Средства матричного исчисления уравнений и комплексных чисел
Контрольная
работа по линейной алгебре
Задание 1
Даны
комплексные числа 
и 
.
)
Вычислить 
и 
:
)
Вычислить 
и 
:
)
Вычислить 
и 
:
)
Вычислить 
и 
:
5)
Вычислить 
:
)
Вычислить корни третьей степени из числа 
:
Найдем
модуль и аргумент числа 
:
Тогда
модуль кубических корней будет равен:
А
аргументы корней:
Таким
образом, корни 
имеют вид:
Или,
вычислив синусы и косинусы, в алгебраическом виде:
Задание
2
Вычислить
определитель:
Ответ:
Задание
3
Даны
матрицы:
)
Вычислить 
:
)
Вычислить 
:
)
Вычислить 
:
4)
Вычислить 
:
)
Вычислить 
:
Задание
4
Решить
систему уравнений
а)
С помощью формул Крамера:
Основной
определитель:
Вспомогательные
определители:
Тогда
решение системы уравнений:
б)
Средствами матричного исчисления:
Матричная
запись системы имеет вид:
,
где
комплексный алгебраический матричный
определитель
.
А
ее решение:
Найдем
обратную матрицу:
Тогда
Задание
5
Найти
общее решение системы уравнений
а)
Запишем
правую часть системы в виде матрицы, для удобства вычислений переставив
предварительно уравнения местами (в обратном порядке). И приведем ее к
диагональному виду:
(запись
вида 
означает «от второй строки отнимаем утроенную первую
строку»)
Таким образом, общее решение системы:
б)
Как
и в предыдущем случае, преобразовываем систему к диагональному виду:
В
процессе преобразований одно уравнение оказалось линейно зависимым от
остальных. Таким образом, общее решение имеет вид:
Найти
разложение вектора 
по векторам 
.
Будем искать вектор разложения в виде
Тогда
разложение вектора по векторам - это
решение системы уравнений:
Решим
приведением матрицы к диагональному виду:
Т.е.
разложение вектора имеет вид:
Или
в виде линейной комбинации:
