Расчет растяжения и сжатия стержня

Расчет растяжения и сжатия стержня

Содержание

1. Растяжение, сжатие

.1 Построение эпюры продольных сил

.2 Вычисление размеров поперечного сечения

.3 Определение перемещения свободного конца стержня

. Геометрические характеристики плоских сечений

.1 Нахождение центра тяжести составного сечения

.2 Нахождение момента инерции относительно центральных осей

. Расчет прочно-плотного заклепочного шва

.1 Определение толщины δ стенки котла

.2 Определение диаметра d заклепок и шага заклепочного шва p

.3 Проверочный расчет

.4 Расчет параметров шва

.5 Определение напряжений на наклонной площадке

. Кручение

.1 Построение эпюры крутящих моментов

.2 Вычисление диаметра вала

.3 Построение эпюры углов поворота

. Изгиб

.1 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

.2 Нахождение размера сечения балки

.3 Проверка сечения по касательным напряжениям

.4 Построение эпюр напряжений

.5 Определение прогиба

. Проектный расчет вала при совместном действии кручения и изгиба

Список использованной литературы

1. Растяжение, сжатие

сечение эпюра кручение

Для стержня, загруженного по данным табл. 1:

а) построить эпюру продольных сил;

б) подобрать из условия прочности размеры стержня круглого и квадратного сечений;

в) определить перемещение свободного конца стержня.

Схема стержня изображена на рис. 1.1.

Таблица 1.1

Решение

1.1 Построение эпюры продольных сил

При построении эпюры продольной силы необходимо разделить стержень на участки. В данном случае таких участков три. Определение продольных сил начнем со свободного конца стержня.участок:

.

При  кН;

при м кН.участок:

 кН.участок:

 кН.

На рис. 1.2 представлены сечения стержня и эпюра продольной силы.

.2 Вычисление размеров поперечного сечения

При определении размеров поперечного сечения стержня нужно воспользоваться условием прочности. Так как медь и сталь - пластичные материалы, условие прочности будет иметь вид:

,

где  - допускаемое напряжение для данного материала;

 - максимальное напряжение на стержне;.

Значения допускаемых напряжений ([1], с.45):

для меди  МПа;для стали Ст3  МПа.

Рассмотрим напряжения на участках.участок (медь, растяжение):

;; м2.

участок (сталь, сжатие):

;; м2.

участок (сталь, растяжение):

;; м2.

Примем значение  м2. В зависимости от формы поперечного сечения стержня можно вычислить его размеры.

Для круглого сечения диаметр d найдем из формулы

,.

На I участке:  м.

На II участке:  м.

На III участке:  м.

Для квадратного сечения сторону квадрата a найдем из формулы

,.

На I участке:  м.

На II участке:  м.

На III участке:  м.

.3 Определение перемещения свободного конца стержня

Перемещение свободного конца стержня:

.

Изменение длины стержня на участке вычисляется по формуле

,

где N - продольная сила в сечении; A - площадь этого сечения; E - модуль продольной упругости материала стержня.

Если в пределах участка , то:

.

Модуль продольной упругости (модуль Юнга) ([1], с.46):

для меди: МПа;

для стали: МПа.

На I участке:

 м.

На II участке:  м.

На III участке:  м.

 м.

Стержень удлинился на 0,41 мм.

2. Геометрические характеристики плоских сечений

Для указанного составного плоского сечения (рис. 2.1) вычислить моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести этого сечения. Исходные данные указаны в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Решение

.1 Нахождение центра тяжести составного сечения

Выберем произвольную систему координат x0y0 (пусть она совпадает с собственными осями бруса), относительно которой будем искать центр тяжести сечения. Координаты центра тяжести определяются по формулам

;,

где ,  - статические моменты относительно осей x0 и y0 соответственно каждой фигуры, входящей в сечение;  - площадь отдельной фигуры.

Площади сечений неравнобокого уголка, швеллера и двутавра взяты из таблиц сортаментов ([3], с.342-354, табл. 1, 2, 4).

Таблица 2.2

Длина бруса  мм.

Площадь сечения бруса найдем по формуле

 см2.

Статические моменты фигуры вычисляются по формулам

;,

где А - площадь фигуры; ,  - расстояния от центра тяжести фигуры до осей x0 и y0  соответственно.

 см3;

 см3;

 см3;

 см3;

 см3;

 см3;

 см3;

 см3.

Таким образом, координаты центра тяжести равны:

 см;

 см.

2.2 Нахождение момента инерции относительно центральных осей

Вычислим моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения. Введем центральные оси составного сечения x и y. Согласно теореме о переносе осей (теореме Гюйгенса-Штейнера) момент инерции  каждой фигуры относительно центральной оси будет складываться из собственного и переносного моментов инерции:

;,

где ,  - моменты инерции относительно собственных осей фигуры; А - площадь фигуры; a, b - расстояние между собственной осью фигуры и центральной осью составного сечения (соответственно x и y).

Собственные моменты инерции неравнобокого уголка, швеллера и двутавра взяты по сортаменту (см. табл. 2.2).

Собственные моменты инерции бруса определяются по формулам

 см4;

 см4.

Таким образом, моменты инерции фигур в составе сечения относительно центральных осей составного сечения будут иметь вид:

 см4;

 см4;

 см4;

 см4;

 см4;

  см4;

 см4;

 см4;

Момент инерции составного сечения относительно оси x:

 см4;

относительно оси y:

 см4.

3. Расчет прочно-плотного заклепочного шва

Рассчитать продольный прочно-плотный шов для котла с внутренним давлением q, диаметром D, выполненного из стали, а также определить напряжения на наклонной площадке элемента стенки котла. Исходные данные указаны в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Решение

.1 Определение толщины δ стенки котла

Условие прочности на растяжение для тонкостенного сосуда имеет вид:

,

где - допускаемое напряжение при растяжении;

[S] - допускаемый коэффициент прочности шва.

Температура нагрева стенки котла 180°С < 250°С, поэтому  вычислим по формуле:

,

где - предел прочности при растяжении материала листов стенки котла;

 - коэффициент запаса прочности, соответствующий ;

.

Для стали марки 15пс  МПа ([2], с. 50).

Исходя из соотношения  МПа∙м, примем тип шва - двухрядный стыковой. Допускаемый коэффициент прочности для такого типа шва ([м.у.], табл. 2.1):

.

В качестве максимального напряжения примем  как наиболее опасное:

.

Таким образом, условие прочности примет вид:

;.

 м  мм.

С учетом добавки на коррозию металла  мм принимаем значение:

 мм.

.2 Определение диаметра d заклепок и шага заклепочного шва p

Для выбранной толщины стенки котла определим по справочным данным ([м.у.], табл. 2.1) диаметр заклепки d и шаг заклепочного шва p.

Диаметр заклепки:

 мм.

Шаг заклепочного шва:

 мм.

.3 Проверочный расчет

Заклепочный шов проверяется на прочность по условным напряжениям среза:

,

где ( - число плоскостей среза);

 - допускаемое условное напряжение на срез;

 МПа ([м.у.], табл. 2.1).

Сила, приходящаяся на одну заклепку (для продольного шва), будет определяться формулой:

,

гдеz - число заклепок на участке шва с шириной, равному шагу p (т.к. шов двухрядный, ).

Таким образом, условие прочности примет вид:

;

 Па  МПа;

,7 МПа < 60 МПа, следовательно, условие прочности заклепок на срез выполняется.

Расчет на срез с силой Q0 является одновременно и расчетом на плотность шва. Следовательно, данный заклепочный шов прочно-плотный.

.4 Расчет параметров шва

Вычислим остальные размеры шва (рис. 3.2):

расстояние от заклепки до края листа

 мм;

расстояние между рядами заклепок

 мм;

толщина накладок

 мм.

.5 Определение напряжений на наклонной площадке

Главные напряжения на площадке в стенке тонкостенного сосуда:

 МПа;

 МПа.

Угол α отсчитывается от наибольшего напряжения σ1 до внешней нормали к наклонной площадке по часовой стрелке, следовательно, он отрицателен:

.

Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке определим по формулам:

 МПа;

 МПа.

, следовательно, напряжение растягивает площадку;

, следовательно, вектор  расположен так, чтобы он поворачивался на 90° до совмещения с нормалью к площадке по часовой стрелке (рис. 3.3).

4. Кручение

Для стального вала круглого поперечного сечения, загруженного по данным табл. 4.1:

построить эпюру крутящих моментов;

подобрать диаметр вала из условия прочности и условия жесткости, принять  МПа; °/м;

построить эпюру углов поворота поперечных сечений вала.

Схема вала изображена на рис. 4.1.

Таблица 4.1

Решение

.1 Построение эпюры крутящих моментов

Разделим вал на участки (в данном случае таких участков три). Применяя метод сечений, определяем крутящие моменты на каждом участке вала:

 кН∙м;

 кН∙м;

 кН∙м.

На рис. 4.2 представлены сечения вала и эпюра крутящих моментов.

.2 Вычисление диаметра вала

Условие прочности при кручении имеет вид:

.

Максимальные касательные напряжения на участке вычисляются по формуле:

,

где - полярный момент сопротивления сечения.

Определим наибольшие касательные напряжения на каждом участке:

 кПа;

 кПа;

 кПа;

 кПа.

, следовательно, расчет ведем по III участку.

Условие прочности примет вид:

;.

 м; м.

Условие жесткости при кручении имеет вид:

Относительный угол закручивания на участке вычисляется по формуле:

где - полярный момент инерции сечения;- модуль сдвига; для стали  МПа ([1], с.46).

Определим значение относительного угла закручивания на каждом участке вала:

;

;

;

.

участок имеет наибольший относительный угол закручивания.

Условие жесткости запишем для III участка:

;.

Допустимый относительный угол закручивания [θ], заданный в градусах на метр длины, необходимо выразить в радианах на метр длины вала:

°/м .

 м; м.

Принимаем  м, следовательно,  м,  м,  м,  м.

.3 Построение эпюры углов поворота

Для построения эпюры углов поворота сечений определим углы поворота на участках вала:

.

 рад;

 рад;

 рад;

 рад.

Так как защемленное сечение вала не поворачивается, то эпюру углов поворотов начинаем строить с левого (защемленного) конца вала (рис. 4.2).

;

 рад;

 рад;

 рад;

 рад.

5. Изгиб

Для стальной балки, загруженной по данным табл. 5.1:

построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

подобрать размеры балки указанного профиля из условия прочности по нормальным напряжениям;

проверить выбранное сечение по касательным напряжениям;

для указанного сечения построить эпюры нормальных и касательных напряжений;

определить прогиб или угол поворота балки в указанном сечении.

Расчетная схема балки представлена на рис. 5.1.

Таблица 5.1

Примечание. Н - неподвижная шарнирная опора; П - подвижная шарнирная опора.

5.1 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Для построения эпюр M и Q нужно, чтобы вся внешняя нагрузка, действующая на балку, была известна, поэтому необходимо определить опорные реакции:

;

 кН;

;

 кН;

Проверка: ;

;

.

Следовательно, опорные реакции определены правильно. Знак «-»     показывает, что направления  и  противоположны указанному на рис. 5.1. В дальнейшем на рисунках будем указывать истинное направление реакций опор.

Балка состоит из трех участков.

I участок (рис.5.2) рассматриваем слева:

 - наклонная прямая;

при  кН;

при  кН.

 - парабола;

при ;

при  кН∙м.

На II участке (рис. 5.3) рассматриваем левую отсеченную часть балки:

 - наклонная прямая;

при  кН;

при  кН.

 - парабола;

при  кН∙м;

при

 кН∙м.

На III участке (рис. 5.4) рассматриваем правую отсеченную часть балки:

 (const) - прямая, параллельная базовой;

 кН.

 - наклонная прямая;

при  кН∙м;

при  кН∙м.

На рис. 5.5 изображены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

5.2 Нахождение размера сечения балки

Балка в поперечном сечении представляет собой сдвоенный швеллер. Момент сопротивления, приходящийся на один швеллер, определим из условия прочности по нормальным напряжениям:

;,

Откуда

,

где  - допускаемое нормальное напряжение,   МПа ([1], с.45);

 - максимальный изгибающий момент (из эпюры:  кН∙м).

 м3  см3.

По таблице сортаментов ([3], с.344, табл. 2) определим номер швеллера, имеющего  см3. Данному условию соответствует швеллер № 24а  ( см3).

Проверим перенапряжение балки:

.

 Па  МПа.

Перенапряжение равно 0 % < 5 %, следовательно, допустимо.

.3 Проверка сечения по касательным напряжениям

Проверим сечение выбранного профиля по касательным напряжениям. Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:

;,

где - допускаемое касательное напряжение,  МПа;

 - максимальная поперечная сила (из эпюры:  кН);

 - статический момент части сечения, заключенной между нейтральным уровнем и краем сечения;

s - ширина профиля на нейтральном уровне;

 - момент инерции сечения относительно нейтральной оси.

По сортаменту для швеллера № 24а ([3], с.344, табл. 2):

 см3; мм; см4.

Для сдвоенного швеллера:

 см3; мм; см4.

 Па  МПа;

,6 МПа < 96 МПа, следовательно, условие прочности выполняется.

.4 Построение эпюр напряжений

Эпюры нормальных и касательных напряжений при  для рассматриваемой балки построены на рис.5.6.

Знаки  на эпюре нормальных напряжений поставлены в соответствии с изгибом балки при M < 0 (верхние слои растягиваются, нижние сжимаются).

Для нахождения значения изгибающего момента в сечении К необходимо в уравнение M на II участке подставить  м:

 кН∙м.

Максимальное нормальное напряжение в сечении К:

 Па  МПа.

Знак на эпюре касательных напряжений зависит от знака поперечной силы в сечении K.

Для нахождения значения поперечной силы в сечении К необходимо в уравнение Q на II участке подставить  м:

 кН.

Максимальное касательное напряжение в сечении К:

 МПа.

Касательное напряжение на уровне полки:

,

гдеh - высота швеллера (по сортаменту  мм);- высота полки (по сортаменту  мм);- ширина швеллера (по сортаменту  мм).

 Па  МПа.

.5 Определение прогиба

Чтобы определить прогиб балки в заданном сечении (точка C), воспользуемся универсальным уравнением прогибов:

,

где EI - жесткость при изгибе; , bi, ci - расстояния от начала координат до места приложения моментов, сосредоточенных сил, начала распределенной нагрузки соответственно.

Начало координат установим в точке A. Так как распределенная нагрузка не доходит до конца балки, продлим ее, приложив компенсирующую нагрузку.

Универсальное уравнение прогибов для данной балки:

,

где МПа - модуль Юнга для стали ([1], с.46);

 см4 - собственный момент инерции сечения балки.

Так как начало координат расположено в шарнирной опоре, то прогиб в этой точке равен нулю:

.

Чтобы определить неизвестный начальный угол поворота , напишем уравнение прогиба в точке D:

.

Прогиб в точке D равен нулю, так как в этой точке располагается шарнирная опора:

;

 Па∙м4.

 Па∙м5.

Прогиб балки в точке С:

 м  см.

Балка прогнулась вниз на 8,2 см.

6. Проектный расчет вала при совместном действии кручения и изгиба

Определить диаметр вала, загруженного по данным табл. 6.1.

Расчетная схема вала изображена на рис. 6.1.

Таблица 6.1

Кроме известных окружных усилий, на зубчатые колеса будут действовать радиальные усилия:

 Н;

 Н;

 Н;

и осевые усилия (на косозубых колесах):

 Н;

 Н.

Расчетную схему вала с пространственным расположением сил заменим отдельными схемами, в которых силы располагаются в одной плоскости. На рис. 6.2 представлена схема вала с усилиями, действующими в вертикальной плоскости. М1 и М2 - моменты от осевых усилий  и :

 Н∙м;

 Н∙м.

Для построения эпюры изгибающих моментов, необходимо определить реакции опор:

;

 Н;

 Н.

Проверка: ;

;

, следовательно, реакции опор определены верно. Направление реакции RE показано на рис. 6.2 с учетом полученного знака.

Составляем уравнения изгибающих моментов для каждого участка балки:

(1-й слева);

при  Н∙м;

при  Н∙м;

(2-й слева);

при  Н∙м;

при  

 Н∙м;

(1-й справа)

при ;

при  Н∙м;

(2-й справа)

при  Н∙м;

при  Н∙м.

По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов в вертикальной плоскости (рис. 6.2).

Окружные усилия зубчатых колес вызывают изгиб вала в горизонтальной плоскости. Расчетная схема представлена на рис. 6.3.

Определяем реакции опор:

;

 Н;

 Н.

Проверка: ;

;

, следовательно реакции опор определены верно.

Уравнения изгибающих моментов в горизонтальной плоскости:

(1-й слева);

при ;

при  Н∙м;

(2-й слева);

при  Н∙м;

при  

Н∙м;

(1-й справа)

при ;

при  Н∙м;

(2-й справа)

при  Н∙м;

при  Н∙м.

По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов в горизонтальной плоскости (рис. 6.3).

Расчетная схема кручения вала представлена на рис. 6.4.

Внешние крутящие моменты:

 Н∙м;

 Н∙м;

 Н∙м.

Уравнения крутящих моментов для участков вала:

 Н∙м;

 Н∙м;

Эпюра MK приведена на рис. 6.4.

Суммарный изгибающий момент  для каждого сечения вала вычисляется по формуле:

;

 Н∙м;

 Н∙м;

 Н∙м;

 Н∙м;

 Н∙м.

Построенная по полученным значениям эпюра суммарных изгибающих моментов приведена на сводном рис.6.5.

По эпюрам  и  устанавливаем положение опасного сечения вала:

 Н∙м;

 Н∙м.

Наиболее опасным является сечение Е, находящееся на правой опоре вала.

Условие прочности для вала:

.

Пусть вал изготовлен из стали 25ХГТ, для которой  МПа ([1], с.51). Примем . Тогда допускаемое напряжение для материала вала:

 МПа.

Эквивалентное напряжение найдем по III теории прочности:

,

где Н∙м;

.

Условие прочности примет вид:

;;

 м мм;

 мм.

Полученное значение d округляем до ближайшего стандартного значения по ГОСТ 6636-69 ([1], с.48), которое должно быть кратным 5, так как опасное сечение находится под подшипником.

Принимаем  мм.

Список использованной литературы

Курносова, И.А. Расчетно-графические задания по прикладной механике: Учеб. пособие / И.А. Курносова. - Мурманск: Изд-во МГТУ, 2002. - 54 с.

Марочник сталей и сплавов / В.Г. Сорокин, А.В. Волосникова, С.А. Вяткин и др. - М.: Машиностроение, 1989. - 640 с.

Степин, П.А. Сопротивление материалов: Учеб. для немашиностроит. спец. вузов. - П.: Интеграл, 2006 - 367 с.

1.