Расчет нагрузок при деформациях

Содержание

1.ВВЕДЕНИЕ

. Реальный объект и расчетная схема

Основные гипотезы и допущения

. Внешние и внутренние силы

. Метод сечений

. Напряжение, перемещение и деформация

Литература

1. ВЕДЕНИЕ

При действии на конструкцию внешних или рабочих нагрузок, конструкция может потерять работоспособность по следующим причинам:

1. Под действием рабочих нагрузок конструкция распадается на части (расчет на прочность);

Рис 1.1 Схема действия внешних нагрузок на конструкцию

Различные сооружения и машины, проектированием и строительством которых занимается инженер в своей практической деятельности, помимо других качеств должны обладать прочностью, то есть способностью сопротивляться разрушению под действием приложенных к ним внешних сил (нагрузок). Для этого элементы сооружений и машин должны быть изготовлены из соответствующего материала и иметь необходимые размеры.

1. Деформации могут оказаться столь большими, что дальнейшая эксплуатация конструкции будет невозможна (расчет на жесткость).

Рис 1.2 Схема потери жесткости конструкции

Небольшие изменения формы и размеров (деформации), которые возникают в элементах конструкции при действии нагрузок, не оказывают существенного влияния на законы равновесия тела. Конечно, деформации, возникающие при действии обычных эксплуатационных нагрузок, невелики, и их можно определить лишь с помощью специальной тензометрической аппаратуры.

Иногда величину деформаций, несмотря на их малую величину по сравнению с размерами самой детали, приходится ограничивать, так как в противном случае нормальная эксплуатация конструкции может стать невозможной. Например, при механической обработке детали на станке вследствие деформации самой детали и элементов станка может произойти снижение точности обработки, что недопустимо.

2. Конструкция при определенных нагрузках может потерять устойчивость (расчеты на устойчивость)

Рис 1.3 Схема потери устойчивости конструкции

Под устойчивостью понимают способность элемента сопротивляться возникновению больших отклонений от невозмущенного равновесия при малых возмущающих воздействиях. В качестве возмущающего воздействия можно, разумеется, принять малое изменение нагрузки.

Равновесие элемента устойчиво, если малому изменению нагрузки соответствует малое изменение деформаций.

Наоборот, равновесие неустойчиво, если малому изменению нагрузки соответствует теоретически неограниченный рост деформации. Практически стержень, после потери устойчивости, разрушится от чрезмерных напряжений.

На этом основании задачей курса сопротивления материалов является - расчет частей машин и инженерных сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. Основным эффектом проведения таких расчетов является экономия материала.

Зарождение науки о сопротивлении материалов относится к XVII веку и связано с работами Галилея. Дальнейшее развитие теории связано с работами: Гука, Бернулли, Сен-Венана, Коши, Ламе и др., которые сформулировали основные гипотезы и дали некоторые расчетные уравнения.

Особо следует отметить замечательные исследования (XVIII век) знаменитого ученого Л. Эйлера, члена Петербургской академии наук. Его работа, посвященная расчету сжатых стержней на устойчивость, широко используется и в настоящее время.

Значительный вклад внесли русские ученые Д.И. Журавский, Х.С. Головин, Ф.С. Ясинский, И.Г. Бубнов, А.Н. Крылов, С.В. Серенсен, В.И. Феодосьев, С.Д. Пономарев и др.

2. Реальный объект и расчетная схема

Реальные объекты или конструкции, с которыми инженеру приходится встречаться на практике, имеют в большинстве случаев сложную форму (рис. 1.4)

Рис. 1.4 Реальный объект

Отдельные элементы реального объекта в зависимости от соотношения характерных размеров можно свести к следующим простейшим расчетным схемам:

1. Брус - тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим (Рис. 1.5)

Рис. 1.5 Расчетные схемы бруса и стержня

В частном случае брус может иметь постоянную площадь поперечного сечения и прямолинейную ось. Брус с прямолинейной осью называют стержнем. Ось бруса - это линия, соединяющая центры тяжести его поперечных сечений. Плоская фигура, имеющая свой центр тяжести на оси и перпендикулярная к ней, называется поперечным сечением бруса.

Стержень, работающий на изгиб, называют балкой. Совокупность прямолинейных стержней образуют рамы и фермы (Рис. 1.6)

Рис. 1.6 Расчетные схемы балки, рамы и фермы

1. Пластина - тело, ограниченное двумя плоскими поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с прочими размерами (Рис. 1.7)

2. Оболочка - тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с прочими поверхностями (Рис. 1.7).

Рис 1.7 Расчетные схемы пластины оболочки

1. Массив - тело, у которого все три размера одного порядка (Рис. 1.4).

В курсе «Сопротивление материалов» рассматриваются преимущественно тела, имеющие форму брусьев постоянного сечения и системы, состоящие из них. При этом имеются в виду брусья, обладающие достаточной жесткостью, т. е. не претерпевающие значительных деформаций при нагрузке.

Методы расчета пластин, оболочек и массивных тел при больших деформациях рассматриваются в курсе «Прикладная теория упругости». Способы расчета стержневых систем изучаются в курсе «Строительная механика».

3. Основные гипотезы и допущения

Из-за сложности задачи расчета элементов конструкций в сопротивлении материалов принимают некоторые упрощающие допущения относительно свойств материала, нагрузок и характера взаимодействия детали и нагрузок. Экспериментальная проверка расчетных зависимостей, полученных на основе приведенных ниже допущений, показала, что вносимая ими погрешность очень незначительна и для практических целей ею можно пренебречь.

1.       Материал тела имеет сплошное строение. Таким образом, в дальнейшем не принимается во внимание дискретная, атомистическая структура вещества. Для большинства машиностроительных конструкций расчеты, основанные на допущении о сплошности строения, Дают практически удовлетворительные результаты. Это объясняется тем, что размеры детали во много раз больше межатомных расстояний. Сделанное допущение дает возможность в дальнейшем использовать математический аппарат непрерывных функций.

2.       Материал детали однороден, т.е. обладает во всех точках одинаковыми свойствами. Металлы обладают высокой однородностью, т. е. имеют во всех точках детали практически одинаковые свойства. Наиболее неоднородными являются дерево, бетон, камень, армированная пластмасса. Однако допущение об однородности материала деталь дает удовлетворительные результаты для основных конструкционных материалов.

.         Материал изотропен, т. е. обладает во всех направлениях одинаковыми свойствами. Большинство металлов имеет мелкозернистую структуру. Благодаря большому количеству кристаллов свойства материалов выравниваются в различных направлениях и можно считать эти материалы практически изотропными. В противном случае материал анизотропен: ткани (косой и кривой крой), дерево, армированная пластмасса, бетон. К анизотропным относятся и материалы с направленной кристаллизацией и с монокристаллической структурой.

.         В теле до приложения нагрузки нет внутренних или начальных усилий. Изменению формы и размеров тела под нагрузкой сопротивляются силы взаимодействия между частицами материала, называемые силами упругости. В дальнейшем, говоря о внутренних силах, будем иметь в виду именно эти силы упругости, не принимая во внимание молекулярные силы, имеющиеся и в ненагруженном теле. Это допущение полностью не выполняется ни для одного материала. Причины возникновения неравномерных внутренних или начальных усилий:

·   В стальных деталях из-за неравномерного остывания;

·   В дереве из-за неравномерного высыхания;

·   В бетоне в процессе твердения.

В тех случаях, когда есть основания предполагать, что эти силы значительны, стараются определить их экспериментально.

5.       Принцип независимости действия сил или принцип суперпозиции. Результат воздействия на тело системы сил равен сумме результатов воздействия тех же сил, прилагаемых к телу последовательно и в любом порядке (Рис. 1.8). Под словами «результат воздействия» следует понимать - деформации, внутренние силы и перемещения отдельных точек.

Рис. 1.8 Использования принципа суперпозиции

Должны соблюдаться два условия:

·   перемещения малы по сравнению с размерами тела,

·   перемещения линейно зависят от силы.

С помощью этого принципа сложный случай приводится к простым.

6.       Принцип Сен-Венана. В точках тела, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, внутренние силы весьма мало зависят от конкретного способа приложения этих нагрузок (Рис. 1.9).

Рис 1.9 Использование принципа Сен-Венана

7.       Принцип неизменности геометрических размеров. В большинстве случаев механические конструкции работают в упругой зоне (в зоне действия закона Гука), а упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами.

конструкция деформация сила пластина

Рис 1.10 Принцип неизменности геометрических размеров

Силы или нагрузки, действующие на сооружения и их элементы, называют внешними. Они представляют собой силы или пары сил (моменты), которые могут рассматриваться как сосредоточенные и распределенные силы.

Все реальные силы распределенные. Контакт двух упругих тел всегда осуществляется по некоторой площадке. Однако по принципу Сен-Венана действия большинства сил может быть заменено сосредоточенной нагрузкой, если площадка достаточно малая по сравнению с размерами тела.

Распределенные нагрузки можно подразделить на:

·   Распределенные по длине или погонные нагрузки (вес балок, канатов)

·   Поверхностные (давление ветра, воды)

·   Объемные (сила тяжести тела, силы инерции).

Все нагрузки могут быть:

·   Статическими, т.е. не меняющиеся во времени или меняющиеся столь медленно, что ускорением можно пренебречь

·   Динамическими, т.к. изменяющиеся во времени с большой скоростью (ударные). Под действием этих нагрузок возникают колебания сооружений.

Динамические нагрузки в свою очередь подразделяются на периодические и случайные нагрузки. К случайным нагрузкам относятся нагрузки, действующие на детали автомобилей, тракторов, станков, а также нагрузки, действующие на сооружения (дома, мачты, краны и т. п.) от давления ветра, снега и т. п.

Более глубокое изучение таких нагрузок возможно лишь с помощью методов статистики и теории вероятности, которые применяются при изучении случайных велечин.

В машиностроении расчетные нагрузки определяются в зависимости от конкретных условий работы машины: по номинальным значениям мощности, угловой скорости отдельных ее деталей, силы тяжести, сил инерции и т. п. Например, при расчете деталей трехтонного автомобиля учитывают номинальный полезный груз, равный 3 тонны. Возможность же перегрузки автомобиля учитывают тем, что размеры сечения деталей назначают с некоторым запасом прочности.

Под действием внешних сил в деформируемых телах возникают внутренние силы. Такие силы являются непрерывно распределенными и в общем случае различны в разных точках тела.

Связь между внешними и внутренними нагрузками определяется уравнениями равновесия.

Это делается с помощью метода сечения.

5. Метод сечений

Для того чтобы определить внутренние силовые факторы необходимо:

1. В интересующей нас точке рассечь тело некоторой плоскостью . Как правило, плоскость перпендикулярна оси стержня.

Рис. 1.11. Рассматриваемое твердое тело в исходном состоянии

2.       Приложим в сечении силы внутреннего взаимодействия.

Рис 1.12. Действие сил внутреннего взаимодействия

3.       Далее отбрасываем одну из частей. Заменим распределенные внутренние силы их статическим эквивалентом:

·   суммарной силой R

·   суммарным моментом М.

Рис 1.13. Рассматриваемая часть конструкции с равнодействующими
 внутренних сил

Вектор результирующего момента перпендикулярен плоскости действия и его направление определяется правилом буравчика с правой резьбой (рис.1.14).

Рис 1.14 К определению величины и направления действия момента

. Спроектируем суммарные вектора  и  на оси Оxyz

Рис. 1.15 Проекции суммарной силы

При проектировании суммарной силы  получим:

·     - продольная сила, направленная вдоль оси стержня

·        - поперечные силы, действующие в плоскости поперечного сечения.

Аналогичным образом при проектировании суммарного момента  получим:

·     - крутящий момент в плоскости, перпендикулярной оси симметрии

· изгибающие моменты в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

Рис. 1.16 Проектирование суммарного момента

В трехмерном случае для определения шести неизвестных внутренних силовых факторов необходимо использовать шесть уравнений статического равновесия

.                                                               (1.1)

В частном случае в поперечном сечении стержня могут возникать:

Только продольная сила . Этот случай нагружения называется растяжением (если сила  направлена от сечения) или сжатием (если продольная сила направлена к сечению).

Только поперечная сила  или . Это случай сдвига.

Только крутящий момент . Это случай кручения.

Только изгибающий момент  или . Это случай изгиба.

1. Несколько усилий, например изгибающий и крутящий моменты. Это случай сложных деформаций или сложного сопротивления.

Если число неизвестных усилий равно числу уравнений равновесия, задача называется статически определимой. Если же число неизвестных усилий больше числа уравнений равновесия - статически неопределимой.

Для статически неопределимых задач кроме уравнений равновесия необходимо использовать еще дополнительные уравнения при рассмотрении деформации системы.

6 Напряжение, перемещение и деформация

Напряжения. При одной и той же продольной силе  прочность конструкции определяется площадью поперечного сечения.

Потому для оценки прочности вводится напряжение

.                                                                                     (1.2)

Выделим вокруг некоторой точки бесконечно малую площадку.

Рис. 1.17 Проектирование полного напряжения

Тогда

 [МПа]                                                                                   (1.3)

вектор полного или истинного напряжения в данной точке. Упрощенно можно сказать, что напряжением называется внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в данной точке данного сечения

Удобнее работать с двумя проекциями полного напряжения:

Составляющую, нормальную к плоскости сечения. Эта составляющая обозначается  и называется нормальным напряжением (см. рис. 1.17)

Составляющая, лежащая в плоскости сечения. Эта составляющая обозначается  и называется касательным напряжениями. Касательное напряжение в зависимости от действующих сил может любое направление в плоскости сечения. Для удобства  представляют в виде двух составляющих по направлению координатных осей (рис.1.18)

Рис. 1.18 Напряжения в данной точке в общем трехмерном случае

Здесь первый нижний индекс у касательных напряжение указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия данного напряжения, а второй индекс - какой оси параллельно само напряжение.

Наряду с графическим представлением напряжений в точке деформируемого тела часто используется и векторная форма их представления.

(1.4)

Оценка прочностных свойств материала производится или по наибольшему нормальному напряжению, или по наибольшему касательному напряжению (расчет на сдвиг), тогда условие прочности записывается в виде

                                                                                      (1.5)

Или

 .                                                                                    (1.6)

Перемещение. Любая точка упругого деформированного тела после напряжения получает некоторое перемещение.

Рис. 1.19 Перемещение точки в общем случае нагружения

Для практического использования удобнее представить перемещение в виде трех проекций на декартовые оси координат

                                                                                         (1.7)

Деформации. Сама величина перемещения не позволяет оценить степень удаленности данного уровня нагружения от предельного состояния. Степень деформирования данной точки конструкции можно оценить с помощью относительной линейной деформации

                                                                                      (1.8)

или деформация. Используя закон Гука, можно записать

.                                                                                      (1.9)

Если нормальным напряжениям соответствует линейная деформация, то касательным напряжениям соответствует угловая сдвиговая деформация

.                                                                                 (1.10)

Рис 1.20 Деформация малого элемента при сдвиге

По аналогии с (1.4) можно использовать векторное представление деформаций

.                                                                                     (1.11)

Литература

1.Александров А.В. и др. Сопротивление материалов: Учебник для ст-тов вузов - 2-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 2008. - 559 с.

.Бояршинов, С.В. Основы строительной механики машин - М. : Машиностроение, 2006. - 456 с.

.Гафаров Р.Х. Что нужно знать о сопротивлении материалов: Учебное пособие для вузов обуч. по направлениям подгот. и спец. в области техники и технологии - М.: Машиностроение, 2007. - 275 с.

.Дарков, А.В. Сопротивление материалов. - М. : Высшая школа, 2007. - 623 с.

.Миролюбов И.Н. и др. Пособие по решению задач по сопротивлению материалов : учебное пособие для технических вузов. - М. : Высшая школа, 2007. - 399 с.