Комплекс расчетов линейной и нелинейной систем управления

Комплекс расчетов линейной и нелинейной систем управления

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

Комплекс расчетов линейной и нелинейной систем управления

1. Оценка точности в установившемся режиме

Для оценки точности системы в установившемся режиме по каналу «z-x» при ступенчатом воздействии z(t)=a₁t=7 запишем передаточную функцию для этого канала:

После подстановки передаточных функций каждого элемента в формулу, получим:

По теореме Лапласа о конечном значении оригинала, для сигнала ошибки по каналу «z-x»:

устойчивость линейный управление

где Z(p)=a₁/p² - изображение по Лапласу возмущающего воздействия z(t)=a₁t.

Учитывая эти формулы, запишем выражение для сигнала ошибки:

После упрощения выражения и взятия предела получим выражение:

Так как полученное в результате расчета значение сигнала ошибки (е_z ≈ 47) больше заданного значения, значит точность системы при заданном значении передаточного коэффициента управляющего устройства k_у неудовлетворительна. Вычислим значение k_у, при котором точность системы будет соответствовать заданной.

При введении нового коэффициента k_у ≈ 0,4, достигается заданная точность системы.

2. Проверка устойчивости исходной системы

Для оценки устойчивости замкнутой системы по критерию устойчивости Найквиста запишем передаточную функцию разомкнутого контура системы W_рк(р):

Сделаем в выражении подстановку р = jщ

где k_рк - коэффициент пропорциональности разомкнутого контура;

k_рк = k_п k_у k_уэ k_и k_о ≈ 0,5.

Представим W_рк(jщ) через амплитудно-частотную А(щ) и фазо-частотную ц(щ) функции:

Подставим в формулы полученных функций численные значения передаточных коэффициентов и постоянных времени:

Для построения графика амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) подставим ряд значений щ от нуля до бесконечности в функции A(щ) и ц(щ). Результаты расчетов показаны в таблице 1.

Таблица 1 - данные для построения АФЧХ разомкнутого контура

В соответствии с табличными значениями строим график АФЧХ. График представлен на рисунке 2.

На основании анализа рисунка 2 делаем вывод, что кривая графика АФЧХ не охватывает точку с координатами (-1; j0), поэтому, в соответствии с основной формулировкой критерия устойчивости Найквиста (замкнутая система управления устойчива, если АФЧХ разомкнутого контура не охватывает точку с координатами (-1; j0)), рассматриваемая система устойчива.

. Расчет корректирующего устройства

Для расчета встречно-параллельного корректирующего устройства запишем передаточную функцию звеньев, не охваченных внутренней корректирующей обратной связью:

Построим ЛАХЧ элементов, не охваченных внутренней корректирующей обратной связью. Для этого произведем необходимые вычисления. Так как k_рк = 0,5, значит 20lg(k_рк) ≈ - 6.

График ЛАЧХ звеньев, не охваченных внутренней обратной связью L_но(щ) представлен на рисунке 3.

Построим график ЛАЧХ скорректированной системы L_ск(щ) по заданным показателям качества замкнутой системы в переходном режиме, рассчитав параметры среднечастотного участка ЛАЧХ системы.

Среднечастотный участок ЛАЧХ скорректированной системы L_ск(щ) на рисунке 3 прошел выше ЛАЧХ звеньев, не охваченных внутренней корректирующей обратной связью L_но(щ). Переместим график L_но(щ) вверх до пересечения со среднечастотным участком ЛАЧХ скорректированной системы, кроме того для упрощения расчетов изменим значение щ_ср до щ_ср = 1,16 с^-1, что на 3% больше расчетного значения.

В соответствии с этим пересчитаем значения щ₂ и щ₃.

а также снимем с графика на рисунке 3 новое значение k_рк. Так как 20lg(k_рк) ≈ 22; k_рк ≈ 10^1,1 ≈ 12,6.

ЛАЧХ скорректированной системы L_ск(щ) показана на рисунке 3.

Вычтем из ЛАЧХ звеньев, не охваченных внутренней обратной связью, ЛАЧХ скорректированной системы:

При этом получим ЛАЧХ звена обратной связи L_ос(щ).

По виду ЛАЧХ звена обратной связи выбираем его принципиальную схему. Так как ЛАЧХ корректирующего устройства с увеличением частоты щ имеет тенденцию к уменьшению амплитуды до частоты щ₃, то для его технической реализации выбираем две последовательно включенные пассивные интегро-дифференцирующие RC-цепи с преобладанием интегрирования, разделенные усилителем с k_доп=1, выполняющим функцию разделения цепей.

Запишем передаточную функцию звена внутренней обратной связи:

где Т₃ = 1/щ₃ = 1/1,9 ≈ 0,5 с.

Для расчета параметров элементов корректирующего устройства зададим численные значения следующим параметрам: для первой цепи R₂ = 1Мом, для второй цепи R₄ = 1Мом. Рассчитаем остальные параметры:

для первой цепи

для второй цепи

Запишем передаточную функцию замкнутой скорректированной системы:

Вычислим фазовый сдвиг скорректированной системы на частоте среза щ_ср:

Вычислим запас по фазе Дц замкнутой скорректированной системы:

Определим запас устойчивости замкнутой системы по амплитуде ДL. Для этого найдем частоту щ_р, при которой фазовый сдвиг системы будет равен - (180±1)^о.

Методом последовательных приближений найдем частоту щ_р с учетом того, что щ_р> щ_ср; щ_р ≈ 2 с^-1. Отложив щ_р на графике ЛАЧХ скорректированной системы L_ск(щ) определим запас устойчивости замкнутой скорректированной системы по амплитуде. ДL ≈ 6,5 дБ.

. Построение области устойчивости скорректированной системы в плоскости параметров k_рк и Т_и

Для построения области устойчивости запишем характеристическое уравнение замкнутого контура скорректированной системы:

Так как в уравнении отсутствует постоянная времени Т_и, строим область устойчивости в плоскости одного параметра. Преобразуем числитель выражения, сгруппируем подобные члены и подставим числовое значение Т₃ = 0,5 с:

Сделаем в уравнении подстановку p=jщ, получим:

Выделим действительную Р(щ) и мнимую Q(щ) составляющие характеристического уравнения и решим уравнение относительно k_рк:

Отсюда действительная Р(щ) и мнимая Q(щ) составляющие характеристического уравнения будут равны соответственно:

Вычислим Р(щ) и Q(щ) при изменении частоты щ от нуля до бесконечности и результаты вычислений сведем в таблицу 2.

Таблица 2 - Граница устойчивости системы в плоскости параметра k_рк

На рисунке показана кривая D-разбиения, построенная по данным таблицы 2.

Область устойчивости скорректированной системы в плоскости параметра k_рк

Так как действительная составляющая Р(щ) является четной функцией частоты, а мнимая Q(щ) - нечетной, то кривая D-разбиения симметрична относительно действительной оси.

Штриховку наносим слева при движении вдоль кривой от -∞ до +∞. По рисунку определяем допустимый диапазон изменения параметра k_рк: 0 < k_рк < 4. Численное значение k_рк = 0,5 принадлежит области устойчивости.

. Построение графика переходного процесса и оценка качества скорректированной системы

Запишем передаточную функцию замкнутой скорректированной системы Ф(р) по заданному каналу воздействия «z-х»:

Раскроем скобки, приведем подобные члены, подставим числовые значения заданных параметров и запишем его в соответствии с формулой

Составим таблицу исходных данных для цифрового моделирования (таблица 3), куда войдут коэффициенты b_i и a_i из полученного выражения, а также параметры моделирования: Дt - шаг интегрирования, t_печ - шаг печати, t_к - длительность выполнения расчетов.

Таблица 3 - Исходные данные для цифрового моделирования

После введения исходных данных в ПК получен листинг результатов, который представлен в таблице 4.

Таблица 4 - Результаты цифрового моделирования

График переходного процесса, построенный по данным таблицы 4 на рисунке. По полученному графику определим основные показатели качества. По графику видно, что переходный процесс в данном случае апериодический, поэтому перерегулирование отсутствует. Определим по графику время переходного процесса t_п. С учетом того, что время переходного процесса определяется как время, протекающее от момента приложения на вход единичного скачка до момента, в который отклонение кривой переходного процесса от установившегося значения составляет 5%, по графику это время будет t_п ≈ 11 с (при заданном значении t_п = 10 с).

Переходная характеристика замкнутой скорректированной системы по каналу «z-х»

6. Вычисление и минимизация интегральной оценки при типовом воздействии

Для вычисления квадратичной интегральной оценки запишем передаточную функцию замкнутой скорректированной системы по каналу «z-х»:

Подставим в полученное выражение передаточной функции числовое значение постоянной времени Т₃:

Запишем выражение для изображения переходной составляющей управляемой величины

где Z(р) = 1/р - изображение ступенчатого воздействия.

Подставим в эту формулу значения Ф(р), Ф(0) и Х_з(р) и преобразуем выражение:

где d₀ = 0,675; d₁ = 2,95; d₂ =3,7; d₃ =2,7k_рк+1; d₄ = k_рк.

Для вычисления квадратичной оценки используем равенство Парсеваля, которое имеет вид:

где n - степень знаменателя выражения, n = 4;

Д - определитель, составленный из коэффициентов d_i по правилу составления определителя Гурвица;

Д_v - определитель, получаемый из определителя Д путем замены верхней строки коэффициентов на строку с коэффициентами v₀, v₁, v₂, v₃.

Для получения коэффициентов полинома V(jщ) найдем квадрат модуля полинома С(jщ), а затем все слагаемые с четными степенями щ приведем к виду с четными степенями (jщ).

откуда v₀ = 0; v₁ = 0,7656; v₂ = -18,375; v₃ = 12,25.

Найдем определители Д и Д_v:

Подставив значения полученных определителей в равенство Парсеваля, получим

Подставим в полученное выражение различные значения k_рк и результаты расчета сведем в таблицу 5.

Таблица 5 - Зависимость квадратичной интегральной оценки от k_рк

На рисунке изображен график Q_кв = f(k_рк), построенный на основании табличных данных. Из графика определим оптимальное численное значение коэффициента k_рк, равное 2,3. Зная оптимальное численное значение коэффициента пропорциональности разомкнутого контура, можно определить оптимальный коэффициент пропорциональности управляющего устройства k_у

График зависимости квадратичной интегральной оценки от k_рк

устойчивость линейный управление

Список литературы

1. В.А. Лукас. В.П. Барановский. Теория автоматического управления. Курс лекций. Часть 1. Екатеринбург, 2007.

. В.А. Лукас. Теория управления техническими системами. 3-е издание переработанное и дополненное. Екатеринбург, 2002.

. В.П. Барановский. Теория автоматического управления. Методические указания по выполнению курсового проекта. УГГУ. Екатеринбург, 2006.