Комплексные числа и матрицы

Комплексные числа и матрицы

1. Дано комплексное число а

Требуется

)        Записать число а в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

)        Найти все корни уравнения z³ + а = 0 и изобразить их на комплексной плоскости.

а =

Решение:

Преобразуем заданное число, умножив числитель и знаменатель на сопряженное число  :

а =  =  =  = 1 + i

Воспользуемся двумя формами записи комплексных чисел - показательной и алгебраической:

 = A exp(jφ) = A₁ + jA₂₁ = A*cosφ; A₂ = A*sinφ;

A = ; φ =

А =  =  = 2

φ = arctg(1/) = 30⁰ = π/6

Таким образом, алгебраическая запись числа а:

а = 1 + i

комплексная запись числа а:

а = 2ехр{i*30⁰}

тригонометрическая запись числа а: а = 2(сos(π/6) + i*sin(π/6))

решим уравнение:

z³ + 1 + i = 0

z³ = - 1 - i

Воспользуемся формулой:

z_n =

n = 3 и k = 1, 2, 3

A = 2

φ = arctg(-1/) = π/6 + π = , тогда

Следовательно корни третей степени будут:

Z₁ =  =

Z₂ =

Z₃ =  =

Для изображения корней на комплексной плоскости запишем для удобства их в виде

Z₁ =  =

Z₂  =

Z₃ =  =

2. Найти неизвестную матрицу Х из заданного уравнения

Х =  + 2

Решение.

Произведем действия над матрицами в правой части уравнения: умножение на число и сложение:

 + 2 =  +  =

Получаем уравнение

Х =

или в операторной форме:

АХ = В, тогда

Х = А^-1В

здесь А^-1 - обратная матрица

найдем обратную матрицу для А =

Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами а_ij. Первый индекс i обозначает номер строки , а второй j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij.

=

Обратную матрицу A^-1, будем искать в следующем виде:

где A_ij = ( -1 ) i+j * M _ij

М _ij это минор элемента а ij, т.е. определитель , полученный вычеркиванием из матрицы А строки с номером i и столбца с номером j. А _ij - это алгебраическое дополнение элемента а ij, или, проще говоря, минор взятый с определенным знаком. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij четная , то алгебраическое дополнение это минор. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij нечетная , то алгебраическое дополнение это минор, взятый со знаком минус. Математически это выражается выражением ( -1 )i+j. Не забудьте обратить внимание на индексы алгебраических дополнений в обратной матрице.

Найдем определитель матрицы А.

A =  = 1 * ( -1) - ( -1) * 2 = ( -1) - ( -2) = 1

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A^-1 существует.

Найдем алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁ . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

=

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₁₁ ) элемента a₁₁.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₁₁, есть число четное ( 1 + 1 = 2 ) и выражение ( -1 )1+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a₁₁ равно минору данного элемента.

₁₁ = ( -1 ) 1+1 * M ₁₁ = ( -1 ) 1+1 * ( -1) = -1

Найдем алгебраическое дополнение A₁₂ элемента a₁₂ . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

=

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₁₂ ) элемента a₁₂.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₁₂, есть число нечетное ( 1 + 2 = 3 ) и выражение ( -1 )1+2 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a12 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

₁₂ = ( -1 ) 1+2 * M ₁₂ = ( -1 ) 1+2 * 2 = -2

Найдем алгебраическое дополнение A₂₁ элемента a₂₁ . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.

=

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₂₁ ) элемента a₂₁.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₂₁, есть число нечетное ( 2 + 1 = 3 ) и выражение ( -1 )2+1 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a21 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

Найдем алгебраическое дополнение A₂₂ элемента a₂₂. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.

=

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₂₂ ) элемента a₂₂.

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₂₂, есть число четное ( 2 + 2 = 4 ) и выражение ( -1 )2+2 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a₂₂ равно минору данного элемента.

₂₂ = ( -1 ) 2+2 * M ₂₂ = ( -1 ) 2+2 * 1 = 1

Осталось, только записать обратную матрицу.

^-1 = 1 / 1 * ^-1 =

Таким образом получаем

Х= *

Произведем умножение матриц:

Х = * =  =  =

Окончательно получаем

Х =

3. Вычислить определитель четвертого порядка

Решение:

Используем следующее свойство определителя :

Если к элементам строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель, то значение определителя не изменится. Для столбцов все аналогично.

Если в какой-нибудь одной строке или одном столбце присутствует только один элемент, отличный от нуля, то преобразовывать определитель нет необходимости. В противном случае, предварительно преобразуем определитель перед разложением.

Найдем det A.

-7 0 2 =

det A = 1 -2 3 17

-1 5 0

-4 2 -5

К элементам столбца 1 прибавляем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 3.

-7 0 2 =

= -5 -2 3 17

-1 5 0

-4 2 -5

К элементам столбца 3 прибавляем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 5.

-7 -35 2 =

= -5 -2 -7 17

-1 0 0

-4 -18 -5

Разлагаем определитель по элементам третьей строки.

-35 2 +

= ( - 1 )3+1 * 0* -2 -7 17

-18 -5

-35 2 +

( - 1 )3+2 * ( -1) * -5 -7 17

-18 -5

-7 2 +

( - 1 )3+3 * 0* -5 -2 17

-4 -5

-7 -35 =

( - 1 )3+4 * 0* -5 -2 -7

-4 -18

-35 2

= 1* -5 -7 17

-18 -5

= 1 detC1 = 1 * 7 = 7

-35 2 == -5 -7 17

-18 -5

Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2 , умноженные на 3.

-14 -49 =

= -5 -7 17

-18 -5

Разлагаем определитель по элементам первой строки.

17 +

= ( - 1 )1+1 * 0* -18 -5

17 +

( - 1 )1+2 * ( -14) * -7 -5

-7 =

( - 1 )1+3 * ( -49) * -7 -18

=14* -5 17 +

-5

=(-49)* -5 -7 =

-18

= 14* ( ( -5) * ( -5) - 17 * ( -7) ) +( -49) * ( ( -5) * ( -18) - ( -7) * ( -7) ) =

Ответ: А = 7

комплексный матрица уравнение определитель

4. Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместимости решить ее

а)по формулам Крамера;

б) методом обратной матрицы;

в) методом Гаусса.

Решение:

Система совместима, если ее главный детерминант не равен нулю.

Det A =  = 1*{(-2)*1-1*(-1)}+4*{6*1-5*1}+3*{6*(-1)-5*1} = 15

Система совместима, следовательно, она имеет единственное решение и матрица главного детерминанта имеет обратную.

а) МЕТОД КРАМЕРА

Имеем расширенную матрицу:

Найдем det A₁ ПОДРОБНО

Определитель det A₁ получается из определителя det A , путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

-4 3 =A₁ = 5 -2 1

-1 1

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3 .

2 -4 3 =

= -1 -1 0

-1 1

Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2 .

-4 3 =

= 0 -1 0

-1 1

Разлагаем определитель по элементам второй строки.

= ( - 1 )2+1 * 0* -4 3 +

1

( - 1 )2+2 * ( -1) * 6 3 +

1

( - 1 )2+3 * 0* 6 -4 =

-1

= ( -1) * 6 3 =

1

= ( -1) * ( 6 * 1 - 3 * 7 ) = ( -1) * ( -15) = 15

Найдем det A₂

Определитель det A₂ получается из определителя det A , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

1 2 3 =A₂ = 6 5 1

6 1

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3.

2 3 =

= 1 -1 0

6 1

К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 1.

3 3 =

= 1 0 0

11 1

Разлагаем определитель по элементам второй строки.

3 +

= ( - 1 )2+1 * 1* 11 1

3 +

( - 1 )2+2 * 0* 5 1

3 =

( - 1 )2+3 * 0* 5 11

3 =

= ( -1) * 11 1

= ( -1) * ( 3 * 1 - 3 * 11 ) = ( -1) * ( -30) = 30

Найдем det A₃

Определитель det A₃ получается из определителя det A , путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

-4 2 =A₃ = 6 -2 5

-1 6

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2.

-4 2 =

= -4 0 -7

-1 6

Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 4.

0 -22 =

= -4 0 -7

-1 6

-4 -7 +

= ( - 1 )1+2 * 0* 5 6

-22 +

( - 1 )2+2 * 0* 5 6

-22 =

( - 1 )3+2 * ( -1) * -4 -7

-22 =

=1* -4 -7

= 1* ( ( -19) * ( -7) - ( -22) * ( -4) ) = 1 * 45 = 45= det A₁ / det A = 15 / 15 = 1= det A₂ / det A = 30 / 15 = 2 = det A₃ / det A = 45 / 15 = 3

б) МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Запишем систему уравнений в матричной форме

* X = B

*  =  

Найдем матицу A^-1, обратную к матрице А, методом алгебраических дополнений. Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij. Первый индекс i обозначает номер строки , а второй j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij.

A = ₁₁ a₁₂ a₁₃

А = a₂₁ a₂₂ a_{23 31} a₃₂ a₃₃

Обратную матрицу A^-1, будем искать в следующем виде:

A₁₁ A₂₁ A₃₁ ^-1 = 1 / det A * A₁₂ A₂₂ A_{32 13} A₂₃ A₃₃

где A_ij = ( -1 ) i+j * M _ij

М _ij это минор элемента а ij, т.е. определитель , полученный вычеркиванием из матрицы А строки с номером i и столбца с номером j. А ij - это алгебраическое дополнение элемента а ij, или, проще говоря, минор взятый с определенным знаком. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij четная , то алгебраическое дополнение это минор. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij нечетная , то алгебраическое дополнение это минор, взятый со знаком минус. Математически это выражается выражением ( -1 )i+j.

Найдем алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁ . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₁₁ ) элемента a₁₁.

₁₁ =  = (-2)*1 - 1*(-1) = -2 +1 = - 1

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₁₁, есть число четное ( 1 + 1 = 2 ) и выражение ( -1 )1+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a11 равно минору данного элемента.

₁₁ = ( -1 ) 1+1 * M ₁₁ = ( -1 ) 1+1 * ( -1) = -1

Найдем алгебраическое дополнение A₁₂ элемента a₁₂ . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₁₂ ) элемента a₁₂.

M₁₂ =  = 6*1 - 1*5 = 6 - 5 = 1

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₁₂, есть число нечетное ( 1 + 2 = 3 ) и выражение ( -1 )1+2 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a₁₂ равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

₁₂ = ( -1 ) 1+2 * M ₁₂ = ( -1 ) 1+2 * 1 = -1

Найдем алгебраическое дополнение A₁₃ элемента a₁₃ . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₁₃ ) элемента a₁₃.

₁₃ = = 6*(-1) - (-2)*5 = -6+10 = 4

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₁₃, есть число четное ( 1 + 3 = 4 ) и выражение ( -1 )1+3 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a₁₃ равно минору данного элемента.

₁₃ = ( -1 ) 1+3 * M ₁₃ = ( -1 ) 1+3 * 4 = 4

Найдем алгебраическое дополнение A₂₁ элемента a₂₁ . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₂₁ ) элемента a₂₁.

M₂₁ =  = (-4)*1 - 3*(-1) = -4 + 3 = -1

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₂₁, есть число нечетное ( 2 + 1 = 3 ) и выражение ( -1 )2+1 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a₂₁ равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

₂₁ = ( -1 ) 2+1 * M ₂₁ = ( -1 ) 2+1 * ( -1) = 1

Найдем алгебраическое дополнение A₂₂ элемента a₂₂ . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₂₂ ) элемента a₂₂.

₂₂ = = 1*1 - 3*5 = 1 - 15 = -14

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₂₂, есть число четное ( 2 + 2 = 4 ) и выражение ( -1 )2+2 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a₂₂ равно минору данного элемента.

₂₂ = ( -1 ) 2+2 * M ₂₂ = ( -1 ) 2+2 * ( -14) = -14

Найдем алгебраическое дополнение A₂₃ элемента a₂₃ . В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₂₃ ) элемента a₂₃.

M₂₃ =  =1*(-1) - (-4)*5 = -1+20 = -19

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₂₃, есть число нечетное ( 2 + 3 = 5 ) и выражение ( -1 )2+3 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a₂₃ равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

₂₃ = ( -1 ) 2+3 * M ₂₃ = ( -1 ) 2+3 * 19 = -19

Найдем алгебраическое дополнение A₃₁ элемента a₃₁ . В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1. Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₃₁ ) элемента a₃₁.

₃₁ =  = (-4)*1 - 3*(-2) = -4+6 = 2

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₃₁, есть число четное ( 3 + 1 = 4 ) и выражение ( -1 )3+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a31 равно минору данного элемента.

₃₁ = ( -1 ) 3+1 * M ₃₁ = ( -1 ) 3+1 * 2 = 2

Найдем алгебраическое дополнение A₃₂ элемента a₃₂ . В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2. Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₃₂ ) элемента a₃₂.

₃₂ = = 1*1 - 3*6 = 1 - 18 = -17

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₃₂, есть число нечетное ( 3 + 2 = 5 ) и выражение ( -1 )3+2 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a₃₂ равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

₃₂ = ( -1 ) 3+2 * M ₃₂ = ( -1 ) 3+2 * ( -17) = 17

Найдем алгебраическое дополнение A₃₃ элемента a₃₃ . В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3. Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором ( M₃₃ ) элемента a₃₃.

₃₃ =  = 1*(-2) - (-4)*6 = -2+24 = 22

Так как сумма номера строки и номера столбца ,на пересечении которых находится элемент a₃₃, есть число четное ( 3 + 3 = 6 ) и выражение ( -1 )3+3 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a₃₃ равно минору данного элемента.

₃₃ = ( -1 ) 3+3 * M ₃₃ = ( -1 ) 3+3 * 22 = 22

Осталось, только записать обратную матрицу.

^-1 = 1 / 15 * ^-1 =

Вернемся к уравнению в матричной форме.

* X = B

Умножим левую и правую часть нашего матричного уравнения на A^-1

^-1 * A * X = A^-1 * B

*  =

 *

X = A^-1 * B

 =  * = (-1/15)*2 + (1/15)*5 + (2/15)*6 = 1= (-1/15)*2 +(-14/15)*5+(17/15)*6 = 2= (4/15)*2 + (-19/15)*5 + (22/15)*6 = 3

Ответ :

 = 1

y = 2

z = 3

в) МЕТОД ГАУССА

Процесс решения системы уравнений методом Гаусса, состоит из двух этапов.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду, путем последовательного исключения переменных.

На втором этапе решения (обратный ход) мы будем последовательно находить переменные из получившейся ступенчатой системы.

Последовательность исключения переменных, Вы можете проследить по выделенным серыми прямоугольниками коэффициентам системы.

На каждом шаге решения справа располагается расширенная матрица, эквивалентная системе уравнений. Расширенная матрица - это просто форма записи нашей системы уравнений, и ничего более (каждая строка матрицы представляет собой уравнение системы).

Прямой ход.

Запишем исходную систему.

Исключим переменную x из всех уравнений, за исключением первого.

Умножим коэффициенты уравнения 1 на -6 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 2.

Умножим коэффициенты уравнения 1 на -5 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 3.

Исключим переменную y из последнего уравнения.

Решать систему уравнений в целых числах удобнее. Поступим следующим образом: Умножим коэффициенты уравнения 2 на 19.

Умножим коэффициенты уравнения 3 на -22.

Прибавим уравнение 2 к уравнению 3.

Обратный ход.

Рассмотрим уравнение 3 последней получившейся системы:

z = - 45

Z = 3

Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы:

y - 323 z = - 133

Из данного уравнения , найдем значение переменной y.

Подставим, ранее найденное, значение переменной z.

y= 17/22 * 3 - 7/22

y = 2

Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы:

- 4 y + 3 z = 2

Из данного уравнения , найдем значение переменной x1.

= 4 y - 3 z + 2

Подставим, ранее найденные, значения переменных y , z .

x= 4*2 - 3*3 + 2 = 1

Ответ:

= 1

y = 2

z = 3

. Даны векторы  в декартовой системе координат. Показать, что векторы  образуют базис. Найти координаты вектора  в этом базисе (написать разложение вектора  в базисе

 = (-7, 0, 1)

 = (1, 1, 1/7)

 = (-3, 0, 1)

 = (1, -1, -1)

Решение.

Проверим линейную зависимость векторов  составив комбинацию:

 ⇒  =

= 1*{0*(-1) - 1*(-1)} - (-3){1*(-1) - (1/7)*(-1)} + 1*{1*1 - 0*(1/7)} = 1 + 3*(-6/7) + 1 = = 2 + (-18/7) = -

Следовательно, система имеет ненулевое решение, так как ее детерминант не равен нулю. Значит вектора  линейно зависимы и образуют базис.

Чтобы разложить вектор  в этом базисе необходимо решить систему линейных уравнений, составленной по характеристическому:

Решим ее

* =

По формулам Крамера

detА =  = -4/7

detA1 =  =

= -7*{0 - 1*(-1)} - (-3){0 - 1*(-1)} + 1*{0-0} = - 7 + 3 = - 4

detA2 =  =

= 1*{0 - 1*(-1)} - (-7){1*(-1) - (1/7)*(-1)} +1*{1*1 - 0} = 1 - 6 + 1= - 4

detA3 =  =

1*{0 - 0} - (-3)*{1*1 - 0} + (-7)*{1*1 - 0} = 0 + 3 - 7 = - 4

l₂ = det A2 / det A = -4 / -(4/7) = 7₃ = det A3 / det A = -4 / -(4/7) = 7

окончательное разложение вектора  по найденному базису :