Разработка методики введения определения 'асимптота'
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Калужский
государственный университет им. К.Э.Циолковского
Контрольная
работа
по ТиМОМ
Студентки
курса очного
отделения
Физико-математического
факультета
Группы ФМ-51
Ильиной Е.Е
Калуга 2012
Алгебра и начала анализа 10-11 класс
(А.Н. Колмогоров)
Асимптота (вертикальная, горизонтальная,
наклонная) - разработать методику введения определения «асимптота»
. Мотивация
Построить и исследовать графики следующих
функций:
а) y=
б) y=
в) y=x+
а) y=
(Если учащиеся не помнят график данной функции-
гиперболы, строим его по точкам)
|
x
|
1
|
-1
|
2
|
-2
|
0.5
|
-0.5
|
0.2
|
-0.2
|
|
y
|
1
|
-1
|
0.5
|
-0.5
|
2
|
-2
|
5
|
-5
|
Найдем область определения и значений данной
функции.
Какой промежуток является областью определения
данной функции? Любое значение может принимать x?
х принимает любое значение, кроме 0, так как на
ноль делить нельзя.
(f)=(-
;0)
;+)
Область значений:
(f)= (-;0);+)
Является ли данная функция четной, нечетной,
периодической?
(x)=
(-x)=1/(-x)=-
; -f(x)=-(x)
f(-x)(-x)=-f(x)
Функция является нечетной, график симметричен
относительно начала координат, не периодическая.
Есть точки пересечения с осями координат?
Таких точек нет.
Является ли данная функция возрастающей, или
убывающей?
Функция убывающая, х=0 является точкой разрыва.
Имеет данная функция точки максимума, минимума?
Нет.
Как себя ведёт данная функция в окрестности
точек не входящих в область определения данной функции? В нашем случае, в
окрестности точки х=0.
|
x
|
0,1
|
0,2
|
0,4
|
0,5
|
-0,1
|
-0,2
|
-0,4
|
-0,5
|
|
y
|
10
|
5
|
2,5
|
2
|
-10
|
-2,5
|
-2
|
Как себя ведет функция?
График приближается к оси Oy. Но никогда её не
пересечёт.
А пересекается ли гипербола с осью Ox?
|
y0,10,20,40,5-0,1-0,2-0,4-0,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
|
10
|
5
|
2,5
|
2
|
-10
|
-5
|
-2,5
|
-2
|
График приближается к оси Ox, не пересекает её.
б) y=
|
x
|
0
|
1
|
-1
|
2
|
-2
|
3
|
-3
|
|
y
|
1
|
0,5
|
0,5
|
0.2
|
0.2
|
0,1
|
-0,1
|
Найдем область определения и значений данной
функции.
Какой промежуток является областью определения
данной функции? Любое значение может принимать x?
х принимает любое значение(f)=(-;+)
Область значений: E(f)=
;+)
Является ли данная функция четной, нечетной,
периодической?(x)=
(-x)=
=
; -f(x)=-(-x)-
f(x)(x)=f(-x)
Функция является четной, график симметричен
относительно оси ординат, не периодическая.
Есть точки пересечения с осями координат?
Есть точки пересечения с осью Oy, x=0 y=1
Является ли данная функция возрастающей, или
убывающей?
Функция возрастает на промежутке (-;0),
убывает на промежутке ;+)
Имеет данная функция точки максимума, минимума?
Точка максимума x=0 y=1
Как себя ведёт график данной функции приближаясь
к оси Ох, пересечет ли он эту ось?
|
y
|
0,1
|
0,2
|
0,4
|
0,5
|
-0,1
|
-0,2
|
-0,4
|
-0,5
|
|
x
|
3
|
2
|
1,22
|
1
|
-3
|
-2
|
-1,22
|
-1
|
График приближается к оси Ox, не пересекает её.
в) y=x+
|
x
|
1
|
2
|
-2
|
3
|
-3
|
0,5
|
0,2
|
-0,2
|
-0,5
|
|
y
|
2
|
-2
|
2,5
|
-2,5
|
3,33
|
-3,33
|
2,5
|
5,2
|
-5,2
|
-2,5
|
Найдем область определения и значений данной
функции.
Какой промежуток является областью определения
данной функции? Любое значение может принимать x?
х принимает любое значение, кроме 0, так как на
ноль делить нельзя.
(f)=(-;0);+)
Область значений:
(f)= (-;-2)
;+)
Является ли данная функция четной, нечетной,
периодической?
(x)=
(-x)=
; -f(x)=
(x)
f(-x)(-x)=-f(x)
Функция является нечетной, график симметричен
относительно начала координат, не периодическая.
Есть точки пересечения с осями координат?
Таких точек нет.
Является ли данная функция возрастающей, или
убывающей?
Функция возрастает на промежутке (-;-1)
;+)
Убывает на промежутке (-
;0);1).
Имеет данная функция точки максимума, минимума?
Тока минимума x=1 y=2
Точка максимума x=-1 y=-2
Как себя ведёт данная функция в окрестности
точек не входящих в область определения данной функции? В нашем случае, в
окрестности точки х=0.
|
x
|
0,5
|
0,2
|
-0,2
|
-0,5
|
0,1
|
-0,1
|
|
y
|
2,5
|
5,2
|
-5,2
|
-2,5
|
10,1
|
-10,1
|
Как себя ведет функция?
График приближается к оси Oy. Но никогда её не
пересечёт.
2. Подготовка к введению определения
Мы с вами построили графики нескольких различных
функций. Посмотрите на них внимательно, есть ли что-то общее? Какие функции
задают графики, как себя ведет график?
Область определения и значения у них различны,
промежутки возрастания, убывания и точки максимума тоже.
Первый и третий график не пересекают осей
координат, ветви графика приближаются к осям, но не пересекутся с ними никогда.
Второй график пересекает ось Oy, приближается к
оси Ox, но никогда её не пересечёт.
Мы заметили, что существуют прямые к которым
график функции приближается, но никогда с ними не пересекается.
В математике такие прямые называют асимптотами.
Существует несколько видов, это горизонтальные, вертикальные и наклонные
асимптоты. Что же такое асимптота?
3. Введение определения
Чем является асимптота? Прямой.
Что такое вертикальная асимптота? Это прямая.
Какая это прямая, как она будет располагаться?
Вертикальная прямая.
Что происходит с графиком функции? Он
приближается к этой прямой но не пересекается с ней.
Вертикальная асимптота - вертикальная прямая к
которой приближается график функции, но никогда с ней не пересечется.
Запишем определение вертикальной асимптоты.
Вертикальные прямые, к которым неограниченно
приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.
Что такое горизонтальная асимптота?
Запишем определение.
Если график функции неограниченно приближается к
некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то
такую прямую называют горизонтальной асимптотой.
Что такое наклонная асимптота?
Если график функции неограниченно приближается к
некоторой наклонной прямой, то такую прямую называют наклонно асимптотой.
Запишем определение.
Если график функции неограниченно приближается к
некоторой наклонной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то
такую прямую называют наклонной асимптотой.
Посмотрите на графики, полученные нами ранее.
В первом случае, какая прямая является
асимптотой?
х=0 - вертикальная асимптота.=0 - горизонтальная
асимптота.
Второй график какие асимптоты имеет?=0 -
горизонтальная асимптота.
Третий график.
х=0 - вертикальная асимптота.
А также есть наклонная асимптота. Посмотрите на
график, одна его ветвь приближается к оси Oy, а другая будет приближаться к
какой-то наклонной прямой. Эта прямая будет проходить через начало координат.
Каким уравнением она будет задаваться?=x - наклонная асимптота.
4. Логико-математический анализ
структуры определения
Чем является асимптота с точки зрения геометрии?
Прямая.
Каким отличительным свойством обладает эта
прямая (асимптота)?
К ней приближается график функции, но не
пересекается с ней.
5. Выполнение действий подведения под
понятие
№1. Построить график функции y=
и указать асимптоты данного графика, если они есть.
х=-1 - вертикальная асимптота.=0 -
горизонтальная асимптота.
Что называется горизонтальной асимптотой?
вертикальной?
Если график функции неограниченно приближается к
некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то
такую прямую называют горизонтальной асимптотой.
Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается
график функции f, называют вертикальными асимптотами.
№2. Построить график функции y=tgx и указать
асимптоты данного графика, если они есть.
х= - 
, х=
- вертикальные асимптоты.
Что называется горизонтальной асимптотой?
вертикальной?
Если график функции неограниченно приближается к
некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то
такую прямую называют горизонтальной асимптотой.
Вертикальные прямые, к которым неограниченно
приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.
№3. Какие асимптоты имеет график следующей
функции y=
изображенный на
рисунке?
х=-1 х=1, - вертикальная асимптота.=1 -
горизонтальная асимптота.
Что называется горизонтальной асимптотой?
вертикальной?
Если график функции неограниченно приближается к
некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то
такую прямую называют горизонтальной асимптотой.
Вертикальные прямые, к которым неограниченно
приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.
№4. Какие асимптоты имеет график следующей
функции y=
изображенный на
рисунке?
х=0 - вертикальная асимптота.=x/2- наклонная
асимптота
Что называется наклонной асимптотой?
вертикальной?
Вертикальные прямые, к которым неограниченно
приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.
Если график функции неограниченно приближается к
некоторой наклонной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то
такую прямую называют наклонной асимптотой.
. Формулировка эквивалентных
определений
Вы теперь знаете что такое асимптота, знаете
виды асимптот.
Давайте ещё раз повторим определение асимптоты
вертикальной, горизонтальной, наклонной.
Если график функции неограниченно приближается к
некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то
такую прямую называют горизонтальной асимптотой.
Вертикальные прямые, к которым неограниченно
приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.
Если график функции неограниченно приближается к
некоторой наклонной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то
такую прямую называют наклонной асимптотой.
Можем ли мы по другому сформулировать эти
определения.
Если график функции неограниченно приближается к
некоторой вертикальной прямой при неограниченном убывании(по модулю x),то такую
прямую называют вертикальной асимптотой.
Горизонтальные прямые, к которым неограниченно
приближается график функции f, называют горизонтальными асимптотами.
Наклонная прямая, к которой неограниченно
приближается график функции f, называют наклонной асимптотой.
Алгебра и начала анализа 10-11 класс
(А.Н. Колмогоров)
t=
arccosa+2
n,
Z - методика
введения формулы для решения тригонометрического уравнения.
1. Мотивация
Задача: Мотоциклист совершает прыжок через 10
установленных в ряд автобусов. Длина ряда 40 м. Под каким углом должен
совершаться прыжок? Известно, что скорость разгона равна 22 м/с. Закон движения
мотоциклиста:
= 
О чём идет речь в задаче?
Мотоциклист совершает прыжок через 10
установленных в ряд автобусов.
Какие данные нам известны из условия задачи?
Длина - 40 м.
Скорость - 22м/с.
И закон движения- L=
Что необходимо найти?
Под каким углом должен совершаться прыжок.
Запишем условие задачи.
Дано:=40м,
22м/с.=10м/с2
Решение:
Можем ли мы сразу найти угол?
Нет, подставив данные в формулу можем найти Cos
.
=
=0.826
Мы получили уравнение нового вида, которое
содержит какую функцию?
Тригонометрическую.
Как будет называться такое уравнение?
Тригонометрическим.
Это совершенно новый вид уравнение, с таким
уравнением вы сталкиваетесь впервые, наша сегодняшняя цель научиться решать
уравнения подобного вида.
Запишем получившееся уравнение в общем виде:=t
2. Подготовка к введению формулы
=t
При всех значения t уравнение будет иметь
решение?
Нет, если 
>1
то уравнение не имеет решений, так как 
1
Изучая тригонометрические функции, мы говорили о
том, что косинус принимает значения от -1 до 1.
Если
<1,
то надо найти такие числа ,что Cos=t.
Вспомним как выглядит график функции Cos=y.
На промежутке 
сколько
решений будет уметь уравнение Cos=t?
Одно решение.
Как будет обозначаться это число?t.
На промежутке 
сколько
решений будет уметь уравнение Cos=t?
Одно решение.
Как будет обозначаться это число?
arccos t.
Получили что уравнение имеет два решения на
промежутке
arccost
Какой является функция Cos=y?
Четная, периодическая.
Значит, уравнение данного вида будет иметь ещё
несколько решений, которые будут отличаться от найденных нами уже. На какое
число они будут отличаться?
На 2n,
n
Z
Можем мы объединить всё полученные решения и
записать одной формулой? Какая формула получится?
arccost+2n,
nZ
Проиллюстрируем решение данного уравнения на
единичной окружности.
Косинус это абсцисса точки Pa
единичной окружности. Если <1 сколько таких
точек получим?
Две
Если t=
1?
Одна
При t=1 что будет с числами arccos t и - arccos
t?
Они совпадут.
. Введение формулы
Формула корней уравнения Cos=t
имеет следующий вид:
arccost+2n,
nZ
Решение уравнений Cos=1
в математике принято записывать в следующем виде x=2n,
nZ
Так же для уравнений Cos=0
и Cos=-1
существует особая форма записи корней.
=0, x=
n,
nZ=-1,
x=
n,
nZ
4. Усвоение формулы
Вернёмся к нашей задаче. Какое уравнение мы
получили?=0.826
Чему будет равно ?
arccos(0,83)+2n,
nZ
arccos(0,83)=34o
o
+2n,
nZ=0,
Каким будет ответ в задаче?
Прыжок должен совершаться под углом 34o
На доске записано уравнение Cos
=t
и формула
arccost+2
n,
nZ,
1
Задание: решить следующие уравнения
) Cos=
) Cos= 
=,
,
arccos+2n,
nZ
+2n,
nZ=
,
arccos+2n,
nZ
+2n,
nZ
Формул на доске нет, учащиеся при решении
проговаривают формулу вслух, пошагово комментируют что делать.
Решить уравнения
=
,
arccos
+2n,
nZ
+2n,
nZ=
x=2n,
nZ
При решении заданий учащийся проговаривает
формулу про себя, на доске формулы не записаны.
=
,
arccos(-
+2n,
nZ
+2n,
nZ=
x=
n,
nZ
Задача: Сила тока в цепи со временем изменяется
по закону I=2.7Cos(50t+1). Определите время t, если известно что сила тока
равна 1.3А.
О чём идет речь в задаче? Что нам дано? Что
необходимо найти?
Дано:=2.7Cos(50t+1)=1.3А.?
Решение:
.3=2.7Cos(50t+1)(50t+1)=0.48
t+1
arccos
+2n,
nZ
t+1
+2n,
nZ
t -1+2n,
nZ=
-1/50+n/25,
nZ
Ответ: t=
-1/50+n/25,
nZ
Алгебра и начала анализа10-11 класс
(А.Г. Мордкович)
асимптота тригонометрический
уравнение урок
Разработать урок по функционально-графическому
методу решения уравнений.
Тема урока: Функционально-графический метод
решения уравнений.
Тип урока: Урок совершенствования знаний умений
и навыков.
Цели урока:
Образовательные: Систематизировать, обобщить,
расширить знания, умения учащихся, связанные с применением
функционально-графического метода решения уравнений. Отработать навыки решения
уравнений функционально-графическим методом.
Развивающие: Развитие памяти, логического
мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать, самостоятельно делать выводы;
развитие грамотной математической речи.
Воспитательные: воспитывать аккуратность и
точность при выполнении заданий, самостоятельность и самоконтроль; формирование
культуры учебного труда; продолжить формирование познавательного интереса к
предмету.
Структура урока:. АЗ
. Организационный момент.
. Устная работа с целью проверки
домашнего задания.
. Фронтальный опрос с целью АЗ по теме.
. Постановка целей и задач на следующий
этап урока.. ФУН
. Коллективное решение задач.
. Постановка домашнего задания.
. Самостоятельная работа.
. Подведение итогов урока.
Ход урока:.АЗ
.Организационный момент.
. Устная работа с целью проверки домашнего
задания.
Начнём урок с проверки домашнего задания.
Называйте ответы по цепочке.
. а)4x=1/16 б)(1/6)x=36
4x=4-2 6-x=62
x=-2 x=-2
1364. a)(1/5)x*3x=
б)5x*2x=0,1-3
)x=)3/2
10x=103
x=1.5 x=3
1366.a)22x-6*2x+8=0
2x=a=2, a=4
x=2,
2x=4=1, x=2
1367. б)2*4x-5*2x+2=0
2x=a
a2-5a+2=0=2, a=1/2
x=2,
2x=1/2=1, x=-1
. a)5x=-x+6 y=5x y=-x+6
=1
Молодцы, у всех получились такие ответы, есть
вопросы по домашнему заданию? Все справились?
. Фронтальный опрос с целью АЗ по теме.
Как называются уравнения, которые вы решали в
домашней работе?
Показательные.
Какие уравнения называются показательными?
Показательными уравнениями называют уравнения
вида af(x)=ag(x), где а - положительное число отличное от
1,и уравнения, сводящиеся к этому виду.
Какому уравнению равносильно уравнение af(x)=ag(x)?
Уравнение af(x)=ag(x) (где
a>0,a
)
равносильно уравнению f(x)=g(x)помощью каких основных методов вы решали
показательные уравнения?
) Метод уравнивания показателей
) Метод введения новой переменной
) Функционально графический метод
.Постановка целей и задач на следующий этап
урока.
Сегодня мы подробнее остановимся на решение
уравнений с помощью функционально - графического метода.
За 10 минут до конца урока вы напишите небольшую
самостоятельную работу..ФУН
.Коллективное решение задач.
В чём же суть функционально-графического метода
решения уравнений? Что мы должны сделать решая уравнение таким способом?
Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x)
функционально-графическим методом нужно:
Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в
одной системе координат.
Определить координаты точки пересечения графиков
данных функций.
Записать ответ.
№1 a) 3x=-x+4
Каким методом мы будем решать уравнение?
Какой будет первый шаг при решении уравнения?
Введем функции.
Какие функции у нас получаться?
=3x y=-x+4
Если учащийся может, строит график сразу, если
нет, сначала составляет таблицу.
Каким образом строим график?
По точкам, подставляем в функцию x и находим y.
Как мы найдём корень уравнения?
Найдём точку пересечения двух получившихся
графиков.
Сколько точек пересечения у нас получилось,
посмотри на рисунок?
Одна точка.
Что это значит? Сколько корней имеет данное
уравнение?
Один корень, равен 1.
Ответ: x=1
б) 3x/2=-0.5x+4
Каким методом мы будем решать уравнение?
Функционально -графическим.
Какой будет первый шаг при решении уравнения?
Введем функции.
Какие функции у нас получаться?
=3x/2 y=-0.5x+4
Как мы найдём корень уравнения?
Найдём точку пересечения двух получившихся
графиков, корень равен 2.
Ответ: x=2
№2 a)2x+1=x3
Каким методом мы будем решать уравнение?
Функционально -графическим.
Какой будет первый шаг при решении уравнения?
Введем функции.
Какие функции у нас получаться?
=2x+1 y= x3
Как мы найдём корень уравнения?
Найдём точку пересечения двух получившихся
графиков, корень равен 2.
Ответ: x=2
б)2x=(x2/2)+2
Каким методом мы будем решать уравнение?
Функционально -графическим.
Какой будет первый шаг при решении уравнения?
Введем функции.
Какие функции у нас получаться?=2x y=
(x2/2)+2
Если учащийся может, строит график сразу, если
нет, сначала составляет таблицу.
Как мы найдём корень уравнения?
Найдём точку пересечения двух получившихся
графиков, корень равен 2.
Ответ: x=2
.Откройте дневники, запишите домашнее задание.
№№1372,1370,1371(в, г)
.Самостоятельная работа.
А сейчас небольшая самостоятельная работа.
Проверим как вы усвоили материал, всё ли из вас поняли суть
функционально-графического метода решения уравнений.
№1 Решить уравнение функционально - графическим
методом:
1 вариант 2 вариант
а)5x/5=-x2 (решений нет)
а)3x+2-6x=0 (решений нет)
б)3x+2-3=0 (x=-1) б)5x/5+x-1=0
(x=0)
№2 Сколько корней имеет уравнение и в каком
промежутке они находятся
1 вариант 2 вариант
а)3x=-x2-2 (решений
нет) а) 3x=-x2+2 ((-1,5;1) два корня)
б)3x/2=6x ((-3;3,5) два корня) б)2x+x2-5=0
(-2.5;1.5) два корня)
4.Подведение итогов урока.
Чем сегодня мы занимались на уроке? Задания,
какого вида решали?
Какой метод решения показательных уравнений вы
сегодня освоили?
Повторим ещё раз, в чём суть функционально -
графического метода решения уравнений?
Объясните пошагово, как решаются уравнения таким
методом?
Есть вопросы? Всем всё понятно?
Урок закончен, можете быть свободны.