Растяжение и сжатие

Растяжение и сжатие

Контрольная работа

Растяжение и сжатие

Содержание

1. Определение напряжений при растяжении - сжатии

. Деформации при растяжении-сжатии и закон Гука

. Определение перемещений для деформации при растяжении - сжатии

. Напряженное состояние при растяжении-сжатии и закон парности касательных напряжений

. Допускаемые напряжения, коэффициент запаса и расчеты на прочность при растяжении- сжатии

1. Определение напряжений при растяжении-сжатии

Растяжением или сжатием будем называть такое нагружение стержня, когда в поперечных сечениях возникает лишь один внутренний силовой фактор - нормальная сила.

растяжение сжатие деформация прочность

Рис.1

Для определения продольных сил используем метод сечений. Проведем сечение а-а и спроектируем все силы, действующие на нижнею часть сечения, на ось стержня. Приравнивая сумму проекции к нулю, найдем:

1=-3F

Минус показывает, что действует сжатие.

На участке А-В (в сечении в-в):

2=5F

Наглядное представление о законе изменения продольных сил по длине дает эпюра продольных сил.

Рис. 2

Если на поверхности призматического стержня нанести прямоугольную сетку, то после деформации линии останутся взаимно перпендикулярными.

s(z)-?

Все горизонтальные линии (c-d) переместятся вниз, оставаясь горизонтальными и прямыми. Можно предположить, что внутри стержня будет такая же картина. Это гипотеза Бернули или гипотеза плоских сечений: «Плоское сечение, перпендикулярное оси стержня после деформирования остается плоским и перпендикулярным оси сечения».

На этом основании считаем, что поперечная сила равномерно распределена по сечению.

Эта гипотеза справедлива, в первую очередь, для стержневых конструкций.

Интенсивность поперечной силы - нормальное напряжение:

. Деформации при растяжении-сжатии и закон Гука

Опыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются. При сжатии наоборот.

Рис.3

 (2)-относительное удлинение или линейные деформации.

Для многих конструкционных материалов при нагружении до определенных пределов опыты показывают линейную зависимость линейных деформаций от нормальных напряжений.

 (3)- закон Гука.

Е- модуль продольной упругости или упругости первого рода.

Значения модуля упругости для некоторых материалов (в МПа):

·   сталь- 2.105-2.2.105;

·   титан- 1.1.105;

·   алюминий- 0.675. 105;

·   медь- 1.105;

·   стеклопластик- 0.18.105-0.4.105;

После подстановки (1) и (2) в (3):

=                 (4)

Между продольной ε и поперечным εt деформациями существует следующая экспериментальная зависимость:

εt=νε; (5)

ν- коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).

Если рассматривать произвольно ориентированный прямоугольник АВСД, то стороны его удлиняются, а сам прямоугольник под действием касательных напряжений переносится и превращается в параллелограмм. Углы А и С уменьшатся, а В и Д увеличатся.

Изменение прямого угла называется угловой деформацией или углом сдвига.

Найдем угла поворота отрезков АВ и АД..

Угол поворота под действиям продольного удлинения:

=

Угол поворота под действием поперечного сужения:

Для определения угла поворота АД вместо α нужно использовать

Угловая деформация или угол сдвига:

Или введя модуль упругости G или модуль упругости второго рода:

 (1)

 (2)

3. Определение перемещений для деформации растяжение-сжатие

Рис. 4

; N(z)

Определим удлинения бесконечно малого участка.

ЕА (Z) - характеризует степень склонности данного участка к деформированию.

При наличии нескольких участков с различными функциями от Z, мы должны учесть вклад каждого участка, которые расположены между жестким закреплением и рассматриваемым участком:

Определение продольных перемещений при постоянных в пределах участка продольных силах.

Этот случай встречается довольно часто.

Тогда

4.Напряженное состояние при растяжении-сжатии и закон парности касательных напряжений

Для полного суждения о прочности материала необходимо уметь определять напряжение действующие по любому наклонному сечению растянутого элемента.

Рис. 5

;

Проектируя все силы на направление σ0:

σαАα-σ1Аcosα=0

σα=σ1cos2α; (6)

Проектируя все силы на направление τα :

ταАα-σ1Аcosα=0

; (7)

 при ;

 при ;

 -закон парности касательных напряжений.

Закон парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках действуют одинаковые касательные напряжения, которые направлены либо к общему ребру, либо от этого ребра.

Рис.6

Этот закон имеет место и для объемного напряженного состояния.

Определим напряжение на некоторой наклонной площадке, которая расположена под углом α к плоскости нормального сечения. Полное напряжение на этой площадке обозначим через p.

Рис. 7

Из условия равновесия сил:

;

 (1)

Раскладываем это напряжение на нормальную к накладной площадке и касательную составляющие (σα и τα).

σα=pcosα τα=psinα

или с учетом (1):

 (2)

Выделим в области, примыкающей к точке А, прямоугольник АВСД.

Рис. 8

;

;

 (3)

Закон парности касательных напряжений: величины касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках равны и направлены либо к общему ребру либо от ребра.

Этот же результат можно получить из условия равновесия - момент от  равен моменту .

 ;

.

5. Допускаемые напряжения, коэффициент запаса и расчеты на прочность при растяжении- сжатии

В простейших случаях, как например при растяжении-сжатии, оценка прочности элемента конструкции производится по наибольшему нормальному или наибольшему касательному напряжению.

Таким образом, условия прочности записываются в виде:

σmax≤σadm

или

σmax≤σadm

Здесь:

σmax- допускаемое значение нормального напряжения;

τadm- допускаемое значение касательного напряжения.

Допускаемые напряжения зависят от материала и условий работы рассчитываемого элемента конструкции. Эти величины должны быть выбраны таким образом, что бы была обеспечена нормальная эксплуатация конструкции.

Здесь действуют два фактора:

1. Фактические нагрузки, действующие на деталь.

2. Свойства материалов могут значительно отличаться от принятого в расчетах.

Такие факторы как перегрузка, неоднородность материала и другие носят чаще всего случайный характер и предварительно не могут быть учтены.

С целью обеспечения безопасной работы конструкции, допускаемые напряжения должны быть ниже предельных, при которых может произойти разрушение (хрупкие материалы) или появится пластические деформации (пластические материалы).

Здесь: σu- предел прочности;

σy- предел текучести.

Коэффициент запаса равен отношению предельных напряжений к допустимым. Назначение коэффициента запаса задача специальных курсов конструкция и проектирования детали приборов и т.д.

Расчеты на прочность:

А. Проектированный:

·   задана нагрузка F;

Необходимо определить площадь поперечного сечения А.

Б. Расчеты на прочность:

·   задана нагрузка F и площадь поперечного сечения А;

·   известен материал и допускаемые напряжения σadm.

Необходимо оценить прочность конструкции:

1. Определить нормальное напряжение:

1. Условие прочности выполняется, если:

σ≤σadm.

В. Расчет несущей способности:

·   заданы размеры сечения;

·   задан материал.

Определить предельную нагрузку: F=N=Aσadm.

Литература

1.Александров А.В. и др. Сопротивление материалов: Учебник для ст-тов вузов - 2-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 2008. - 559 с.

.Бояршинов, С.В. Основы строительной механики машин - М. : Машиностроение, 2006. - 456 с.

.Гафаров Р.Х. Что нужно знать о сопротивлении материалов: Учебное пособие для вузов обуч. по направлениям подгот. и спец. в области техники и технологии - М.: Машиностроение, 2007. - 275 с.

.Дарков, А.В. Сопротивление материалов. - М. : Высшая школа, 2007. - 623 с.

.Миролюбов И.Н. и др. Пособие по решению задач по сопротивлению материалов : учебное пособие для технических вузов. - М. : Высшая школа, 2007. - 399 с.

.Степин П.А. Сопротивление материалов. - М. : Высшая школа, 2008. - 303 с.

.Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учебник для студ-ов высш.техн.учеб.зав. - 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - 588 с.