Устойчивость замкнутых систем с отрицательной обратной связью
Агентство
по образованию Российской Федерации
Государственное
образовательное учреждение высшего профессионального образования
Томский
политехнический университет
Кафедра
ИКСУ
Лабораторная
работа № 6
устойчивость замкнутых систем с
отрицательной обратной связью
Вариант
№3
Томск
2010
Цель работы: исследование характеристик систем с
обратной связью во временной и корневой областях, а также устойчивости
замкнутых систем с отрицательной обратной связью.
Задача 1
Для системы с единичной отрицательной обратной
связью и ПФ прямого пути, равной
,
исследовать положение корня ХП на
комплексной плоскости при различных значениях коэффициента передачи .
Решение
Запишем передаточную функцию
разомкнутой системы:
Так же запишем передаточную функцию
замкнутой системы с единичной отрицательно обратной связью:
,
Её характеристический полином
определяется выражением:
,
где ,
И следовательно:
Исследуем положение корня
характеристического полинома на комплексной плоскости при
различных значениях коэффициента передачи . Примем следующие значения: k=0, k=5, k=50:
С системе Classic построим
корневые плоскости:
По графикам корневых плоскостей
видно, что при увеличении коэффициента передачи k корни
характеристического полинома смещаются влево по вещественной оси
комплексной плоскости.
Ответы на вопросы:
) Траектория корня системы при
изменении имеет вид
луча, лежащего на вещественной оси и направленного влево. При увеличении , корни
смещаются по вещественной оси влево. При корни стремятся к .
). Переходная характеристика, ЛАЧХ и
ФЧХ, АФХ разомкнутой системы при различных значения k показаны на
рисунках:
Из графика переходных процессов
видно, что изменение коэффициента влияет на наклон переходной
характеристики . Чем больше
, тем больше
угол наклона.
Из графика частотных характеристик
видно, что изменение коэффициента влияет на высоту ЛАЧХ. Чем больше , тем выше
проходит характеристика. Изменение коэффициента никак не влияет на ФЧХ: при любом значении
ЛФЧХ будет
равна -900
Из графика АФХ видно, что изменение
коэффициента не влияет
на положение и форму АФХ. Но с ростом снижается быстродействие системы,
АФХ медленнее стремится к нулю.
Переходная характеристика, ЛАЧХ и
ФЧХ, АФХ замкнутой системы при различных значения k показаны на
рисунках:
Из графика переходных процессов
видно, что изменение коэффициента влияет на крутизну (длительность
затухания) переходной характеристики . Чем больше , тем
быстрее система приходит к установившемуся значению.
Из графика частотных характеристик
ЛФЧХ и ЛАЧХ видно, что изменение коэффициента влияет на положение ЛАЧХ. С ростом растет
значение частоты, на которой ЛАЧХ приобретает наклон -20 дБ на декаду. Т.к. ФЧХ
зависит от ЛАЧХ, то изменение коэффициента влияет на положение ФЧХ. Чем больше
, тем выше
частота перегиба ФЧХ
Из графика АФХ видно, что изменение
коэффициента не влияет
на положение и форму АФХ. Но с ростом повышается быстродействие системы.
АФХ быстрее стремится к нулю.
Задача 2
Для системы с единичной
отрицательной обратной связью и ПФ прямого пути, равной
построить корневой годограф при
изменении в диапазоне
существенных изменений корней. Рассчитать ПФ замкнутой системы и привести ее к
типовому виду
.
Определить параметры этой ПФ для
Решение
Передаточная функция замкнутой
системы с единичной отрицательной обратной связью равна:
Характеристический полином замкнутой системы
равен:
Из рисунке видно, что при корни
располагаются на вещественной оси. Координаты этих корней: (-10;0) и . Далее, при
увеличении k до 4, корни
сближаются и равномерно удаляются от оси. Координаты этих корней:
(-5 ; 3,87) и (-5 ; -3,87).
Рассчитаем параметры для
передаточной функции
Ответы на вопросы:
) Как будут располагаться на
комплексной плоскости корни полинома при ?
Корни будут располагаться на
вещественной оси, в левой и правой полуплоскостях:
По графику корневой плоскости видно,
что при увеличении k от 0 до бесконечности, корни будут
расходиться равномерно по вещественной оси в стороны от точки (-5 ; 0)
) Как изменяется переходная
характеристика замкнутой системы при изменении коэффициента в
диапазонах ?
отрицательный обратный связь
замкнутый
При малом k,
например k=1, переходная
характеристика замкнутой системы становится похожей на переходную
характеристику апериодического звена 1-го порядка. С увеличением коэффициента k,
например к=50, переходная характеристика становится похожей на переходную
характеристику устойчивого колебательного звена 2-го порядка. Т.е. чем больше k,
тем быстрее система приходит к установившемуся значению.
Задача 3
построить корневой годограф при
изменении в диапазоне
существенных изменений корней. Определить критическое значение , при
котором замкнутая система находится на границе устойчивости. Исследовать
временные и частотные характеристики замкнутой системы при .
Решение
Характеристический полином замкнутой
системы:
Построим корни характеристического
полинома D(s) возрастающих
k:
При k=0
При k=1 и
k=2:
При k=3 и
k=4:
По рисункам видна тенденция
распространения корней в плоскости.
Определим по методу
Гурвица:
Покажем переходную характеристику,
АФХ, ЛАЧХ и ФЧХ замкнутой системы при k=:
Переходная характеристика, ЛАЧХ и
ФЧХ, АФХ замкнутой системы при
Переходная характеристика, ЛАЧХ и
ФЧХ, АФХ замкнутой системы при :
Ответить на вопросы:
) Какой вид имеют частотные
характеристики системы в разомкнутом состоянии при ?
ЛАЧХ и ФЧХ, АФХ разомкнутой системы
при на рисунке:
) Чему равны запасы
устойчивости замкнутой системы по амплитуде и по фазе при ?
Запасы устойчивости приведены на рисунках:
При
При
По рисункам видно, что запасы
устойчивости для 9,65
децибел по амплитуде и 25,75 градусов по фазе, а для запасы
устойчивости по амплитуде 8,98, а по фазе 19,39 градусов.
Вывод:
В данной лабораторной работы провели
исследование систем с отрицательной обратной связью, для этого использовали
замкнутые и разомкнутые системы и также определили устойчивость систем с
отрицательной обратной связью.