Устойчивость замкнутых систем с отрицательной обратной связью

Устойчивость замкнутых систем с отрицательной обратной связью

Агентство по образованию Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Томский политехнический университет

Кафедра ИКСУ

Лабораторная работа № 6

устойчивость замкнутых систем с

отрицательной обратной связью

Вариант №3

Томск 2010

Цель работы: исследование характеристик систем с обратной связью во временной и корневой областях, а также устойчивости замкнутых систем с отрицательной обратной связью.

Задача 1

Для системы с единичной отрицательной обратной связью и ПФ прямого пути, равной

,

исследовать положение корня ХП  на комплексной плоскости при различных значениях коэффициента передачи .

Решение

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:

Так же запишем передаточную функцию замкнутой системы с единичной отрицательно обратной связью:

,

Её характеристический полином определяется выражением:

,

где ,  

И следовательно:

Исследуем положение корня характеристического полинома  на комплексной плоскости при различных значениях коэффициента передачи . Примем следующие значения: k=0, k=5, k=50:

С системе Classic построим корневые плоскости:

По графикам корневых плоскостей видно, что при увеличении коэффициента передачи k корни характеристического полинома  смещаются влево по вещественной оси комплексной плоскости.

Ответы на вопросы:

) Траектория корня системы при изменении  имеет вид луча, лежащего на вещественной оси и направленного влево. При увеличении , корни смещаются по вещественной оси влево. При  корни стремятся к .

). Переходная характеристика, ЛАЧХ и ФЧХ, АФХ разомкнутой системы при различных значения k показаны на рисунках:

Из графика переходных процессов видно, что изменение коэффициента  влияет на наклон переходной характеристики . Чем больше , тем больше угол наклона.

Из графика частотных характеристик видно, что изменение коэффициента  влияет на высоту ЛАЧХ. Чем больше , тем выше проходит характеристика. Изменение коэффициента  никак не влияет на ФЧХ: при любом значении ЛФЧХ будет равна -90⁰

Из графика АФХ видно, что изменение коэффициента  не влияет на положение и форму АФХ. Но с ростом  снижается быстродействие системы, АФХ медленнее стремится к нулю.

Переходная характеристика, ЛАЧХ и ФЧХ, АФХ замкнутой системы при различных значения k показаны на рисунках:

Из графика переходных процессов видно, что изменение коэффициента  влияет на крутизну (длительность затухания) переходной характеристики . Чем больше , тем быстрее система приходит к установившемуся значению.

Из графика частотных характеристик ЛФЧХ и ЛАЧХ видно, что изменение коэффициента  влияет на положение ЛАЧХ. С ростом  растет значение частоты, на которой ЛАЧХ приобретает наклон -20 дБ на декаду. Т.к. ФЧХ зависит от ЛАЧХ, то изменение коэффициента  влияет на положение ФЧХ. Чем больше , тем выше частота перегиба ФЧХ

Из графика АФХ видно, что изменение коэффициента  не влияет на положение и форму АФХ. Но с ростом  повышается быстродействие системы. АФХ быстрее стремится к нулю.

Задача 2

Для системы с единичной отрицательной обратной связью и ПФ прямого пути, равной

построить корневой годограф при изменении  в диапазоне существенных изменений корней. Рассчитать ПФ замкнутой системы и привести ее к типовому виду

.

Определить параметры  этой ПФ для  

Решение

Передаточная функция замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью равна:

Характеристический полином замкнутой системы равен:

Из рисунке видно, что при  корни располагаются на вещественной оси. Координаты этих корней: (-10;0) и . Далее, при увеличении k до 4, корни сближаются и равномерно удаляются от оси. Координаты этих корней:

(-5 ; 3,87) и (-5 ; -3,87). Рассчитаем параметры  для передаточной функции

Ответы на вопросы:

) Как будут располагаться на комплексной плоскости корни полинома  при ?

Корни будут располагаться на вещественной оси, в левой и правой полуплоскостях:

По графику корневой плоскости видно, что при увеличении k от 0 до бесконечности, корни будут расходиться равномерно по вещественной оси в стороны от точки (-5 ; 0)

) Как изменяется переходная характеристика замкнутой системы при изменении коэффициента  в диапазонах ?

отрицательный обратный связь замкнутый

При малом k, например k=1, переходная характеристика замкнутой системы становится похожей на переходную характеристику апериодического звена 1-го порядка. С увеличением коэффициента k, например к=50, переходная характеристика становится похожей на переходную характеристику устойчивого колебательного звена 2-го порядка. Т.е. чем больше k, тем быстрее система приходит к установившемуся значению.

Задача 3

построить корневой годограф при изменении  в диапазоне существенных изменений корней. Определить критическое значение , при котором замкнутая система находится на границе устойчивости. Исследовать временные и частотные характеристики замкнутой системы при .

Решение

Характеристический полином замкнутой системы:

Построим корни характеристического полинома D(s) возрастающих k:

При k=0

При k=1 и k=2:

При k=3 и k=4:

По рисункам видна тенденция распространения корней в плоскости.

Определим  по методу Гурвица:

Покажем переходную характеристику, АФХ, ЛАЧХ и ФЧХ замкнутой системы при k=:

Переходная характеристика, ЛАЧХ и ФЧХ, АФХ замкнутой системы при

Переходная характеристика, ЛАЧХ и ФЧХ, АФХ замкнутой системы при :

Ответить на вопросы:

)        Какой вид имеют частотные характеристики системы в разомкнутом состоянии при ?

ЛАЧХ и ФЧХ, АФХ разомкнутой системы при  на рисунке:

)        Чему равны запасы устойчивости замкнутой системы по амплитуде  и по фазе  при ?

Запасы устойчивости приведены на рисунках:

При

При

По рисункам видно, что запасы устойчивости для  9,65 децибел по амплитуде и 25,75 градусов по фазе, а для  запасы устойчивости по амплитуде 8,98, а по фазе 19,39 градусов.

Вывод:

В данной лабораторной работы провели исследование систем с отрицательной обратной связью, для этого использовали замкнутые и разомкнутые системы и также определили устойчивость систем с отрицательной обратной связью.