Теория вероятности. Распределение Пуассона и Эрланга

Задание № 1

. Построить распределение вероятности занятия линий в пучке из V линий в соответствии с распределениями Бернулли, Пуассона и Эрланга.

. Для каждого распределения рассчитать математическое ожидание числа занятых линий, их дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Исходные данные для расчетов приведены в таблице 1.1 Величину А принять равной А=аV.

Таблица 1.1

Требования к выполнению задания:

1. Результаты расчета распределений представить в виде таблицы 1.2 и графика P_i = f(i).

Таблица 1.2

На каждом графике привести значения математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и .

1. Расчеты проводить с точностью до четвертого знака после запятой.

В заключении провести анализ полученных результатов.

Решение:

. Распределение Бернулли

Пусть исследуется пучок из V линий, каждая линия с вероятностью a может оказаться занятой и с вероятностью (1-a) - свободной. Тогда вероятность того, что в пучке из V линий окажется i любых линий занято, может быть определена из выражения

где

Таблица 1.1

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий, вероятность занятия которых описывается распределением Бернулли, соответственно равны:

Средним квадратическим отклонением СВ называют корень квадратный из дисперсии:

2. Распределение Пуассона

Требуется найти вероятность P_i того, что на интервал [0,t) попадет точно i точек, т.е. будет занято i любых линий из V.

Обозначим λ -математическое ожидание числа вызовов, приходящихся на единицу длины интервала. Обычно за единицу длины интервала времени принимается 1 час. Вероятность P_i выражается формулой

Это выражение носит название распределения Пуассона. Распределение Пуассона справедливо при выполнении следующих условий:

·   вероятность попадания того или иного числа точек на интервал [0,t) зависит только от длины этого интервала и не зависит от его положения на оси времени;

·   события, состоящие в попадании того или иного числа точек в неперекрывающиеся интервалы времени, независимы;

·   вероятность попадания на малый участок Δt двух и более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки.

Входящая в формулу величина  есть не что иное, как среднее число точек, приходящихся на интервал [0,t) (математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок). Пусть длина интервала [0,t) равна средней длительности обслуживания одного вызова - . Величину  в теории телетрафика называют интенсивностью поступающей нагрузки и обозначают A.

Тогда формула может быть записана:

 ;

где

Таблица 1.2

Математическое ожидание и дисперсия СВ, распределенной по закону Пуассона

 ;

3. Распределение Эрланга

В теории телетрафика широко применяется усеченное распределение Пуассона, связанное с формулой Эрланга

 , i=0,1,…,V , (1.5)

В распределении Эрланга взяты первые V+1 значения из распределения Пуассона и пронормированы так, чтобы сумма вероятностей была бы равна 1.

Для определения составляющих распределения Эрланга можно применить следующее рекуррентное соотношение:

Таблица 1.3

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий, вероятность которых определяется по распределению Эрланга, соответственно равны:

Построим графики распределения вероятности:

Рис. 1

Задание № 2

1. Для простейшего потока вызовов рассчитать вероятности поступления k вызовов за промежуток времени [0,t) P_k(t^*), где t^*=0,5;1,0;1,5;2,0. Значения A и V взять из задания 1. Число вызовов k=[V/2] - целая часть числа.

2. Построить функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов F(t^*) для значений t^*=0;0,1;0,2;0,3;0,4;0,5.Результаты расчета представить в виде таблицы 2.1 и графика .

Таблица 2.1.

. Рассчитать вероятность поступления не менее k вызовов за интервал времени [0,t^* ) P_i≥k(t^*), где t^*=1.

1. Провести анализ результатов.

Решение:

Исходные данные: ; Рассчитаем вероятности поступления k вызовов за промежуток времени [0,t) P_k(t^*), где t^*=0,5;1,0;1,5;2,0 по формуле:

Таблица 2.1

Найдём функцию распределения по формуле:

Таблица 2.2

Построим график функции распределения:

Рис. 2

Вероятность поступления не менее K вызовов будем искать по формуле:

Где

Задание № 3

1) Изобразить структурную схему проектируемой сети.

) Изобразить функциональную схему проектируемой АТС.

3) По формулам (3.3), (3.7), (3.1), (3.8) рассчитать интенсивность нагрузки, поступающей на входы коммутационного поля проектируемой АТСЭ-4 -

) Рассчитать среднюю удельную интенсивность нагрузки на абонентскую линию.

) Пересчитать по (3.9) интенсивность нагрузки на выходы коммутационного поля проектируемой АТСЭ-4.

Таблица 3.1 Исходные данные:

Решение:

.        Структурная схема проектируемой сети

Рис. 3

2.      Функциональная схема проектируемой АТС

Рис. 4

3.По формулам (3.3), (3.7), (3.1), (3.8) рассчитать интенсивность нагрузки, поступающей на входы коммутационного поля проектируемой АТСЭ-4 -

Время разговора определяется как

с

Средняя длительность занятия определяется по следующей формуле:

Интенсивность поступающей нагрузки:

 Эрл.

. Рассчитаем среднюю удельную интенсивность нагрузки на абонентскую линию.

 Эрл

 Эрл

 Эрл

.Пересчитаем интенсивность нагрузки на выходу коммутационного поля проектируемой АТСЭ-4.

 ,

6.Рассчитать интенсивность нагрузки к АМТС 0,07Y_вых, к УСС 0,02Y_вых, к ЦПС 0.02Y_вых ; к IP-сети 0.01 Y_вых.

.Распределить интенсивность нагрузки  по направлениям межстанционной связи методом нормированных коэффициентов тяготения. Интенсивность нагрузки на АТС сети рассчитывать следующим образом: . Расстояния от проектируемой АТСЭ-4 к АТС сети принять по рис. 3.3. из расчета 1см=1км.

Где

 Эрл

 Эрл

 Эрл

 Эрл

 Эрл

; ; . Эрл

.Результаты расчета представить в виде таблицы 3.1

Таблица 3.1

Сделать проверку:

.

9.Построить диаграмму распределения телефонной нагрузки проектируемой АТСЭ-4 (рис.3.5). При этом исходящую нагрузку к другой АТС принять равной входящей .

Задание № 4

Тема 4. Метод расчета пропускной способности однозвенных полнодоступных включений при обслуживании простейшего потока вызовов по системе с потерями. Первая формула Эрланга

Рассчитать необходимое число линий на всех направлениях межстанционной связи от проектируемой АТСЭ-4 к АТСЭ-1, АМТС, ЦПС, IP-сети и АТСЭ-4 число линий рассчитывается по суммарной исходящей и входящей нагрузке, так как используются линии двустороннего занятия. Расчет числа соединительных линий провести в предположении полнодоступного неблокируемого включения при следующих нормах величины потерь по исходящей и входящей связи: P_УСС=1‰; P_АМТС=10‰; P_ЦПС=5‰; P_IP=7‰; P_{вн.стан.}=3‰, P_{АТС-АТС.}=10‰.

Решение:

1.       Расчёт необходимого числа линий на всех направлениях межстанционной связи.

Таблица 4.1

2.Зависимость числа линий V и коэффициента среднего использования  от величины интенсивности нагрузки при величине потерь P=0,0NN, где NN- номер варианта. NN = 7

Таблица 4.2

Зависимость коэффициента среднего использования  от величины интенсивности нагрузки

Рис. 5

Зависимость числа линий V от величины интенсивности нагрузки

Рис. 6

. Построим зависимость величины потерь  от интенсивности поступающей нагрузки при фиксированном значении числа линий в направлении к УСС.

Таблица 4.3

Задание № 5

Тема 5. Метод расчета полнодоступных неблокируемых включений при обслуживании примитивного потока вызовов по системе с потерями. Формула Энгсета

1.Рассчитаем для заданого V и a при n=20 вероятности ,  и P_н, сравнить их по величине. Для расчета значения V и a возьмём из задания 1.

,

Используя таблицы определим потери по вызовам:

.Построим зависимость числа линий V от интенсивности нагрузки для фиксированного значения  при , где NN-номер варианта. NN=07

Таблица 5.1

Построим зависимость числа линий от нагрузки для каждого из n=10, 30, 60.

Рис. 7

Задание № 6

Тема 6. Методы расчета полнодоступных неблокируемых включений при обслуживании вызовов простейшего потока вызовов по системе с ожиданием

1.Расчёт величины условных потерь для всех исходящих направлений от проектируемой АТСЭ-4, предполагая, что полнодоступный пучок линий обслуживается по системе с ожиданием.

Таблица 6.1

2.Для направления к АМТС рассчитаем: , , ,  и . Значение  примем равным , которое рассчитано в задании 3.

 ,

 , тогда

.Определим качество обслуживания вызовов маркером блока ГИ АТСК-3 при норме качества обслуживания  Время обслуживания одного вызова маркером ГИ составляет Допустимое время ожидания не должно превышать .

Нагрузка на маркер блока ГИ определяется как:

=0.204 Эрл.

Рис. 8

 Эрл. - максимально доп. нагрузка на входе блока ГИ

 Эрл.

4.Изменение качества обслуживания при:

увеличении скорости работы маркера в 2 раза

В этом случае, максимальная нагрузка, которую может обслужить блок ГИ, при заданной норме качества увеличится в 2 раза.

 Эрл.

 Эрл.

уменьшении скорости работы маркера в 2 раза

 Эрл.

При этом максимальная нагрузка уменьшается в 2 раза

 Эрл.

При этом необходимо уменьшать нагрузку на вход ГИ.

Задание № 8

пропускной обслуживание вероятность пуассон

Тема 8. Методы расчета пропускной способности однозвенных неполнодоступных включений: упрощенная формула Эрланга, формула О^’Делла, формула Пальма-Якобеуса

1.Рассчитаем и построим зависимости числа линий V и коэффициента среднего использования  от интенсивности поступающей нагрузки А при величине потерь, используя метод О’Делла.

Формула О’Делла:

Где - нагрузка, обслуженная ПД пучком из D линий при потерях P.

Таблица 8.1

Рис. 9

2. Рассчитаем и построим зависимость числа линий  от величины потерь  неполнодоступного пучка при значении  и  по формуле Эрланга, О’Делла, Пальма - Якобеуса. Результаты расчета представить в виде таблицы и графика.

Таблица 8.2

Формула Эрланга:

Формула О’Делла:

Формула Пальма-Якобеуса:

Рис. 10

Задание № 9

Тема 9. Метод Якобеуса для расчета пропускной способности двухзвенных полнодоступных включений.

Тип блока: Двухзвенный блок ГИ с параметрами

Нагрузка:

Рис. 11

Найдем количество коммутаторов в звене А:

Определим количество входов в каждом коммутаторе:

Количество выходов:

Звено А состоит из четырех коммутаторов

Рассмотрим звено В:

Количество выходов:

1)Рассчитаем величину вероятности потерь для направлений к УСС и АМТС при полнодоступном двухзвенном включении линий:

Найдем связность блока:

Найдем коэффициент сжатия или расширения:

Интенсивности нагрузок:

Норма потерь:

Вероятности потерь для направлений

к АМТС:

Возьмем q=1

- не удовлетворяет норме, тогда

Возьмем q=2

 - Потери удовлетворяют нормам.

к УСС: Возьмем q=1

- Потери удовлетворяют нормам.

) Для того же двухзвенного блока ГИ найдём необходимое число линий в направлении от АТСК-3 к проектируемой АТСЭ-4, при потерях P=0.007 и предполагая полнодоступное включение.

Найдем необходимое число линий методом подбора.

Возьмем q=1

q=3 =4 =5

Следовательно, нам нужно 100 линий в направлении от АТСК-3 к проектируемой АТСЭ-4.

Задание № 10

Тема 10. Методы расчета пропускной способности двухзвенных схем, в выходы которых включен неполнодоступный пучок линий

1. Для заданного в таблице 6.2 задания 6 двухзвенного блока ГИ методом Якобеуса рассчитаем число линий в НПД пучке для направления от АТСК-3 к проектируемой АТСЭ-4 при величине  и качестве обслуживания 5‰. Интенсивность поступающей на один вход блока ГИ нагрузки взять из задания 6.

,

Уравнения для коммутационных двухзвенных схем с расширением:

Найдем методом подбора, с использованием таблиц Пальма, и при известных Р,m,n,q и a, из второго уравнения системы определим

Пусть Тогда:

Не подходит по потерям.

Возьмем :

 -  выбрано верно.

Найдем решением третьего уравнения

Подставим полученные значения в первое уравнение и определим число линий:

Для этого же блока ГИ методом эффективной доступности рассчитаем число линий для направления от АТСК-3 к проектируемой АТСЭ-4 при величине  и качестве обслуживания 5‰.

Минимальная доступность

Минимальная доступность

Найдем математическое ожидание количества свободных линий:

Найдем эффективную доступность:

Сравнение этих методов, показывает, что метод Якобеуса даёт небольшие погрешности при расчёте числа линий в НПД пучке.

Задание № 11

Тема 11. Метод построения равномерных неполнодоступных включений: метод цилиндров

Построим схему равномерного НПД включения линий для направления от АТСК-3 к проектируемой АТСЭ-4 на выходе двухзвенного блока ГИ. Для оценки выполненного включения составим матрицу связности. Число линий V возьмём из результатов расчета задания 9, число нагрузочных групп выберем таким образом, чтобы выполнялось условие =2÷4.

Исходные данные: =18, V=120, D = 20, =3 - коэффициент уплотнения.

Решение:

Построим матрицу связности.

Рис. 12

Задание № 12

Тема 12. Метод вероятностных графов для расчета пропускной способности многозвенных коммутационных схем.

1.Рассчитаем структурные параметры и построим схему группообразования блока абонентского искания (АИ) АТСК-3 в координатном виде. Структура коммутационной схемы и типы МКС, на которых реализовано каждое звено, заданы в таблице в соответствии с номером варианта.

.Построить вероятностные графы и рассчитать вероятность потерь методом вероятностных графов по исходящей и входящей связи для блока абонентского искания Удельную исходящую абонентскую нагрузку принять равной входящей а_исх=а_вх=а из задания 3.

Исходные данные: а_исх=0.05 Эрл.

Параметры блока ГИ :

Рис. 13

1)      Число коммутаторов на звене А: 

Число входов, включенных в 1-н коммутатор на звене А: ;

Число выходов из одного коммутатора на звене А:

)        Число коммутаторов на звене B:

Число входов, включенных в 1-н коммутатор на звене B: ;

Число выходов из одного коммутатора на звене B:

3)      Число коммутаторов на звене C:

Число входов, включенных в 1-н коммутатор на звене C: ;

Число выходов из одного коммутатора на звене C:

)        Число коммутаторов на звене D:

Число входов, включенных в 1-н коммутатор на звене D: ;

Число выходов из одного коммутатора на звене D:

Схема группообразования ступени абонентского искания в координатном виде

Рис. 14

Вероятностный граф по входящей связи.

Рассчитаем потери по входящей связи:

Тогда:

Вероятностный граф по исходящей связи.

Рис. 16

Рассчитаем потери по исходящей связи:

или

Задание № 13

Тема 13. Метод расчета сети с обходными направлениями

1.Рассчитать оптимальное число линий в прямых направления от проектируемой АТСЭ-4 к АТСДШ-2 иАТСК-3. В качестве обходной принять АТСЭ-1.

.Рассчитать параметры избыточной нагрузки от прямых направлений 4-2 и 4-3.

3.Построить реальную и эквивалентную схемы включения линий на обходном направлении и рассчитать число линий на этом направлении при норме величины потерь .

Для расчетов воспользоваться следующими исходными данными:

1)      интенсивность нагрузки в прямых направлениях принять в соответствии с задан. 3;

)        для определения расстояния составить матрицу расстояний между АТС в соответствии с заданием 3;

)        значение затрат на организацию одной соединительной линии принять в соотв. с табл. 13.2; затраты на один вход коммут. оборудования принять 1500 руб.

Таблица 13.2

4)      нагрузку на обоих участках обходного направления принять одинаковой и равной нагрузке от проектируемой АТСЭ-4 к АТСЭ-1 ;

Решение:

Схема включения линий на обходном направлении имеет вид:

Нагрузки в прямых направлениях:

 Эрл  Эрл.

1)Рассчитаем оптимальное число линий в прямых направлениях:

Оптимальное число линий в прямом направлении зависит от интенсивности нагрузки, поступающей на прямое направление ij ;

отношения затрат на одну линию в прямом направлении к затратам на одну линию в обходном направлении

;

Тогда:

Воспользуемся приближенным методом определения . Как показали исследования, зависимость  при  и  достаточно хорошо описывается уравнением прямой . Значения коэффициентов а и в при  для различных  приведены в табл. 13.1.

Таблица 13.1

Тогда:

 Т.к. оптимальное число линий в прямых направлениях должно быть кратно 30, то :  линий.

2)Рассчитаем параметры избыточной нагрузки от прямых направлений 4-2 и 4-3.

Для характеристики избыточной нагрузки используют два параметра: математическое ожидание  и пикфактор (коэффициент скученности) , определяемый отношением дисперсии нагрузки к ее математическому ожиданию:

.

Математическое ожидание и дисперсию избыточной нагрузки можно найти из следующих выражений:

.

В общем случае на обходное направление могут поступать избыточные нагрузки от нескольких прямых направлений. Если принять, что поступающие на прямые направления нагрузки являются независимыми, то избыточные нагрузки будут также независимыми, и параметры объединенной на обходном направлении нагрузки определяются из выражения:

Тогда Пик-фактор

Зная значения  и , находят число линий Sи нагрузку , используя формулы полученные Раппом:

 Эрл.

рассчитаем =0.43

с помощью таблиц Пальма по значениям  и  определим= 211

рассчитаем число линий в обходном направлении

 =211-102=109

Вариант с учётом

) Рассчитаем параметры избыточной нагрузки от прямых направлений 4-2 и 4-3.

В общем случае на обходное направление могут поступать избыточные нагрузки от нескольких прямых направлений. Если принять, что поступающие на прямые направления нагрузки являются независимыми, то избыточные нагрузки будут также независимыми, и параметры объединенной на обходном направлении нагрузки определяются из выражения:

Тогда Пик-фактор

Зная значения  и , находят число линий Sи нагрузку , используя формулы полученные Раппом:

рассчитаем =0.033

с помощью таблиц Пальма по значениям  и  определим= 43

рассчитаем число линий в обходном направлении

 =43-28=15