Исследование операций в экономике

Министерство образования республики Беларусь

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт информационных технологий

Специальность 40 01 02

«Информационные системы и технологии (в экономике)»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Исследование операций в экономике

Вариант №5

Студентка-заочница 3 курса

Группа № 082323

Гордецкая Валентина Александровна

Минск, 2013

Задание 1.

Решить задачу производителя, если производственная функция представляет собой функцию с постоянной эластичностью замещения, т.е. , p - цена продукции, wi - цены ресурсов, i=1,2.

Решать задачу, подставив числовые значения параметров β,h (значения задать самостоятельно).

Как изменятся выпуск и спрос на ресурсы при возрастании цены продукции?

Какова реакция производителя на изменение цен ресурсов?

Каковы предельные продукты в оптимальной точке?

Решение:

1. Найдем функции спроса на ресурсы x_i (p, w₁, w₂) и максимальную прибыль фирмы в оптимальных точках.

Воспользуемся следующим уравнением для определения прибыли фирмы:

П = p f(х₁, х₂) - w₁х₁ - w₂х₂ ® max.

Учитывая условия Куна-Таккера, запишем частные производные функции прибыли по x_i, i =1, 2 и приравняем их к 0.

Þ

Самостоятельно задаём значения параметров  и h:

h = -1;

 = 1.

Решая совместно уравнения, получим:

q =

Þ          

. Определим влияние изменения цены продукции на выпуск и спрос на ресурсы.

Влияние изменения цены продукции на выпуск ресурсов:

Учитывая, что  то возрастание цены на продукцию фирмы будет приводить к уменьшению её выпуска.

- Влияние изменения цены продукции на спрос на ресурсы:

Возрастание цены приводит к увеличению спроса на ресурсы

. Определим реакцию производителя на изменение цен ресурсов:

Учитывая следствия из основных соотношений, в частности , можно утверждать, что увеличение платы на затраты приводит к уменьшению выпуска продукции.

Определим влияние изменения цен ресурсов на их потребление:

Так как  то повышение цен на затраты приводит к увеличению потребления этих затрат.

4. Определим предельные продукты в оптимальной точке:

Задание 2.

Администрации театра нужно решить, сколько заказать программок для представлений. Стоимость заказа 200 ф.ст. плюс 30 пенсов за штуку. Программки продаются по 60 пенсов за штуку. Из прошлого опыта известна посещаемость театра:

Ожидается, что 40% зрителей купят программки.

Определите, сколько программок должна заказать администрация театра.

Используйте следующие правила:

.Максимакса дохода

.Максимина дохода

.Минимакса возможных потерь

.Максимума ожидаемого дохода

.Миниума ожидаемого риска

Решение:

Учитывая исходные условия, cоставим платежную матрицу (таблица 2.1):

Элементы платежной матрицы рассчитываем по следующему принципу:

а₁₁= - 4500*30 - 200 + (4500*0,4*60) = 242800 у.е.

…

а₁₄= - 4500*30 -200 + (5000*0,4*60) = 254800 у.е.

а₁₅= - 4500*30 - 200 + (6000*0,4*60) = 278800 у.е.

а₂₁= - 4000*30 - 200 + (4500*0,4*60) = 227800 у.е.

и т.д.

Таблица 2.1

По критерию максимума среднего выигрыша оптимальной является стратегия 5, т.е. оптимальный объем заказа должен составлять 6000.

Далее составим матрицу рисков (таблица 2.2):

Таблица 2.2

По критерию минимума среднего риска оптимальной является стратегия 5, т.е. оптимальный объем заказа программок должен составлять 6000.

Определим оптимальную стратегию по другим критериям

·      критерий максимакса: М = max_i max_j a_ij = 323800.

·              критерий максимина: W = max_i min_j a_ij = 263800.

·              критерий минимакса: S = min_i max_j r_ij = 0.

Общий вывод - с точки зрения всех критериев оптимальным является заказ 6000 программок.

Задание 3.

Задача (1-2) о распределении средств между предприятиями

Планируется деятельность n промышленных предприятий на очередной год. Начальные средства: s0 . Размеры вложений в каждое предприятие кратны Dx . Средства x , выделенные предприятию i приносят в конце года прибыль f i (x), i = 1,2. … n.

Прибыль f i (x) не зависит от вложения средств в другие предприятия. Прибыль от каждого предприятия выражается в одних и тех же условных единицах; суммарная прибыль равна сумме прибылей от каждого предприятия.

Найти оптимальное распределение средств между предприятиями при условии, что прибыль f(x), полученная от каждого предприятия, является функцией от вложенных в него средств x, вложения кратны Dx, а функция f(x) задана таблично.

Задача 1. Таблица 3.1

s₀ = 8, Dx = 1, n= 4

Решение:

Обозначим через x_k количество средств, выделенных k-му предприятию. Суммарная прибыль равна

Z=. (3.1)

Переменные x_k удовлетворяют ограничениям

=8, x_k ³ 0, k = 1, 2, 3, 4. (3.2)

Требуется найти переменные x₁, x₂,, x₃,, x₄, удовлетворяющие (3.2) и обращающие в максимум функцию (3.1).

Схема решения задачи ДП: процесс решения распределения средств q₀ = 8 можно рассматривать как четырехшаговый, номер шага совпадает с номером предприятия; выбор переменных x₁, x₂, x₃, x₄ - управление соответственно на 1, 2, 3 и 4 шагах; - конечное состояние процесса распределения - равно 0, т.к. все средства должны быть вложены. Схема распределения показана на рис. 3.1.

Рис. 3.1

Уравнения состояний в данной задаче имеют вид q_k = q_k-1 - x_k, k=1, 2, 3, 4, где q_k - параметр состояния - количество средств, оставшихся после k-го шага, т.е. средства, которые остается распределить между оставшимися 4-k предприятиями.

Z_k*(q_k-1) - условная оптимальная прибыть, полученная от k-го, (k+1)-го, …, 4 предприятий, если между ними оптимальным образом распределялись средства q_k-1. Допустимые управления на k-м шаге удовлетворяют условию 0 £ х_k £ q_k-1.

Уравнения Беллмана имеют вид:

к = 4, q₄=0 Þ Z₄*(q₃)=max f₄(x₄), 0 £ x₄ £ q₃;

 Z₃*(q₂)=max {f₃(x₃) + Z₄*(q₃)}, 0 £ x₃ £ q₂;

Z₂*(q₁)=max {f₂(x₂) + Z₃*(q₂)}, 0 £ x₂ £ q₁;₁*(8)=max {f₁(x₁) + Z₂*(q₁)}, 0 £ x₃ £ 8.

4 шаг (k = 4).

В табл. 3.2 f₄(x) прибыли монотонно возрастают, поэтому все средства, оставшиеся к IV шагу, следует вложить в 4-е предприятие. Для возможных значений q3 = 0, 1, 2, 3, 4, 5…8 получим Z4*(q3)=f4(q3) и x4*(q3)=q3.

Таблица 3.2

Z₁*(q₀)=35 - условная оптимальная прибыль.₁ = X₁q₀ = 3

Значит отдадим первому предприятию количество средств X₁ = 3.

Шаг 3.

Остаток средств q₁ к третьему шагу: q₁ = 8 - 3 = 5

Таблица 3.3

Отдадим второму предприятию количество средств X₂=1 (X₂ = X₂q₁ = 1) при условной оптимальной прибыли Z₂*(q₁)=23

Шаг 2.

Остаток средств q₂ ко второму шагу: q₂ = 5 - 1 = 4

Таблица 3.4

₃*(q₂)=16 - условная оптимальная прибыль.₃ = X₃q₂ = 3

Значит отдадим третьему предприятию количество средств X₃ = 3.

Шаг 1.

Остаток средств q₃ к 1 шагу: q₃ = 4 - 3 = 1. Следовательно четвертому предприятию уйдет количество средств x₄=1

Итак, максимум суммарной прибыли Z_max=Z₁*(8)=35 у. е. при

₁*=x₁*(8)=3®

® q₁*=8-3=5 Þ x₂*=x₂*(5)=1 ®

® q₂*=5-1=4 Þ x₃*=x₃*(4)=3 ®

 ® q₃*=4-3=1 Þ x₄*=x₄*(1)= 1.

Выделение средств различным предприятиям:

-му выделена 3 у. е.,

-му - 1 у. е.,

-му - 3 у. е.,

-му - 1 у. е.

Ответ: (3, 1, 3, 1)

Задание 4.

Решить задачу о поиске максимального потока в сети (в скобках указана пропускная способность дуги), если начальный поток w_o = 6 (рис. 4.1).

спрос цена ресурс средство

Рис. 4.1

Решение:

Согласно свойствам потока, распределим начальный поток w₀=6 по дугам:

x₀->x₁-> x₄->x₆ - пустим 2.

x₀->x₂-> x₅->x₆ - пустим 2.

x₀->x₃-> x₅->x₆ - пустим 2.

Рис. 4.2

Таким образом, начальный поток распределен по сети с соблюдением всех свойств потока (Рис. 4.2).

На рисунке 4.3 показано существование увеличивающей цепи из s в t, ее составляет последовательность x₀->x₁->x₅ ->x₆ - пустим 3.

Рис. 4.3

На рис. 4.4 представлено перераспределение потока w₁ = w₀+e_t = w₀+3 = =6+3=9

Рис. 4.4

Рис. 4.4 демонстрирует отсутствие увеличивающей цепи от s к t. Следовательно, поток w₁=9 является максимальным.

Задание 5.

Для анализа изменения с течением времени размера текущего фонда компании, ведущей дела по страхованию автомобилей, важно обладать информацией о процессе поступления в компанию требований по выплатам в соответствии со страховыми полисами.

Наблюдение за работой компании в предшествующий период показало, что число поступающих требований по выплатам за любой промежуток времени t зависит только от его продолжительности; требования в компанию в любые два непересекающихся интервала времени поступают независимо; в достаточно малые промежутки времени в компанию поступает по одному требованию. Ожидаемое число требований, поступаемых в компанию за неделю - 2.

Какова вероятность того, что:

-       за месяц в компанию поступит пять требований;

-       за месяц в компанию поступит не менее пяти требований;

-       за неделю в компанию поступит хотя бы одно требование;

-       промежуток времени между двумя соседними поступлениями требований меньше четырех дней;

Решение:

Рассмотрим простейший (стационарный пуассоновский) поток с интенсивностью l = const. Одной из важных характеристик потока является дискретная случайная величина Х(t), представляющая собой число событий, наступающих за промежуток времени t. В простейшем потоке с интенсивностью l случайное число событий Х(t), наступающих за промежуток времени t, распределено по закону Пуассона:

p_m(t) =e^-lt, (m = 0, 1, 2,…).

Важной характеристикой простейшего потока является непрерывная случайная величина Т - промежуток времени между двумя любыми соседними событиями потока.

Обозначим поток требований по выплатам, поступающим в компанию, через П. По условию примера число поступающих в компанию требований по выплатам за любой промежуток времени t не зависит от начала этого промежутка, а зависит лишь от его длины. Поэтому поток П будет стационарным.

В условиях данной ситуации за единицу времени естественно принять неделю. По условию примера интенсивность l потока П равна двум требованиям в неделю.

Пусть Х(t) - число требований по выплатам, поступающим в компанию за промежуток t (недель), и Т - промежуток времени между любыми двумя соседними требованиями по выплатам.

После проведенной математической формализации мы можем ответить на поставленные вопросы.

1. В первом вопросе t =1 месяц = 4 недели и m=5. Тогда вероятность поступления за месяц пяти требований по выплатам вычисляем по закону распределения Пуассона:

р₅(4) =е^-2*4 » 0,092.

. Вероятность поступления в компанию не менее пяти требований по выплатам за месяц:

р(Х(4) ³5)=1 - р(Х(4) <5) = 1- е^-2*4  =1 - 0,1 = 0,9.

. р(Х(1)³1)= е^-2*1 » 0,137.

4. Вероятность, что Т меньше четырёх дней, находим при t = 4 дня = 4/7 недели:

р(Т < 4/7) =1-р(Т ³ 4/7) = 1-е^{-2 (4/7)} =1- 0,319=0,681.

Задание 6.

Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин с одним каналом (одной группой проведения осмотра). На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 0,5 ч. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Потоки заявок и обслуживаний - простейшие. Машина, прибывшая на пункт осмотра, покидает этот пункт лишь в случае, если в очереди на осмотр стоят более 5 машин. Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра.

Решение

По условию l = 36/24 =1,5 машины в час, = 0,5 (ч). Интенсивность обслуживания m = 1/ = 1/0,5 = 2 машины в час. Интенсивность нагрузки r = 1,5/2 = 0,75.

Вероятность того, что система свободна

=

Р_ОТК = , т.е. 7,2% заказов будут потеряны.

Относительная пропускная способность СМО

Q = 1- Р_ОТК = 0,928, т.е. 92,8% заказов будут обслужены.

Абсолютная пропускная способность СМО

А = 1,5*0,928= 1,392, т.е. за час будет обслужено 1,392 машины.

Среднее число заявок в очереди:

=

=,

т.е. в очереди будут 0,69 машины.

Среднее число занятых каналов:

=,

Среднее число заявок в системе:

 = + =0,69+0,696 = 1,386.

Среднее время пребывания заявки в системе (очереди) вычисляется по формулам Литтла: