Оценка качества процесса управления в автоматической системе
Задание
Рисунок 1 - Система регулирования
= 12; T1=0,15c; T2=0,02c;
Х0(t) = 1(t); f(t) = 0,1×1(t).
1. Записать передаточную
функцию замкнутой системы по ошибке по ошибке 
;
. Проверить систему на
устойчивость, используя критерий Михайлова;
. Оценить показатели качества
процесса управления в установившемся режиме;
. Оценить показатели качества
процесса управления в переходном режиме;
. Сделать выводы о качестве
процесса управления, предложить пути повышения качества процесса управления.
Решение
логарифмический амплитудный автоматический устойчивость
1. Запишем передаточную функцию замкнутой
системы по ошибке
Для этого представим исходную систему в виде,
приведенном на рис.2.
Рисунок 2 - Упрощенная схема системы
регулирования
;
.
где 
=
;
=
- характеристический полином замкнутой
системы.
Анализируя полученные результаты,
можно сказать, что система обладает астатизмом нулевого порядка по задающему
воздействию.
. Проверим систему на устойчивость,
используя критерий Михайлова
Для исследования используем
характеристический полином замкнутой системы , принимая 
.
,
где 
- мнимая единица;
- частота, с-1;
.
Задаваясь значениями в пределе
от 0 до ∞, рассчитаем значения. Результаты расчета приведены в табл. 1.
По полученным данным построим годограф Михайлова (рис. 3).
Таблица 1 - Результаты расчета
годографа Михайлова
|
ω,
с-1
|
U(ω)
|
V(ω)
|
ω,
с-1
|
U(ω)
|
V(ω)
|
ω,
с-1
|
U(ω)
|
V(ω)
|
|
0
|
13,000
|
0,000
|
0,4
|
12,995
|
0,128
|
8
|
11,176
|
2,330
|
|
0,01
|
13,000
|
0,003
|
0,5
|
12,993
|
0,160
|
9
|
10,692
|
2,552
|
|
0,02
|
13,000
|
0,006
|
0,6
|
12,990
|
0,192
|
10
|
10,150
|
|
0,03
|
13,000
|
0,010
|
0,7
|
12,986
|
0,224
|
20
|
1,600
|
2,800
|
|
0,04
|
13,000
|
0,013
|
0,8
|
12,982
|
0,256
|
30
|
-12,65
|
-2,550
|
|
0,05
|
13,000
|
0,016
|
0,9
|
12,977
|
0,288
|
40
|
-32,60
|
-16,00
|
|
0,06
|
13,000
|
0,019
|
1
|
12,972
|
0,320
|
50
|
-58,25
|
-40,25
|
|
0,07
|
13,000
|
0,022
|
2
|
12,886
|
0,636
|
60
|
-89,60
|
-78,00
|
|
0,08
|
13,000
|
0,026
|
3
|
12,744
|
0,948
|
70
|
-126,7
|
-131,9
|
|
0,09
|
13,000
|
0,029
|
4
|
12,544
|
1,251
|
80
|
-169,4
|
-204,8
|
|
0,1
|
13,000
|
0,032
|
5
|
12,288
|
1,544
|
90
|
-299,3
|
|
0,2
|
12,999
|
0,064
|
6
|
11,974
|
1,823
|
100
|
-272,0
|
-418,0
|
|
0,3
|
12,997
|
0,096
|
7
|
11,604
|
2,086
|
∞
|
-∞
|
-∞
|
Рисунок 3 - Годограф Михайлова
В соответствии с критерием Михайлова,
автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением n-го порядка
устойчива, если характеристический вектор системы при изменении ω
от 0 до ∞ повернется против часовой стрелки на угол nπ/2,
не
обращаясь при этом в 0. Это означает, что характеристическая кривая устойчивой
системы начинаясь на вещественной оси при изменении частоты ω
от
0 до ∞ должна последовательно пройти n квадрантов.
Поскольку характеристическое уравнение имеет
порядок n=3, а годограф Михайлова, начинаясь на вещественной оси проходит
последовательно три квадранта, то система устойчива. Поскольку
характеристическая кривая не проходит через начало координат, то система обладает
запасом устойчивости.
Определим запасы устойчивости системы по модулю
и фазе используя ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.
Для построения характеристик запишем
передаточную функцию разомкнутой системы
.
Принимая , получим
.
Запишем уравнение АЧХ разомкнутой
системы
.
Тогда уравнение ЛАЧХ и ЛФЧХ будут
иметь вид
;
Задаваясь значениями частоты в
пределах от 0 до ∞, рассчитаем присоединены величины. Результаты расчета
сведем в табл. 2. Построим графики ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 4).
Анализируя полученные данные,
определим запас устойчивости по модулю 
4,5дБ и по фазе 
110.
Таблица 2 - Результаты расчёта ЛАЧХ
и ЛФЧХ
|
ω
|
А(ω)
|
L(ω)
|
j( ω)
|
ω
|
А(ω)
|
L(ω)
|
j( ω)
|
|
0
|
12
|
21,58362
|
0
|
6
|
6,582609
|
16,36796
|
-90,8172
|
|
0,01
|
11,99997
|
21,58361
|
-0,18335
|
7
|
5,652367
|
15,04461
|
-100,764
|
|
0,02
|
11,99989
|
21,58355
|
-0,36669
|
8
|
4,856265
|
13,72605
|
-109,479
|
11,99975
|
21,58345
|
-0,55004
|
9
|
4,184305
|
12,43247
|
-117,146
|
|
0,04
|
11,99956
|
21,58331
|
-0,73338
|
10
|
3,620606
|
11,17562
|
-123,93
|
|
0,05
|
11,99932
|
21,58313
|
-0,91672
|
20
|
1,114172
|
0,939045
|
-164,932
|
|
0,06
|
11,99902
|
21,58292
|
-1,10005
|
30
|
0,484231
|
-6,29894
|
-185,906
|
|
0,07
|
11,99867
|
21,58266
|
-1,28338
|
40
|
0,253255
|
-11,9288
|
-199,735
|
|
0,08
|
11,99826
|
21,58236
|
-1,46671
|
50
|
0,148215
|
-16,5822
|
-209,811
|
|
0,09
|
11,99779
|
21,58203
|
-1,65002
|
60
|
0,093686
|
-20,5666
|
-217,514
|
|
0,1
|
11,99728
|
21,58165
|
-1,83334
|
70
|
0,062695
|
-24,0553
|
-223,582
|
|
0,2
|
11,98911
|
21,57574
|
-3,6659
|
80
|
0,043862
|
-27,1582
|
|
0,3
|
11,97553
|
21,5659
|
-5,49691
|
90
|
0,031802
|
-29,9509
|
-232,473
|
|
0,4
|
11,95657
|
21,55213
|
-7,32562
|
100
|
0,023746
|
-32,4882
|
-235,807
|
|
0,5
|
11,93228
|
21,53447
|
-9,15125
|
200
|
0,00323
|
-49,8154
|
-252,145
|
|
0,6
|
11,90272
|
21,51293
|
-10,973
|
300
|
0,000974
|
-60,2312
|
-257,992
|
|
0,7
|
11,86798
|
21,48754
|
-12,7903
|
400
|
0,000413
|
-67,674
|
-260,965
|
|
0,8
|
11,82814
|
21,45833
|
-14,6022
|
500
|
0,000212
|
-73,4636
|
-262,762
|
|
1
|
11,73359
|
21,38862
|
-18,2073
|
700
|
7,75E-05
|
-82,2094
|
-264,823
|
|
2
|
11,00038
|
20,82815
|
-35,6891
|
800
|
5,20E-05
|
-85,6836
|
-265,469
|
|
3
|
9,961296
|
19,96632
|
-51,8891
|
900
|
3,65E-05
|
-265,971
|
|
4
|
8,795429
|
18,88514
|
-66,5014
|
1000
|
2,66E-05
|
-91,4919
|
-266,374
|
|
5
|
7,641886
|
17,66401
|
-79,4504
|
∞
|
0
|
-∞
|
-270
|
Рисунок 4 -Логарифмические амплитудно-частотная
(ЛАЧХ) и фазочастотная(ЛФЧХ) характеристики
. Оценим показатели качества процесса управления
в установившемся режиме
Установившийся режим - это такой
режим, при котором ошибка системы постоянна во времени. Показателем качества
управления в установившемся режиме является точность системы, которая
определяется величиной установившейся ошибки 
.
Поскольку САР находится под влиянием
как задающего, так и возмущающего воздействий, то в ней возникает суммарная
ошибка
Поскольку на систему подается
задающее и возмущающее воздействие вида Х0(t) = 1(t) и f(t) = 0,1×1(t)
соответственно, то установившуюся ошибку можно найти по формуле:
где 
- коэффициент ошибки по задающему
воздействию.;
- коэффициент ошибки по возмущающему
воздействию;
- передаточная функция по
возмущающему воздействию.
Тогда
.
4. Оценим показатели качества
процесса управления в переходном режиме
Для оценки воспользуемся методом
прямой оценки показателей качества путем математического моделирования в среде
Matlab Simulink. Математическая модель представлена на рис. 5, а результаты
моделирования- на рис. 6.
Рисунок 5 - Математическая модель в
среде Matlab Simulink.
Анализируя полученные данные,
определим показатели качества процесса управления в переходом режиме.
Время регулирования -:tp≈1.64c;
Максимальное перерегулирование:
Рисунок 6 - Результаты моделирования
Количество полных колебаний: n= 6.
Проанализировав полученные в
результате расчётов данные, можно сказать, что исходная система в замкнутом
состоянии устойчива, но имеет малые запасы устойчивости как по модулю (4,5дБ) так и
по фазе ( 110).
В установившемся режиме система характеризуется удовлетворительными
показателями качества: статическая ошибка 
, коэффициент статизма 
.
В переходном режиме система имеет
неудовлетворительные показатели качества- высокая колебательность и
перерегулирование (
).
Таким образом, система имеет
неудовлетворительные показатели качества процесса управления и не может быть
использована практически.
Для улучшения показателей качества
целесообразно использовать корректирующие цепи. Наиболее простыми в
практической реализации являются последовательные корректирующие устройства.
Для улучшения показателей качества
переходного режима целесообразно использовать корректирующие устройства,
реализующие пропорционально-дифференциальный закон управления, что позволит
снизить до допустимых значений перерегулирование и колебательность системы и
уменьшить время переходного процесса.
Для улучшения показателей качества в
установившемся режиме целесообразно использовать интегральный закон управления,
что позволит придать системе астатизм первого порядка.
Перечень
использованной литературы
1. Лукас
В.А. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов.-2-е изд, перераб. и
доп.- М.: Недра, 1990-416с.
. Теория
автоматического управления /Под ред. Нетушила А.В. - М.: Высш. шк., 1976.-400с.
. Теорія
автоматичного керування: Практикум-4.2/ Укл. М.М. Сергієнко.- Алчевськ: ДонДТУ,
2005-79с.