности имеем:

P(E_KD)=P(E_K / E_D4)∙P(E_D4)+P()

а в силу независимости событий D_i, i=, далее имеем:

P(E_K / E_D4) ∙ P(E_D4)+ P()

Используя (1.7) и несовместимость его (E_D4) слагаемых

P(E_K / E_D4)∙(P(D₁∙ D₂ ∙ D₃∙D₄ ) + P(D₁∙ D₂ ∙ D₃∙∙ D_{5 )} + P(D₁∙ D₂ ∙ ∙D₄∙D₅)+ P(D₁∙∙ D₃∙D₄∙D₅) + P(∙ D₂ ∙ D₃∙D₄ ∙ D₅))+)

В силу всех независимых событий D_i , i= и потому, что

P()=1-P(D_i), получим далее:

P(E_K / E_D4)∙[(P(D₁)∙P(D₂)∙P(D₃)∙(P(D₄) ∙(1-P(D₅))+ (P(D₁)∙P(D₂)∙P(D₃)∙(1-P(D₄)) ∙P(D₅)+P(D₁)∙P(D₂)∙(1-P(D₃))∙P(D₄) ∙P(D₅) +P(D₁)∙(1-P(D₂))∙P(D₃)∙P(D₄) ∙P(D₅) +(1-P(D₁)∙ P(D₂)∙ P(D₃)∙P(D₄) ∙P(D₅)]+)

Так как P(D_i)=P_i, i= и P(E_K / E_D4)=P_D, имеем 

P(E_KD)=P_D∙[P₁∙ P₂∙ P₃ ∙P₄∙(1-P₅)+P₁∙ P₂∙ P₃ ∙(1 - P₄)∙P₅ + P₁∙ P₂∙(1 - P₃)∙ P₄∙P₅ + P₁∙(1 - P₂)∙ P₃∙ P₄∙P₅ +(1 - P₁)∙ P₂∙ P₃∙ P₄∙P₅]+ P₁∙ P₂∙ P₃ ∙ P₄ ∙P₅=P_D∙[P₁∙ P₂∙ P₃∙ P₄+ P₁∙ P₂∙ P₃∙P₅+ P₁∙ P₂∙ P₄∙P₅+ P₁∙ P₃∙ P₄∙P₅+ P₂∙ P₃∙ P₄∙P₅]∙(1-5P_D)∙ P₁∙ P₂∙ P₃ ∙ P₄∙P₅≡P_KD;

Если выполняется условие

P «P_D для всех i=         (1.9)

и учитывая, то что значение вероятности случайного события есть величина, меньшая единицы, то

P₁∙ P₂∙ P₃ ∙ P₄∙ P₅→0

А значит тоже

(1-5P_D)∙ P₁∙ P₂∙ P₃ ∙ P₄∙ P₅→0

И тогда имеем

P(E_KD)≡P_KD≈P_D∙(P₁∙ P₂∙ P₃∙ P₄+ P₁∙ P₂∙ P₃∙P₅+ P₁∙ P₂∙ P₄∙P₅+ P₁∙ P₃∙ P₄∙P₅+ P₂∙ P₃∙ P₄∙P₅) (1.10)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

P(E_KD)≡P_KD≈P_D∙(P₁∙ P₂∙ P₃∙ P₄+ P₁∙ P₂∙ P₃∙P₅+ P₁∙ P₂∙ P₄∙P₅+ P₁∙ P₃∙ P₄∙P₅+ P₂∙ P₃∙ P₄∙P₅)=0.1∙(6∙10^-4∙5∙10^-4∙7∙10^-4∙2∙10^-4+6∙10^-4∙5∙10^-4∙7∙10^-4∙4∙10^-4+6∙10^-4∙5∙10^-4∙2∙10^-4∙4∙10^-4+6∙10^-4∙7∙10^-4∙2∙10^-4∙4∙10^-4+5∙10^-4∙7∙10^-4∙2∙10^-4∙4∙10^-4)=

=0.1∙10^-16∙(420+840+240+336+280)=21.16∙10^-16 (1.10)

) Рассмотрим структуру событий Е_кэ и найдем P(E_КЭ)=P_КЭ

E_КЭ≡ B₁∙ B₂∙ B₃∙ B₄ - катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (п= 4 по условию задачи).

В силу независимости всех событий B_i, i= имеем

P(E_КЭ) ≡P(B₁∙B₂∙B₃∙ B₄)=P(B₁) ∙P(B₂) ∙P(B₃) ∙P(B₄) =P_1э∙P_2э∙P_3э∙P_4э (1.12)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

P(E_КЭ)≡P(B₁∙B₂∙B₃∙ B₄)=P(B₁) ∙P(B₂) ∙P(B₃) ∙P(B₄)=P_1э∙P_2э∙P_3э∙P_4э =3∙10^-4∙4∙10^-4∙10^-4∙6∙10^-4=120∙10^-16                                       (1.13)

) Рассмотрим структуру события е_кс и найдем P(е_кс) = P_кс.

Событие Е_кс наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательной подсистемы, значит

е_кс≡C₁+C₂+ … +C_N=

В силу закона двойственности

е_кс≡= ∙∙…∙=

в силу независимости событий , i= получим

P () ≡P(=P() ∙ P()∙…∙ P()==1-P(C_i))

Так как P(C_i)=P_c, i= получим

P ()==1-P_с)=(1-P_c)^N

тогда

P(е_кс)=(1- P ()=1 - (1-P_c)^N≡P_KC

Если выполняется NP_C<<1=>

P ()=(1-P_c)^N=1-NP_C+ P_C²-… (-1)^N P_c^N ≈ 1-NP_C (1.14)

Подставив значения, данные из условия         задания, получим

P(е_кс)1-1+NP_C=NP_C=3∙10³∙6∙10^-9=18∙10^-6 (1.15)

.2 Расчетная часть

Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то

P(E_К)=1 - (1 - P(E_KD))∙(1-P(е_кс))∙P())=1-==1 - (1 - P_D∙(P₁∙ P₂∙ P₃∙ P₄+ P₁∙ P₂∙ P₃∙P₅+ P₁∙ P₂∙ P₄∙P₅+ P₁∙ P₃∙ P₄∙P₅+ P₂∙ P₃∙ P₄∙P₅)+ (1-5) P₁P₂P₃P₄ P₅)∙(1-P_1Э∙ P_2Э∙ P_3Э P_4Э)∙(1-P_c)^N

Если выполняется условие NP_C<<1 и P_KD<<1 и P_КЭ<<1, то будем далее иметь

P_KD+ P_КЭ+ NP_C=21.16∙10^-16+120∙10^-16+18∙10^-6 ≈18∙10^-6

Так как 21.16∙10^-16≤120∙10^-16≤18∙10^-6, видно, что P_КЭ ≤ P_KD ≤ Pкс из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.

В) Теперь рассмотрим случай ЛА без дублирующих систем:

P’_КЭ= P’_1Э; ≤ P’_KD = P₁=>

P’ (E_K)=P₁+P_1Э+NP_C=6∙10^-4+3∙10^-4+18∙10^-6=918∙10^-6

P’_KЭ < P’_КD < P_КС, а из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя и систем энергоснабжения, является определяющей.

И, наконец, сравним вероятности P’ (E_K) и P’ (E_K):

==51

Вывод

На основании вышеизложенного можно заключить, что наиболее вероятной является катастрофа, связанной с отказом одной из вспомогательных подсистем, а отсутствие дублирующих систем увеличивает вероятность катастрофы в 51 раз, при этом определяющим фактором становится отказ двигателя или системы энергоснабжения.

2. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета задача №2

.1 Постановка задачи задания №2

Испытываются m элементов системы энергоснабжения самолета, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону с функциями надежности R_i(t),  для каждого из  элементов, где ;

Определить вероятность того, что в интервале (0;в) часов откажут

а) только один элемент;

b) только два элемента;

c) все m элемента.

Дано:

m = 3;

б₁ = 0,37; б₂ = 0,47; б₃ = 0,17;

в = 5;

Решение.

Математическая часть

Введем обозначения:

A₁, A₂, A₃, A₄ - событие, состоящее в том, что отказал только один элемент, только два, все три элемента, ни один элемент не отказал.

p₁, p₂, p₃ - вероятность отказа 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно; тогда

q₁, q₂, q₃ - вероятность безотказной работы 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно;

Вероятность p₁ отказа 1-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

, следовательно:

.

Вероятность p₂ отказа 2-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

, следовательно:

.

Вероятность p₃ отказа 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

, следовательно:

.

2.2 Расчетная часть

Переходим к расчету искомых вероятностей, которые находится следующим образом:

Вероятностьотказа только одного элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

;

Вероятность  отказа только двух элементов в заданном интервале (0; 5) будет равна:

Вероятность отказа только трех элементов в заданном интервале (0; 5) будет равна:

.

Вероятность  безотказной работы всех трёх элементов за время испытания в заданном интервале (0; 5) будет равна:

.

Вывод

На основании изложенного можно заключить, что при заданных данных во время испытаний в заданном интервале (0; 5) наиболее вероятным являются отказ только двух элементов, а наименее вероятным является отказ только одного элемента, так как:

Вероятность того, что все три элемента безотказно отработают во время испытаний в заданном интервале (0; 5) является небольшой, а именно:

Список использованной литературы

1. Сотсков Ю.Н., Нарольская А.Н. Теория расписаний. Методичеcкое пособие. - Мн.: РИО МГВАК, 2008.

.   Сапцин В.М. Высшая математика. Часть 1. - Мн.: РИО МГВАК, 2002.

.   Барковская Л.С., Станишевская Л.В., Черторицкий Ю.Н. Теория вероятностей. Практикум. - Мн.: РИО УО «БГЭУ», 2004.