Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    74,24 Кб
  • Опубликовано:
    2014-08-22
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов

Введение

Теория вероятностей возникла в середине 17 в. То, что случайные явления представляют собой не исключение, а правило в реальном мире, было замечено еще в древности. Об этом словами Лукреция Кара прекрасно говорит Альфред Реньи. Попытки математически подойти к изучению случайных явлений делались задолго до Паскаля и Ферма. Во всяком случае, факты устойчивости частот случайных событий, связанных с демографическими данными и потреблением больших городов, были известны еще в Древнем Китае и Древнем Риме. Изучать случайные события с помощью точных методов пытались Кардано и Галилей. Однако начало теории вероятностей на самом деле положила только переписка Паскаля и Ферма по поводу вопросов кавалера де Мере. К тому времени процесс научного познания уже победил; научное мышление уверенно одолевало воззрения теологов, и свободный полет творческой мысли неизбежно приводил к одному из основных вопросов познания: каковы типы закономерностей, господствующих в Природе? Нет ли наряду с механистическим детерминизмом детерминизма более общего, позволяющего охватить явления природы шире и глубже?

На этот вопрос теперь дан определенный ответ: закономерности случайных явлений дают нам детерминизм более широкого типа, который в качестве предельного случая включает детерминизм полный, практически в реальных явлениях не наблюдаемый.

Начиная с Паскаля, Ферма и Гюйгенса, в научный обиход вошли первые понятия теории вероятностей - математической науки о случайных событиях. Эти понятия формировались на примерах изучения азартных игр, но создатели начал теории вероятностей отчетливо понимали общее натурфилософское значение своих рассмотрений. В связи со сказанным полезно привести подлинные слова Гюйгенса, которые содержатся в его трактате «Об азартных играх»: «…я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории». Последующее развитие науки в полной мере подтвердило эту точку зрения.

С течением времени изменялся и расширялся объект изучения теории вероятностей. Если в самом начале ее появления, фактически вплоть до конца XVIII века, основной интерес представляло исследование вероятностей случайных событий, то уже в XIX веке центр тяжести переносится на исследование случайных величин. Впрочем, само это понятие формировалось очень долго, и его элементы встречаются уже в работе Гюйгенса. Позднее случайными величинами занимались Муавр, Котс, Даниил Бернулли, Лаплас, Лежандр, Гаусс. Работы упомянутых ученых (кроме Муавра) относились к теории ошибок наблюдений, и здесь по необходимости должно изучать не столько случайные события, сколько случайные величины. Логически четкий смысл понятие случайной величины приобрело только в работах акад. А.Н. Колмогорова, а понятие функции распределения одной из работ А. Ляпунова.

На этом, однако, не прекратилось расширение объекта изучения. Во второй четверти нашего столетия в теорию вероятностей было введено важнейшее понятие - понятие случайного процесса. Его формирование протекало под влиянием физики, биологии, инженерного дела. Суть в том, что как физика и биолога, так и инженера в первую очередь интересует процесс развития явления во времени, а потому рассмотрение только случайных величин, которые не связаны с течением времени, имеет лишь ограниченное значение. И хотя определение случайного процесса связано с именами таких выдающихся исследователей, как А.Я. Хинчин, А.Н. Колмогоров, Е.Е. Слуцкий, следует все же отметить, что у них были и предшественники - Лаплас, Башелье, Пуанкаре, А.А. Марков. По предложению французского математика Адамара в честь Маркова назван важнейший класс случайных процессов (марковские процессы), для которых все влияние прошлого на развитие процесса в будущем заключается в достигнутом им в настоящий момент состоянии. Вскоре задачи геофизики и других областей естествознания привели к необходимости рассмотрения не только случайных величин, зависящих от одного параметра - времени, но и от многих параметров - времени и положения. Так появились новые объекты изучения - случайные поля.

Само собой разумеется, что центральное понятие теории вероятностей - вероятность - не могло оставаться неизменным на протяжении почти трехсот лет. Хорошо известно, что классическое определение, возникшее в переписке Паскаля и Ферма, оказалось недостаточным тогда, когда наука столкнулась с необходимостью изучения задач страхования, ошибок наблюдения. Разрыв логических основ теории вероятностей с потребностями практики сказывался уже в начале прошлого века и стал совершенно нетерпим в наши дни. Вот почему в последние пятьдесят лет ученые уделяли такое внимание логическим вопросам, вопросам разумного расширения действия понятий теории вероятностей. Это было вызвано потребностями как бурно прогрессирующей практики, предъявившей к теории вероятностей многообразные требования, так и самой математики.

Теоретические основы науки о авиационной техники в СССР были заложены в 50-60-х гг. Их базу составили количественные методы расчёта и анализа и инженерные методы обеспечения при создании и испытаниях изделий авиационной техники. Разработка методов количеств, оценки уровня, дифференцированный подход к оценке влияния различных видов отказов систем на выполняемые летательным аппаратом функции позволили перейти к активному управлению процессом обеспечения на этапах проектирования, экспериментальной отработки и лётно-доводочных испытаний летательных аппаратов. Была создана основа для объективной сравнительной оценки уровней летательных аппаратов различных типов и динамики их изменения во время эксплуатации. Реализация этих методов стала возможной благодаря созданию и широкому внедрению единой отраслевой системы учёта и сбора информации об отказах, выявляемых в эксплуатации, а также благодаря разработке вероятностно-статистических и расчётно-аналитических методов. В 70-х гг. наука о надёжности в авиации получила дальнейшее развитие. Основу её составили комплексные программы обеспечения, опирающиеся на научные методы проектирования, испытаний и эксплуатационной оценки изделий авиационной техники. Цель работы по обеспечению и анализу - изучение причин зарождения и развития неисправностей и создание изделий с заданным и контролируемым уровнем. Сложность решения проблемы возрастает одновременно с увеличением сложности создаваемых изделий и их насыщением автоматическими устройствами и системами, поддерживающими рабочие режимы вблизи пределов устойчивости работы и прочности конструкции. Благодаря применению научных методов обеспечения, учёту предшествующего опыта уровень вновь создаваемых изделий возрастает по сравнению с уровнем прототипов.

1. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата.

транспорт вероятность летательный

1.1 Постановка задачи задания №1

Летательный аппарат (ЛА) состоит из

- m двигателей с вероятностей отказа P1, P2,… Pm;

- n дублирующих систем энергосбережения с вероятностей отказа

 

P, P2Э,PnЭ;

 

N c вероятностей отказа Рс каждая.

Катастрофа наступает, если выходит из строя любая (r+1) и более двигателей, либо если все системы энергоснабжения, либо если хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.

В случаи отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью РD.

Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы P1, одна система энергосбережения с вероятностей отказа P и N вспомогательных подсистем с вероятностей отказа Рс каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.

В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом

двигателей;

систем энергосбережения;

вспомогательных подсистем.

Дано

m = 5; Р1 =6∙10-4,         Р2 =5∙10-4,  Р3=7∙10-4,          Р4=2∙10 -4, Р5=4∙10 -4

r=4 РD=0.1;

n=4 Р=3∙10-4,    Р=4∙10-4,  Р=10 -4, Р=6∙10 -4;

N=3∙103 Pc=6∙10-9.

Решение.

Математическая часть

Введем обозначение событий:

- D1, D2, D3, D4 - отказ 1-го, 2-го, 3-го и 4-го двигателей соответственно;

- В1,   В2, В3, - отказ 1-й, 2-й, и 3-й системы энергоснабжения соответственно;

·  Сi - отказ i-ой вспомогательной подсистемы, i = 1,2,…, N;

·  Ек - катастрофа;

- Ekd, Eкэ, Eкc - катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.

А) Рассмотрим случай ЛА с дублирующими системами:

В этом случае:

 

ЕKKDKЭ+EКС.                                  (1.1)

Перейдем к противоположным событиям, будем иметь:

=  (1.2)

Из равенства (1.2) в силу соотношения двойственности получим:

ЕK=    (1.3)

Тогда вероятность катастрофы будет определяться по формуле:

P(EK)=1 - P()=1-P() (1.4)

Из равенства (1.4) в силу независимости событий ЕKD, ЕKЭ,                EКС получим:

P(EK)=1- P∙ P()∙ P(EKC)=1 - (1-P(EKD))∙(1-P(EKЭ))∙P(EKC)). (1.5)

Рассмотрим структуру событий ЕKD, ЕKЭ, EКС и найдем их вероятности, то есть вероятности катастроф, связанных с отказом

·двигателей ЕКD

·систем энергоснабжения ЕKЭ

·вспомогательных подсистем ЕKC

1) Рассмотрим структуру событий ЕKD и найдем P(EKD)= PKD

Так как событие ЕKD - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа двигателей, а по условию задачи катастрофа, связанная с отказом двигателей наступает, если выходят из строя любых (r+1) и более двигателей из m двигателей, а в случае отказа любого г из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью РD. Значит:

ЕKD= ЕKDr+ ЕKD≥ (r+1), где

Так как в нашем случае число двигателей m = 5, r = 4; то r + 1 = 4 + 1 = 5.

Значит:

ЕKD= ЕKD4+ ЕKD≥5 где:

 

ЕКD4 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа любого r =4 из m=5 двигателей;

ЕKD>5 - событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за выходы из строя любых (r + 1) = 5 и более двигателей, а в нашем ЕKD>5= ЕKD5 - это событие, состоящее в том, что катастрофа произошла из-за отказа пяти двигателей. Из этого следует, что:

ЕKD≥5 = ЕKD5 = D1D2D3D4D5                      (1.6)

В свою очередь катастрофа, связанная с отказом ровно r = 4 двигателей (при работающих остальных), не обязательно влечет за собой катастрофу (ас вероятностью PD), значит

 

EKD4=EKED4

Тогда:

 

EKD= EKD4+ EKD≥5= EKED4+ EKD≥5


P(EKD)=P(EKD4+ EKD≥5)= P(EKD4)+ P(EKD≥5)=P(EKED4)+P(EKD≥5)

а для нашего случая и учитывая (1.6), получим:

 

P(EKD)=P(EKD4+ EKD≥5)= P(EKD4)+ P(EKD≥5)=P(EKED4)+P(EKD≥5)= P(EKED4)+P(EKD5) = P(EKED4)+ P(D1D2D3D4D5)

С другой стороны, катастрофа, связанная с отказом ровно r=4 двигателей при работающих остальных из пяти имеющихся у ЛА по условию задачи, есть следующее событие:

 

ED4 = D1D2D3D4  + D1D2D3D5 + D1D2D4D5 +

+ D1D3D4D5 +D2D3D4D5                                                           (1.8)

то есть не работают 5-й, 4-й, 3-й, 2-й, 1-й двигатели из пяти, имеющихся у ЛА.

Замечание.

Тот факт, что события EKD4 и EKD≥5 несовместны, можно доказать следующим образом:

 

EKD4EKD≥5 =< согласно (1.7) >= EKED4EKD≥5=< согласно (1.6) >= EKED4∙ ЕKD5 = =< согласно (1.6) и (1.8) = EK(D1D2D3D4  + D1D2D3D5 + D1D2D4D5 + D1D3D4D5 +D2D3D4D5) D1D2D3D4D5 = EK ((D1D2D3D5 D1D2D3D4D5)+(D1D2D4D5D1D2D3D4D5)+(D1D3D4D5D1D2D3D4D5)+(D2D3D4D5D1D2D3D4D5)+(D1D2D3D4D1D2D3D4)=

= EK((D1D1)∙(D2D2)∙(D3D3)∙(D4D4) ∙(D5) + (D1D1)∙(D2D2)∙(D3D3)∙(D4)∙(D5D5)+(D1D1)∙(D2D2)∙(D3)∙(D4D4) ∙(D5D5) +(D1D1)∙(D2)∙(D3D3)∙(D4D4) ∙(D5D5)+(D1)∙(D2D2)∙(D3D3)∙(D4D4) ∙(D5D5)

Используя тот факт, что A∙A = A и A∙=Ø, получим

 

EKD4 EKD≥5 =EK((D1D2D3D4 Ø) + (D1D2D3 ØD5)+ (D1D2 ∙ Ø ∙ D4D5) + (D1 ∙ Ø ∙ D3D4D5) + (Ø ∙D2D3D4D5)) = Ø

А как известно, что, если произведение двух событий равно невозможному событию (пустому множеству), то такие события являются несовместными.

По определению условной вероятности имеем:

 

P(EKD)=P(EK / ED4)∙P(ED4)+P()

а в силу независимости событий Di, i=, далее имеем:

 

P(EK / ED4) ∙ P(ED4)+ P()

Используя (1.7) и несовместимость его (ED4) слагаемых

 

P(EK / ED4)∙(P(D1D2D3D4 ) + P(D1D2D3D5 ) + P(D1D2D4D5)+ P(D1D3D4D5) + P(D2D3D4D5))+)

В силу всех независимых событий Di , i= и потому, что

 

P()=1-P(Di), получим далее:

P(EK / ED4)∙[(P(D1)∙P(D2)∙P(D3)∙(P(D4) ∙(1-P(D5))+ (P(D1)∙P(D2)∙P(D3)∙(1-P(D4)) ∙P(D5)+P(D1)∙P(D2)∙(1-P(D3))∙P(D4) ∙P(D5) +P(D1)∙(1-P(D2))∙P(D3)∙P(D4) ∙P(D5) +(1-P(D1)∙ P(D2)∙ P(D3)∙P(D4) ∙P(D5)]+)

Так как P(Di)=Pi, i= и P(EK / ED4)=PD, имеем 

 

P(EKD)=PD∙[P1P2P3P4∙(1-P5)+P1P2P3 ∙(1 - P4)∙P5 + P1P2∙(1 - P3)∙ P4P5 + P1∙(1 - P2)∙ P3P4P5 +(1 - P1)∙ P2P3P4P5]+ P1P2P3P4 P5=PD∙[P1P2P3P4+ P1P2P3P5+ P1P2P4P5+ P1P3P4P5+ P2P3P4P5]∙(1-5PD)∙ P1P2P3P4P5PKD;

Если выполняется условие

P «PD для всех i=         (1.9)

и учитывая, то что значение вероятности случайного события есть величина, меньшая единицы, то

P1∙ P2∙ P3 ∙ P4∙ P5→0

А значит тоже

(1-5PD)∙ P1∙ P2∙ P3 ∙ P4∙ P5→0

И тогда имеем

P(EKD)≡PKDPD∙(P1P2P3P4+ P1P2P3P5+ P1P2P4P5+ P1P3P4P5+ P2P3P4P5) (1.10)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

 

P(EKD)≡PKDPD∙(P1P2P3P4+ P1P2P3P5+ P1P2P4P5+ P1P3P4P5+ P2P3P4P5)=0.1∙(6∙10-4∙5∙10-4∙7∙10-4∙2∙10-4+6∙10-4∙5∙10-4∙7∙10-4∙4∙10-4+6∙10-4∙5∙10-4∙2∙10-4∙4∙10-4+6∙10-4∙7∙10-4∙2∙10-4∙4∙10-4+5∙10-4∙7∙10-4∙2∙10-4∙4∙10-4)=

=0.1∙10-16∙(420+840+240+336+280)=21.16∙10-16 (1.10)

) Рассмотрим структуру событий Екэ и найдем P(EКЭ)=PКЭ

EКЭ≡ B1∙ B2∙ B3 B4 - катастрофа, связанная с отказом всех трех систем энергоснабжения (п= 4 по условию задачи).

В силу независимости всех событий Bi, i= имеем

P(EКЭ) ≡P(B1B2B3 B4)=P(B1) ∙P(B2) ∙P(B3) ∙P(B4) =PPPP (1.12)

Подставив значения, данные из условия задания, получим

 

P(EКЭ)≡P(B1B2B3 B4)=P(B1) ∙P(B2) ∙P(B3) ∙P(B4)=PPPP =3∙10-4∙4∙10-4∙10-4∙6∙10-4=120∙10-16                                       (1.13)

) Рассмотрим структуру события екс и найдем Pкс) = Pкс.

Событие Екс наступает, если отказывает хотя бы одна из вспомогательной подсистемы, значит

 

ексC1+C2+ … +CN=

В силу закона двойственности

 

екс= ∙…∙=

в силу независимости событий , i= получим

 

P () ≡P(=P() ∙ P()∙…∙ P()==1-P(Ci))

Так как P(Ci)=Pc, i= получим

 

P ()==1-Pс)=(1-Pc)N

тогда

 

Pкс)=(1- P ()=1 - (1-Pc)NPKC

Если выполняется NPC<<1=>

P ()=(1-Pc)N=1-NPC+ PC2-… (-1)N PcN ≈ 1-NPC (1.14)

Подставив значения, данные из условия         задания, получим

 

Pкс)1-1+NPC=NPC=3∙103∙6∙10-9=18∙10-6 (1.15)

.2 Расчетная часть

Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то

P(EК)=1 - (1 - P(EKD))∙(1-Pкс))∙P())=1-==1 - (1 - PD∙(P1P2P3P4+ P1P2P3P5+ P1P2P4P5+ P1P3P4P5+ P2P3P4P5)+ (1-5) P1P2P3P4 P5)∙(1-PPP P)∙(1-Pc)N

Если выполняется условие NPC<<1 и PKD<<1 и PКЭ<<1, то будем далее иметь

 

PKD+ PКЭ+ NPC=21.16∙10-16+120∙10-16+18∙10-6 ≈18∙10-6

Так как 21.16∙10-16≤120∙10-16≤18∙10-6, видно, что PКЭ PKD Pкс из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.

В) Теперь рассмотрим случай ЛА без дублирующих систем:

PКЭ= P; ≤ PKD = P1=>

P’ (EK)=P1+P+NPC=6∙10-4+3∙10-4+18∙10-6=918∙10-6

 

PKЭ < PКD < PКС, а из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом двигателя и систем энергоснабжения, является определяющей.

И, наконец, сравним вероятности P’ (EK) и P’ (EK):

==51

Вывод

На основании вышеизложенного можно заключить, что наиболее вероятной является катастрофа, связанной с отказом одной из вспомогательных подсистем, а отсутствие дублирующих систем увеличивает вероятность катастрофы в 51 раз, при этом определяющим фактором становится отказ двигателя или системы энергоснабжения.

2. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета задача №2

.1 Постановка задачи задания №2

Испытываются m элементов системы энергоснабжения самолета, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону с функциями надежности Ri(t),  для каждого из  элементов, где ;

Определить вероятность того, что в интервале (0;в) часов откажут

а) только один элемент;

b) только два элемента;

c) все m элемента.

Дано:

m = 3;

б1 = 0,37; б2 = 0,47; б3 = 0,17;

в = 5;

Решение.

Математическая часть

Введем обозначения:

A1, A2, A3, A4 - событие, состоящее в том, что отказал только один элемент, только два, все три элемента, ни один элемент не отказал.

p1, p2, p3 - вероятность отказа 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно; тогда

q1, q2, q3 - вероятность безотказной работы 1-го, 2-го, 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) соответственно;

Вероятность p1 отказа 1-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

, следовательно:

.

Вероятность p2 отказа 2-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

, следовательно:

.

Вероятность p3 отказа 3-го элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

, следовательно:

.

2.2 Расчетная часть

Переходим к расчету искомых вероятностей, которые находится следующим образом:

Вероятностьотказа только одного элемента в заданном интервале (0; 5) будет равна:

;


Вероятность  отказа только двух элементов в заданном интервале (0; 5) будет равна:


Вероятность отказа только трех элементов в заданном интервале (0; 5) будет равна:

.

Вероятность  безотказной работы всех трёх элементов за время испытания в заданном интервале (0; 5) будет равна:

.

Вывод

На основании изложенного можно заключить, что при заданных данных во время испытаний в заданном интервале (0; 5) наиболее вероятным являются отказ только двух элементов, а наименее вероятным является отказ только одного элемента, так как:

Вероятность того, что все три элемента безотказно отработают во время испытаний в заданном интервале (0; 5) является небольшой, а именно:



Список использованной литературы

1. Сотсков Ю.Н., Нарольская А.Н. Теория расписаний. Методичеcкое пособие. - Мн.: РИО МГВАК, 2008.

.   Сапцин В.М. Высшая математика. Часть 1. - Мн.: РИО МГВАК, 2002.

.   Барковская Л.С., Станишевская Л.В., Черторицкий Ю.Н. Теория вероятностей. Практикум. - Мн.: РИО УО «БГЭУ», 2004.

Похожие работы на - Методы теории вероятностей в анализе безопасности и надежности летательных аппаратов

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!