Типовые звенья
ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Любая САР может быть представлена в виде
комбинации (последовательного или параллельного соединения) типовых звеньев. К
числу типовых звеньев, из которых состоят линейные САР, относятся следующие
звенья с ПФ:
. Усилительное звено
. Интегрирующее звено
. Дифференцирующее звено
. Апериодическое звено
. Форсирующее звено 1-го порядка
6. Колебательное звено
, 
. Форсирующее звено 2-го порядка
. Звено чистого запаздывания
Усилительное звено (усилитель)
- коэффициент передачи
Дифференциальное уравнение
Рис. 1
.
Переходная функция (см. рисунок)
.
Весовая функция (см. рисунок)
.
Частотная характеристика
.
Рис. 2
АЧХ
.
ФЧХ и ЛФЧХ
.
ЛАЧХ
.
Область 1 - при 
Область 2 - при 
Область 3 - при 
Интегрирующее звено (интегратор)
- коэффициент передачи; 
-
постоянная времени.
Дифференциальное уравнение
.
Рис. 3
Переходная функция (см. рисунок)
.
Весовая функция (см. рисунок)
.
Применительно к нашей специальности
для интегратора чаще используется понятие постоянной времени 
.
При наличии на входе интегратора
постоянного сигнала, отличного от нуля, сигнал на его выходе изменяется по
линейному закону, при равенстве сигнала на входе нулю сигнал на выходе
интегратора стабилизируется и в общем случае отличен от нуля.
Частотная характеристика
.
АЧХ
.
ФЧХ
.
Таким образом, в интеграторе
выходной сигнал отстает от входного по фазе на p/2, независимо от частоты w.
ЛАЧХ
.
ЛФЧХ
.
Построение ЛАЧХ производим по
характерным точкам (см. рисунок):
при w=1 L(w)=
-20 lg T = 20 lg 1/T = 20 lg k.
при w=1/T L(w)=0.
Наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек соответствует
наклону АЧХ -1, поэтому его часто так и обозначают.
Как уже отмечалось, ЛФЧХ не зависит
от частоты и представляет собой прямую на уровне -p/2.
Рис. 4
При 
, как следует из АЧХ и ЛАЧХ,
коэффициент передачи интегратора по амплитуде стремится к бесконечности; и
напротив, при увеличении частоты коэффициент передачи по амплитуде уменьшается.
Это означает, что интегратор не пропускает на выход высокие частоты, являясь
фильтром низких частот.
Дифференцирующее звено
(дифференциатор)
- постоянная времени
Дифференциальное уравнение
.
Рис. 5
Переходная функция (см. рисунок)
.
Весовая функция (см. рисунок)
.
Частотная характеристика
.
АЧХ
.
ФЧХ
.
Таким образом, в дифференциаторе
выходной сигнал опережает входной по фазе на p/2, независимо от частоты w.
ЛАЧХ
.
ЛФЧХ
.
Аналогично тому, как это было
сделано для интегратора, можно показать, что ЛАЧХ дифференцирующего звена
представляет собой прямую с наклоном +20 дБ/дек (+1), которая будет пересекать
ось частот при 
(см.
рисунок).
Рис. 6
Из ЛАЧХ видно, что с ростом w
увеличивается коэффициент передачи дифференциатора по амплитуде. Таким образом,
данное звено является помехонеустойчивым в том смысле, что оно подчеркивает
высокочастотные помехи (наиболее частые на практике): даже при малой входной
амплитуде высокочастотного сигнала на выходе можно наблюдать значительную
высокочастотную составляющую.
Примечание. ПФ дифференцирующего
звена является обратной по отношению к передаточной функции интегрирующего
звена. Кроме того (точнее, следовательно), ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференциатора являются
зеркальными отображениями соответствующих характеристик интегратора
относительно оси частот. На основании этого можно сделать более широкий вывод:
логарифмические частотные характеристики любого звена с ПФ 
являются
обратными соответствующим характеристикам звена с ПФ 
, то есть,
являются их зеркальными отображениями относительно оси частот w.
Апериодическое звено (инерционное)
- коэффициент передачи; -
постоянная времени
Дифференциальное уравнение
.
Найдем сначала импульсную переходную
функцию, зная ее связь с ПФ и используя теорему разложения. ПФ содержит один полюс
,
следовательно,
, 
.
Переходная функция (см. рисунок)
.
Рис. 7
Используя выражение для переходной
функции, можно определить:
h(T) = 0,632 k = 0,632 hуст(2T) = 0,865 hуст(3T)
= 0,950 hуст(4T) = 0,982 hуст
Таким образом, переходный процесс
практически закончится при 
. Постоянная времени T является
мерою инерционности апериодического звена. Чем меньше значение Т, тем быстрее
протекает переходный процесс.
Частотная характеристика
.
АЧХ
.
ФЧХ
.
Таким образом, в апериодическом
звене фазовый сдвиг зависит от частоты, причем максимальный фазовый сдвиг будет
равен -p/2 при w®¥.
ЛАЧХ
.
ЛФЧХ
.
Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
усилительного, интегрирующего и дифференциального звеньев являются прямыми
линиями, и легко могут быть построены. Построение ЛЧХ апериодического и
остальных звеньев требует вычислений, которые без использования ЭВМ достаточно
трудоемки. Поэтому в большинстве случаев на практике ограничиваются построением
приближенных асимптотических ЛЧХ, на основании которых уже могут быть сделаны
все основные выводы о динамических свойствах звена.
Рассмотрим алгоритм построения асимптотических
ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена.
Асимптотическая ЛАЧХ. При малых
частотах 
второе
слагаемое под радикалом 
, и им можно
пренебречь; тогда 
. При
больших частотах 
под
радикалом можно пренебречь единицей по сравнению с 
, и тогда 
. Таким
образом, асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух отрезков, пересекающихся на оси
частот в точке, соответствующей частоте 
, называемой частотой сопряжения
(см. рисунок). Реальная ЛАЧХ апериодического звена (показана пунктиром) имеет
максимальное отличие от асимптотической (3 дБ) при частоте сопряжения.
Асимптотическая ЛФЧХ. При частоте
сопряжения 
. При малых 
, а при
больших 
. На
практике при частотах, близких к частоте сопряжения (±1 декада) ЛФЧХ может без
большой погрешности заменена линейной зависимостью, проходящей через точку 
(см.
рисунок).
Форсирующее звено 1-го порядка
- постоянная времени
Из эквивалентной схемы видно, что это звено
подает на выход входной сигнал и его производную.
Дифференциальное уравнение
.
Рис. 9
Переходная функция (см. рисунок)
.
Весовая функция:
.
Частотная характеристика
.
АЧХ
.
ФЧХ
.
Как и дифференцирующее звено, форсирующее звено
1-го порядка является помехонеустойчивым, поскольку усиливает высокочастотные
составляющие входного сигнала.
ЛАЧХ
.
ЛФЧХ
.
Рис. 10
Поскольку ПФ форсирующего звена 1-го порядка
обратна ПФ апериодического звена (при k=1), то ЛЧХ форсирующего звена являются
зеркальным отображением относительно оси частот соответствующих характеристик
апериодического звена при k=1 (см. рисунок).
Колебательное звено
- коэффициент передачи; -
постоянная времени
Иногда используют другую форму
записи ПФ колебательного звена:
,
где 0<x<1 - коэффициент
демпфирования;
- угловая частота колебательного
звена;
a,
b - модули
действительной и мнимой частей полюсов ПФ колебательного звена.
Доказательство. Корни уравнения 
равны
, поскольку 
.
Для определения коэффициентов a, b приравняем знаменатели
первого и последнего выражений для ПФ:
.
Приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях p, можно найти:
; 
; 
.
Дифференциальное уравнение:
.
Выражения для переходной и весовой
функций могут быть выведены с помощью обратного преобразования Лапласа с
использованием теоремы разложения при комплексных корнях (примите без
доказательства).
Вывод выражения для переходной
функции:
.
Вывод выражения для весовой функции:
.
Переходная функция (см. рисунок)
,
Рис. 11
где 
.
Весовая функция (см. рисунок)
.
уст = k
Значение времени первого
согласования tc можно узнать, если в выражении для переходной функции
приравнять синус нулю, тогда 
, отсюда
.
Время tm достижения максимального
значения можно узнать, приравняв значение весовой функции нулю:
.
Равенство нулю весовой функции будет
иметь место также для всех 
, где - положительное целое число (см.
рисунок).
Подставив tm в выражение для
переходной функции, определим максимальное значение выходной переменной в переходном
режиме:
,
где 
.
Наконец, перерегулирование
.
Известны соответствующие графики
зависимостей [3] 
и 
:
Рис. 12 Рис.
13
Частотная характеристика:
.
АЧХ
.
ФЧХ
.
ЛАЧХ
.
ЛФЧХ
.
Асимптотическая ЛАЧХ. При малых
частотах можно
пренебречь составляющей , тогда . При
больших частотах под
радикалом можно пренебречь единицей по сравнению с , и тогда
.
Таким образом, асимптотическая ЛАЧХ
колебательного звена состоит из двух отрезков, пересекающихся на оси частот в
точке, соответствующей частоте сопряжения (см. рисунок). Реальная ЛАЧХ
достаточна близка к асимптотической (погрешность на частоте сопряжения не
превышает 6 дБ) при x=0,2…1,0. В
остальных случаях (когда x£0,2) следует
воспользоваться либо кривыми поправок [1], либо точным математическим
выражением для ЛАЧХ.
Асимптотическая ЛФЧХ. При частоте
сопряжения 
. При малых , а при
больших 
. Но
асимптотическая ЛФЧХ совпадает с реальной только при 
(см.
рисунок), в остальных случаях различие существенное, поэтому следует
пользоваться ее математическим выражением.
Рис. 14 Рис.
15
Определение параметров колебательного звена.
Иногда форма записи ПФ колебательного звена
может отличаться от стандартных. Возникает вопрос определения параметров Т и x
колебательного звена.
Например, ПФ двигателя постоянного тока по
управляющему воздействию имеет вид:
.
Здесь 
и 
. Отсюда
.
Если оказывается, что , имеем
колебательное звено. В противном случае (
) корни знаменателя ПФ становятся
действительными, тогда звено представляет собой последовательное соединение
двух апериодических звеньев.
Таким образом, значение 
говорит о
том, какой характер переходного процесса будет иметь место на выходе звена.
Применительно к двигателю постоянного тока , когда 
, и будет
иметь место колебательный (с перерегулированием) процесс при скачкообразном
приложении управляющего воздействия. В противном случае 
переходный
процесс будет апериодическим (с дотягиванием).
Форсирующее звено 2-го порядка
- постоянная времени
Имеет ПФ, обратную ПФ колебательного
звена при , 
. Поэтому
здесь вкратце приведем основные математические зависимости.
Дифференциальное уравнение:
.
Частотная характеристика:
.
АЧХ
.
ФЧХ
.
ЛАЧХ
.
звено интегратор
линейный система
ЛФЧХ
.
Звено чистого (транспортного)
запаздывания
Некоторые ОУ могут обладать
запаздыванием (например, трубопроводы, длинные линии, транспортеры). Запаздывание
проявляется в том, что при изменении входного воздействия выходная переменная
начинает изменяться не сразу, а спустя некоторый промежуток времени t, называемый временем чистого
или транспортного запаздывания.
.
Рис. 16
Переходная функция (см. рисунок)
Весовая функция (см. рисунок)
Частотная характеристика:
АЧХ
ФЧХ
.
ЛАЧХ
.
ЛФЧХ
.
Построение логарифмических частотных характеристик
произвольной совокупности типовых звеньев
Пусть имеется произвольное последовательное
соединение n типовых звеньев с результирующей ПФ
(1)
По определению ЛАЧХ и ЛФЧХ
вычисляются следующим образом:
;
.
Таким образом, для построения ЛАЧХ
или ЛФЧХ последовательного соединения звеньев следует построить соответствующие
характеристики каждого звена, и затем геометрически их сложить.
Передаточную функцию (1)
совокупности звеньев целесообразно представить в более развернутом виде:
, (2)
где 
- нормированная ПФ - отношение
произведений ПФ элементарных звеньев 1-го и 2-го порядков (т.е., вида 
и 
при 
) с
единичным передаточным коэффициентом (
);
- результирующий коэффициент
передачи (усиления);
- порядок астатизма ПФ (так наз.
апериодической нейтральности), численно равный количеству последовательно
соединенных интеграторов в предположении, что чистые дифференцирующие звенья
отсутствуют.
Пример. Построить асимптотические
ЛАЧХ и ЛФЧХ звена с ПФ
,
где значение коэффициента усиления и
постоянных времени известны, и известно, что 
.
Если рассматривать эту ПФ в виде
(2), то
; 
; 
.
Очевидно, имеем последовательное
соединение четырех типовых звеньев: интегратор с ПФ 
;
форсирующее звено 1-го порядка с ПФ
;
апериодическое звено с ПФ
;
колебательное звено с ПФ
(
).
Строим асимптотические ЛАЧХ каждого
из звеньев (пунктирные линии) и их геометрическую сумму (сплошная линия), которая
и является результирующей ЛАЧХ. Аналогично поступаем с ЛФЧХ.
Рис. 17
После анализа ЛАЧХ можно предложить следующее
правило:
1) Пользуясь представлением (2)
передаточной функции, вычисляют все частоты сопряжения 
(i = 1, 2,
…), которые нумеруют в порядке возрастания и откладывают на оси частот;
) Предварительную ЛАЧХ начинают
строить от области низких частот, проводя прямую под наклоном -
20 дБ/дек (
) так, чтобы
она (или ее продолжение) пересекала ось частот при частоте 
. (Эта ЛАЧХ
будет пересекать ось ординат в точке 
).
Именно такой вид будет иметь ЛАЧХ
совокупности последовательно
соединенных интеграторов, соответствующая первому множителю ПФ вида (2).
) Низкочастотная ЛАЧХ будет
претерпевать изломы только при частотах сопряжения 
, причем
наклон будет изменяться на 20 дБ/дек (+1), если 
-м звеном оказывается форсирующее
звено 1-го порядка, на -20 дБ/дек (-1) - если апериодическое звено, на +40
дБ/дек (+2) - если форсирующее звено 2-го порядка, на -40 дБ/дек (-2) - если
колебательное звено.
Что касается ЛФЧХ, то следует
построить ЛФЧХ отдельных звеньев, и затем геометрически их просуммировать.
Примечание. В случае наличия
последовательно соединенного звена чистого запаздывания ЛАЧХ соединения
остается без изменения, однако это звено окажет влияние на фазовый сдвиг.
Пример. Пользуясь правилом,
построить ЛАЧХ соединения звеньев с ПФ:
Очевидно, что здесь 
, 
, 
.
Тогда 
, 
. Проводим прямую под наклоном -2
(-40 дБ/дек), которая будет пересекать ось частот в точке 
. При 
ЛАЧХ
изменит наклон на -1, поскольку 
соответствует частоте сопряжения
апериодического звена. Следовательно, при 
ЛАЧХ будет иметь наклон -3
(-2-1=-3).
Рис. 18