Исследование законов регулирования и расчет параметров настройки линейных автоматических регуляторов

Исследование законов регулирования и расчет параметров настройки линейных автоматических регуляторов

МИНИСТЕРСТВО ЭНЕРГЕТИКИ И УГОЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ УКРАИНЫ

СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ

Институт энергетики АЭС

Кафедра автоматизации технологических процессов и производств

Пояснительная записка

к расчетно-графической работе №2

по дисциплине: «Теория автоматического управления»

на тему: «Исследование законов регулирования и расчет параметров настройки линейных автоматических регуляторов»

Севастополь 2012 г.

Содержание

Задание на выполнение расчетно-графической работы №

. Расчетная структурная схема САР

. Разгонная характеристика объекта регулирования и определение параметров, характеризующие инерционные свойства объекта

. Построение переходного процесса САР с различными типами (П-, И-, ПИ-, ПД-, ПИД) регуляторов при внесении ступенчатого возмущения со стороны регулирующего органа

. Расчет показателей качества САР

. Сравнительная оценка САР с различными типами регуляторов по показателям качества

. Расчет параметров настройки П-, И-, ПИ-, ПИД-регуляторов по амплитудно-фазовой характеристике объекта регулирования

. Расчет параметров настройки П-, ПИ-, ПИД-регуляторов по разгонной характеристике объекта регулирования

. Построение переходных процессов САР с оптимальными параметрами настройки регуляторов

. Расчет показателей качества САР с регуляторами, имеющими оптимальные параметры настройки.

. Сравнительная оценка САР с регуляторами, имеющими произвольные (исходные) и оптимальные (рассчитанные) параметры настройки, по показателям качества

. Выводы

Список используемой литературы

регулятор автоматический фазовый

Задание на выполнение расчетно-графической работы №2.

Уравнение объекта регулирования

Уравнение объекта при воздействии регулятора

Уравнение кривой разгона объекта регулирования

1. Расчетная структурная схема САР.

Рис.1.1. Структурная схема САР.

- регулируемая величина;

- задающее воздействие (уставка);

- отклонение регулируемой величины (сигнал рассогласования);

- регулирующее воздействие;

- воздействие со стороны регулирующего органа.

Структурная схема САР имеет два независимых входа: ,. Для систем стабилизации () практический интерес представляет реакция САР на воздействие со стороны регулирующего органа, поэтому в качестве основного входа принимается воздействие  и расчетная структурная схема САР будет иметь вид:

Рис.1.2. Расчетная структурная схема САР.

2. Разгонная характеристика объекта регулирования и определение параметров, характеризующие инерционные свойства объекта

Построим разгонную характеристику по данному уравнению асимптоты к кривой разгона объекта регулирования.

Так как нам дана асимптота, то разгонная характеристика относится к объекту регулирования без самовыравнивания.

Рис.2.1. Разгонная характеристика

Определим параметры, характеризующие инерционные свойства объекта:

степень самовыравнивания: объект регулирования без самовыравнивания, поэтому этот параметр отсутствует.

постоянная времени:

время запаздывания:

скорость разгона:

3. Построение переходного процесса САР с различными типами (П-, И, ПИ-, ПД-, ПИД) регуляторов при внесении ступенчатого возмущения со стороны регулирующего органа

Изменение регулируемой величины во времени  при приложении к входу САР единичного ступенчатого воздействия определяет переходный процесс системы. Переходный процесс характеризует динамические свойства САР.

Чтобы построить график переходного процесса, будем использовать прямой аналитический метод, основанной на решении уравнения САР.

Для определения аналитического выражения переходного процесса САР необходимо из уравнения объекта с учетом регулирующего воздействия и уравнения регулятора (закона регулирования) получить дифференциальное уравнение всей системы.

Переходной процесс САР с П-регулятором

Уравнение объекта с учетом регулирующего воздействия:

Уравнение П-регулятора:

Продифференцируем уравнения (3.1) и (3.2):

Подставим уравнение (3.4) в уравнение (3.3):

В уравнении (3.5) перенесем в левую часть все члены с производной выходной переменной, а в правой части оставим член с производной входной переменной, и разделим обе части уравнения на коэффициент  при производной входной переменной:

При ступенчатом возмущении на входе системы после внесения возмущения, то есть при , скорость изменения входного параметра , поэтому получаем однородное дифференциальное уравнение.

Используя преобразование Лапласа, запишем уравнение (4.6) в операторной форме:

Нормализуем уравнение (3.7), разделив каждый член уравнения на коэффициент при изображении выходного параметра

Тогда характеристическое уравнение САР будет иметь вид:

Получим общее решение уравнения (3.5), для этого вычислим корни  и  характеристического уравнения (3.9).

Корни вещественные, поэтому общее решение будет иметь вид:

Определим постоянные интегрирования  и  из начальных условий при

решив систему уравнений:

Получив общее решение  исходного дифференциального уравнения САР с учетом численных значений постоянных интегрирования, зададимся значениями времени , вычислим соответствующие значения регулируемого параметра . Результаты запишем в таблицу 3.1.

Таблица 3.1. Данные переходного процесса САР с П-регулятором.

По данным таблицы 3.1. построим график переходного процесса САР с П-регулятором.

Рис.3.1. График переходного процесса САР с П-регулятором.

Аналогичные действия проводим для САР с И-, ПИ-, ПД- и ПИД-регуляторами.

Переходной процесс САР с И-регулятором.

Уравнение объекта с учетом регулирующего воздействия:

Уравнение И-регулятора:

Продифференцируем уравнения:

Сделаем подстановку:

Корни комплексные. Следовательно:

Найдем  и  при .

Результаты запишем в таблицу 3.2.

Таблица 3.2. Данные переходного процесса САР с И-регулятором.

По данным таблицы 3.2. построим график переходного процесса САР с И-регулятором.

Рис.3.2. График переходного процесса САР с И-регулятором.

Переходной процесс САР с ПИ-регулятором.

Уравнение объекта с учетом регулирующего воздействия:

Уравнение ПИ-регулятора:

Продифференцируем уравнения:

Сделаем подстановку:

Корни комплексные и сопряженные. Следовательно:

Найдем  и  при .

Результаты запишем в таблицу 3.3.

Таблица 3.3. Данные переходного процесса САР с ПИ-регулятором.

По данным таблицы 3.3. построим график переходного процесса САР с ПИ-регулятором.

Рис.3.3. График переходного процесса САР с ПИ-регулятором.

Переходной процесс САР с ПД-регулятором.

Уравнение объекта с учетом регулирующего воздействия:

Уравнение ПД-регулятора:

Продифференцируем уравнения:

Сделаем подстановку:

Корни вещественные. Следовательно:

Результаты запишем в таблицу 3.4.

Таблица 3.4. Данные переходного процесса САР с ПД-регулятором.

По данным таблицы 3.4. построим график переходного процесса САР с ПД-регулятором.

Рис.3.4. График переходного процесса САР с ПД-регулятором.

Переходной процесс САР с ПИД-регулятором.

Уравнение объекта с учетом регулирующего воздействия:

Уравнение ПИД-регулятора:

Продифференцируем уравнения:

Сделаем подстановку:

Корни комплексные и сопряженные. Следовательно:

Найдем  и  при .

Результаты запишем в таблицу 3.5.

Таблица 3.5. Данные переходного процесса САР с ПИД-регулятором.

По данным таблицы 3.5. построим график переходного процесса САР с ПИД-регулятором.

Рис.3.5. График переходного процесса САР с ПИД-регулятором.

. Расчет показателей качества САР

Косвенные показатели качества САР с П-, И-, ПИ-, ПД-, ПИД-регуляторами

Косвенные показатели качества САР с П-регулятором.

Рис.4.1. Расположение корней характеристического уравнения САР на комплексной плоскости для П-регулятора.

Степень устойчивости.

Степень устойчивости  характеризуется абсолютной величиной вещественной части (расстоянием) ближайшего к мнимой оси  корня или пары корней:

  - САР устойчива.

Степень колебательности.

Степень колебательности  характеризуется углом  между лучами, проведенными из начала координат через ближайшие к мнимой оси  комплексные корни.

Косвенные показатели качества САР с И-регулятором.

Рис.4.2. Расположение корней характеристического уравнения САР на комплексной плоскости для И-регулятора.

Косвенные показатели качества САР с ПИ-регулятором.

Рис.4.3. Расположение корней характеристического уравнения САР на комплексной плоскости для ПИ-регулятора.

Косвенные показатели качества САР с ПД-регулятором.

Рис.4.4. Расположение корней характеристического уравнения САР на комплексной плоскости для ПД-регулятора.

Косвенные показатели качества САР с ПИД-регулятором.

Рис.4.5. Расположение корней характеристического уравнения САР  на комплексной плоскости для ПИД-регулятора.

Прямые показатели качества САР с П-, И-, ПИ-, ПД-, ПИД-регуляторов

Прямые показатели качества САР с П-регулятором.

Рис.4.6. Определение прямых показателей качества для САР с П-регулятором

.

Так как переходной процесс монотонный статический, то данному переходному процессу соответствуют следующие прямые показатели качества:

Такие показатели как: динамическая ошибка, перерегулирование, колебательность, степень затухания, декремент затухания отсутствуют, так как переходной процесс системы монотонный.

Прямые показатели качества САР с И-регулятором.

Рис.4.7. Определение прямых показателей качества для САР с И-регулятором.

Переходной процесс колебательный незатухающий (астатический).

Такие прямые показатели качества как: время регулирования, статическая ошибка, динамическая ошибка, перерегулироваие отсутствуют, так как переходной процесс системы колебательный незатухающий (астатический).

Прямые показатели качества САР с ПИ-регулятором.

Рис.4.8. Определение прямых показателей качества для САР с ПИ-регулятором.

Так как переходной процесс колебательный астатический, то данному переходному процессу соответствуют следующие прямые показатели качества:

Такие прямые показатели качества как: статическая ошибка, перерегулироваие отсутствуют, так как переходной процесс системы колебательный астатический.

Прямые показатели качества САР с ПД-регулятором.

Рис.4.9. Определение прямых показателей качества для САР с ПД-регулятором

.

Так как переходной процесс монотонный статический, то данному переходному процессу соответствуют следующие прямые показатели качества:

Прямые показатели качества САР с ПИД-регулятором.

Рис.4.10. Определение прямых показателей качества для САР с ПИД-регулятором.

Так как переходной процесс колебательный астатический, то данному переходному процессу соответствуют следующие прямые показатели качества:

. Сравнительная оценка САР с различными типами регуляторов по показателям качества

 - степень устойчивости;

 - степень колебательности;

 - время регулирования;

 - статическая ошибка (установившаяся ошибка);

 - динамическая ошибка (максимальное отклонение);

 - перерегулирование;

 - колебательность;

 - степень затухания;

 - декремент затухания.

6. Расчет параметров настройки П-, И-, ПИ-, ПИД-регуляторов по амплитудно-фазовой характеристике объекта регулирования

Расчет настройки П-регулятора.

Заданное уравнение объекта регулирования:

Определим передаточную функцию с учетом того, что изображением функции входного сигнала  является функция .

Определим частотную функцию.

Выделим вещественную  и мнимую части :

Зададимся значениями частоты  от  до  вычислим соответствующие значения вещественной и мнимой частей частотной функции. Расчеты запишем в таблицу 6.1.

Далее по данным таблицы 6.1 на комплексной плоскости построим амплитудно-фазовую характеристику (АФХ).

На этом же графике построим окружность в точке  радиусом , где

 - показатель колебательности (в данной работе принимаем )

На этом же графике построим луч ОО1 под углом .

Таблица 6.1.

Рис.6.1. Расчет настройки П-регулятора.

Окружность с центром на отрицательной вещественной полуоси, должна касаться одновременно АФХ объекта регулирования  и луча . Таким образом, определяем численное значение радиуса окружности .

Определяем оптимальное значение коэффициента передачи :

Расчет настройки И-регулятора.

Расчет настройки И-регулятора производится для САР объекта, обладающего свойством самовыравнивания.

Наша САР не обладает свойством самовыравнивания, поэтому расчет настройки проводиться не будет.

Расчет настройки ПИ-регулятора.

Строим АФХ объекта регулирования  (также как в пункте 6.1.).

На этой характеристике в третьем квадранте комплексной плоскости выбираем пять точек , соответствующих частотам .

Из начала координат проводятся векторы . К концам векторов восстанавливаются перпендикуляры (по часовой стрелке).

В окрестности заданного значения времени изодрома регулятора  выберем пять значений .

На каждом перпендикуляре из конца вектора откладываются пять отрезков длиной .

Соединим полученные точки с одинаковыми значениями времени изодрома  и получим семейство АФХ разомкнутой системы

На этом же графике построим луч  под углом .

Подберем и проведем окружности с центрами на отрицательной вещественной полуоси  касающиеся одновременно луча  и одной из семейства АФХ разомкнутой системы .

Рис. 6.2. Расчет настройки ПИ-регулятора.

Определим численные значения радиусов окружности  и соответствующих коэффициентов передачи регулятора .

Далее построим кривую границы области устойчивости системы  

Рис.6.3. Граница области устойчивости САР с ПИ-регулятором.

Оптимальные значения параметров настройки ПИ-регулятора:

Расчет настройки ПИД-регулятора.

Строим АФХ объекта регулирования  (также как в пункте 6.1.).

На этой характеристике в третьем квадранте комплексной плоскости выбираем пять точек , соответствующих частотам .

Из начала координат проводятся векторы . К концам векторов восстанавливаются перпендикуляры (в обе стороны).

Выберем пять значений изодрома  так, чтобы отношение  было близко к 0,5.

На каждом перпендикуляре из конца вектора откладываются пять отрезков длиной:

Направление, в котором откладываются отрезки, зависит от частоты: если , то отрезки откладываются на перпендикуляре из конца вектора по часовой стрелке;

если  - против часовой стрелки.

Соединим полученные точки с одинаковыми значениями времени изодрома  и получим семейство АФХ разомкнутой системы

На этом же графике построим луч  под углом .

Подберем и проведем окружности с центрами на отрицательной вещественной полуоси  касающиеся одновременно луча  и одной из семейства АФХ разомкнутой системы .

Рис. 6.4. Расчет настройки ПИД-регулятора.

Определим численные значения радиусов окружности  и соответствующих коэффициентов передачи регулятора .

Далее построим кривую границы области устойчивости системы  

Рис.6.5. Граница области устойчивости САР с ПИД-регулятором.

Оптимальные значения параметров настройки ПИД-регулятора:

7. Расчет параметров настройки П-, ПИ-, ПИД-регуляторов по разгонной характеристике объекта регулирования

Параметры, характеризующие динамические свойства объекта:

В нашем случае переходные процессы характеризуются степенью затухания  и минимумом квадратичного интегрального критерия.

Расчет параметров настройки П-регулятора.

Расчет параметров настройки ПИ-регулятора.

Расчет параметров настройки ПИД-регулятора.

8. Построение переходных процессов САР с оптимальными параметрами настройки регуляторов

Оптимальная переходная характеристика для П-регулятора ().

Таблица 8.1. Данные оптимального переходного процесса САР с П-регулятором.

Рис.8.1. График оптимального переходного процесса САР с П-регулятором.

Оптимальная переходная характеристика для ПИ-регулятора.

.

Таблица 8.2. Данные оптимального переходного процесса САР с ПИ-регулятором.

Рис.8.2. График оптимального переходного процесса САР с ПИ-регулятором.

Оптимальная переходная характеристика для ПИД-регулятора.

Таблица 8.3. Данные оптимального переходного процесса САР с ПИД-регулятором.

Рис.8.3. График оптимального переходного процесса САР с ПИД-регулятором.

. Расчет показателей качества САР с регуляторами, имеющими оптимальные параметры настройки

Косвенные показатели качества САР с П-, ПИ-, ПИД-регуляторами, имеющими оптимальные параметры настройки.

Косвенные показатели качества САР с П-регулятором, с оптимальными настройками.

Рис.9.1. Расположение корней характеристического уравнения САР  на комплексной плоскости для П-регулятора с оптимальными настройками.

Косвенные показатели качества САР с ПИ-регулятором, с оптимальными настройками.

Рис.9.2. Расположение корней характеристического уравнения САР

на комплексной плоскости для ПИ-регулятора с оптимальными настройками.

Косвенные показатели качества САР с ПИД-регулятором, с оптимальными настройками.

Рис.9.3. Расположение корней характеристического уравнения САР на комплексной плоскости для ПИД-регулятора с оптимальными настройками.

Прямые показатели качества САР с П-, ПИ-, ПИД-регуляторами, имеющими оптимальные параметры настройки.

Прямые показатели качества САР с П-регулятором, с оптимальными настройками.

Рис.9.4. Определение прямых показателей качества для САР с П-регулятором

.

Прямые показатели качества САР с ПИ-регулятором, с оптимальными настройками

Рис.9.5. Определение прямых показателей качества для САР с ПИ-регулятором.

Прямые показатели качества САР с ПИД-регулятором, с оптимальными настройками.

Рис.9.6. Определение прямых показателей качества для САР с ПИД-регулятором.

. Сравнительная оценка САР с регуляторами, имеющими произвольные (исходные) и оптимальные (рассчитанные) параметры настройки, по показателям качества

Регуляторы, имеющие исходные параметры

Таблица 10.1.

 - степень устойчивости;

 - степень колебательности;

 - время регулирования;

 - статическая ошибка (установившаяся ошибка);

 - динамическая ошибка (максимальное отклонение);

 - перерегулирование;

 - колебательность;

 - степень затухания;

 - декремент затухания.

Регуляторы, имеющие рассчитанные параметры.

Таблица 10.2.

После применения рассчитанных параметров настроек значительно увеличилась степень устойчивости у П-, ПИ-, ПИД регуляторов, т.о. система стала более устойчивой, а также уменьшилась степень колебательности у ПИ- и ПИД-регуляторов, это нам говорит о том, что увеличилась плавность протекания переходных процессов.

Что касается прямых показателей, то мы видим:

уменьшение времени регулирования у всех регуляторов (увеличение быстродействия);

уменьшение статической ошибки у П-регулятора (увеличение точности);

уменьшение колебательности и увеличение степени затухания у ПИ- и ПИД-регуляторов (увеличилась плавность протекания переходных процессов);

увеличение динамической ошибки у ПИ- и ПИД-регуляторов (уменьшение точности).

11. Выводы

При исследовании законов регулирования линейных автоматических регуляторов были выполнены следующие задачи:

Была составлена расчетная структурная схема и построена разгонная характеристика объекта регулирования по которой были найдены параметры, характеризующие инерционные свойства объекта, а именно:

постоянная времени: ;

время запаздывания: ;

скорость разгона: ;

воздействие со стороны регулирующего органа: ;

коэффициент усиления: .

Были построены переходные процессы САР с П-, И-, ПИ-, ПД-, ПИД-регуляторами, по которым были найдены косвенные и прямые показатели качества системы. Составлена сравнительная оценка САР с различными типами регуляторов по показателям качества. Самыми выгодными оказались ПИ- и ПИД-регуляторы.

Рассчитаны параметры настройки для П-, ПИ-, ПИД-регуляторов (для И-регулятора параметры настройки не вычисляли, т.к. система без самовыравнивания) по АФХ и разгонной характеристике объекта регулирования.

С учетом рассчитанных параметров настройки построены переходные характеристики П-ПИ-, ПИД-регуляторов и были определены косвенные и прямые показатели качества.

Составлена сравнительная оценка САР с регуляторами, имеющими исходные и рассчитанные параметры настройки, по показателям качества.

Список используемой литературы

Савин М.М., Елсуков В.С., Пятина О.Н. Теория автоматического управления. Учебное пособие. Р-Д.: Феникс, 2007. -460с.

Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. 3-е издание. С-П.: Профессия, 2003. -743с.

Ротач В.Я. Теория автоматического управления. Учебник для вузов.М.: Издательский дом МЭИ, 2008. -390с.

Дикусар Ю.Г. Теория автоматического управления: расчетно-графические работы и курсовой проект / Ю.Г. Дикусар, К.П. Аникевич. - Севастополь: СНУЯЭиП, 2009. - 196 с.