Методы и модели в экономике
Методы и модели в экономике
1. Сетевое планирование
и управление
Выполнить следующие задания:
1.
Построить график выполнения работ.
2.
Упорядочить построенный график.
3.
Построить взвешенный сетевой график выполнения работ.
4.
Провести анализ построенного сетевого графика.
5.
Сформировать практические выводы по результатам анализа.
6.
Оптимизировать (нормальный вариант) сетевой график по критерию
минимизации затрат при заданной продолжительности выполнения всего комплекса
работ.
7.
Проверить полученный результат оптимизации другим способом
оптимизации (ускоренный вариант) сетевого графика.
Для выполнения каждого из вариантов
заданий использовать следующие данные о выполнении работ и связанных с ними
затрат:
|
Работы
|
Нормальный вариант
|
Ускоренный вариант
|
Прирост затрат на одни сутки ускорения
|
|
Время (сутки)
|
Затраты (у. е.)
|
Время (сутки)
|
Затраты (у. е.)
|
|
|
изготовление деталей
|
4
|
100
|
3
|
120
|
20
|
|
закупка дополнительного оборудования
|
10
|
150
|
5
|
225
|
15
|
|
сборка блоков
|
6
|
50
|
4
|
100
|
25
|
|
подготовка документации
|
5
|
70
|
2
|
100
|
10
|
|
установка дополнительного оборудования
|
12
|
250
|
6
|
430
|
30
|
|
составление инструкций
|
11
|
260
|
6
|
435
|
35
|
|
компоновка изделия
|
9
|
180
|
6
|
300
|
40
|
|
ВСЕГО
|
1060
|
ВСЕГО
|
1710
|
|
Задания выполнить по следующим
вариантам работ, соединяющих события:
При заданной продолжительности
выполнения всего комплекса работ за 21 сутки
|
События (предки)
|
Начало работ
|
готовность деталей
|
готовность документации
|
поступление дополнительного оборудования
|
готовность блоков
|
|
События (потомки)
|
|
|
|
|
|
|
Готовность деталей
|
изготовление деталей
|
|
|
|
|
|
Готовность документации
|
|
подготовка документации
|
|
установка дополнительного оборудования
|
составление инструкций
|
|
поступление дополнительного оборудования
|
закупка дополнительного оборудования
|
|
|
|
|
|
готовность блоков
|
|
сборка блоков
|
|
|
|
|
готовность изделия
|
|
|
компоновка изделия
|
|
|
Построим график выполнения работ.
Построим взвешенный
график выполнения работ.
Веса означают: первый
вес - нормальный срок, второй вес - ускоренный срок.
Упорядочим график по
алгоритму Фалкерсона:
В итоге, построим
сетевой график выполнения работ.
Проведем анализ сетевого
графика:
|
Полные пути
|
Продолжительность (сутки)
|
|
Нормальный режим
|
Ускоренный режим
|
|
1 - 2 - 4 - 5 - 6
|
30
|
19
|
|
1 - 2 - 5 - 6
|
18
|
11
|
|
1 - 3 - 5 - 6
|
31
|
17
|
Путь 1 - 3 - 5 - 6 - наиболее
продолжительный из полных путей называется критическим.
/17 - это минимальное время
выполнения работ для достижения поставленной задачи является критическим
сроком.
Оптимизацию можно провести двумя
способами.
Первый способ заключается в
уменьшении продолжительности выполнения работ, осуществляемых в нормальном
режиме, начиная с тех, которые дают наименьший прирост затрат.
Представим алгоритм решения
поставленной оптимизационной задачи первым способом в таблице:
|
№ шага
|
Суточный прирост затрат
|
Работа
|
Количество сокращаемых суток
|
Продолжительность полного
пути
|
Общий прирост затрат
|
|
|
|
|
1-2-5-6
|
1-2-4-5-6
|
1-3-5-6
|
|
|
0
|
-
|
-
|
-
|
18
|
30
|
31
|
-
|
|
1
|
10
|
2-5
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
2
|
15
|
1-3
|
5
|
-
|
-
|
26
|
+75
|
|
3
|
20
|
1-2
|
1
|
-
|
29
|
-
|
+20
|
|
4
|
25
|
2-4
|
2
|
-
|
27
|
-
|
+50
|
|
5
|
30
|
3-5
|
5
|
-
|
-
|
21
|
+150
|
|
6
|
35
|
4-5
|
5
|
-
|
22
|
-
|
+175
|
|
7
|
40
|
5-6
|
1
|
-
|
21
|
-
|
+40
|
|
В С Е Г О
|
+510
|
Итак, при снижении продолжительности
выполнения всего комплекса работ с 31 суток до 21 сутки оптимальные затраты
составляют 1060 + 510 = 1570 (у. е.).
Второй способ заключается в
увеличении продолжительности выполнения работ, осуществляемых в ускоренном
режиме, начиная с тех, которые дают наибольший прирост затрат.
Представим алгоритм решения поставленной
оптимизационной задачи вторым способом в таблице:
|
№ шага
|
Суточный прирост затрат
|
Работа
|
Количество наращиваемых суток
|
Продолжительность полного
пути
|
Общее снижение затрат
|
|
|
|
|
1-2-4-5-6
|
1-3-5-6
|
1-2-5-6
|
|
|
0
|
-
|
-
|
-
|
19
|
17
|
11
|
-
|
|
1
|
40
|
5-6
|
2
|
21
|
19
|
13
|
-80
|
|
2
|
30
|
3-5
|
2
|
-
|
21
|
-
|
-60
|
|
В С Е Г О
|
-140
|
Итак, при повышении
продолжительности выполнения всего комплекса ускоренного режима работ до 21
суток оптимальные затраты составляют 1710 - 140 = 1570 (у. е.).
Отметим, что конечные результаты
оптимизации как для нормального режима, так и для ускоренного режима выполнения
работ должны совпадать.
При заданной продолжительности
выполнения всего комплекса работ за 19 суток
|
События (предки)
|
начало работ
|
готовность деталей
|
готовность документации
|
поступление дополнительного оборудования
|
готовность блоков
|
|
События (потомки)
|
|
|
|
|
|
|
готовность деталей
|
изготовление деталей
|
|
|
|
|
|
готовность документации
|
|
подготовка документации
|
|
|
|
|
поступление дополнительного оборудования
|
закупка дополнительного оборудования
|
|
|
|
|
|
готовность блоков
|
|
сборка блоков
|
составление инструкций
|
|
|
|
готовность изделия
|
|
|
|
установка дополнительного оборудования
|
компоновка изделия
|
Построим график выполнения работ.
Построим взвешенный
график выполнения работ.
Веса означают: первый
вес - нормальный срок, второй вес - ускоренный срок.
Упорядочим график по
алгоритму Фалкерсона:
В итоге, построим
сетевой график выполнения работ.
Проведем анализ сетевого
графика:
|
Полные пути
|
Продолжительность (сутки)
|
|
Нормальный режим
|
Ускоренный режим
|
|
1 - 2 - 4 - 5 - 6
|
29
|
17
|
|
1 - 2 - 5 - 6
|
19
|
13
|
|
1 - 3 - 6
|
22
|
11
|
Путь 1 - 2 - 4 - 5 - 6 - наиболее
продолжительный из полных путей называется критическим.
/17 - это минимальное время
выполнения работ для достижения поставленной задачи является критическим
сроком.
Первый способ заключается в
уменьшении продолжительности выполнения работ, осуществляемых в нормальном
режиме, начиная с тех, которые дают наименьший прирост затрат.
Представим алгоритм решения
поставленной оптимизационной задачи первым способом в таблице:
|
№ шага
|
Суточный прирост затрат
|
Работа
|
Количество сокращаемых суток
|
Продолжительность полного пути
|
Общий прирост затрат
|
|
|
|
|
1-2-5-6
|
1-3-6
|
1-2-4-5-6
|
|
|
0
|
-
|
-
|
-
|
19
|
22
|
29
|
-
|
|
1
|
10
|
2-4
|
3
|
-
|
-
|
26
|
+30
|
|
2
|
15
|
1-3
|
3
|
-
|
19
|
-
|
+45
|
|
3
|
20
|
1-2
|
1
|
-
|
-
|
25
|
+20
|
|
4
|
35
|
4-5
|
5
|
-
|
-
|
20
|
+175
|
|
5
|
40
|
5-6
|
1
|
-
|
-
|
19
|
+40
|
|
В С Е Г О
|
+310
|
Итак, при снижении продолжительности
выполнения всего комплекса работ с 29 суток до 19 суток оптимальные затраты
составляют 1060 + 310 = 1370 (у. е.).
Второй способ заключается в
увеличении продолжительности выполнения работ, осуществляемых в ускоренном
режиме, начиная с тех, которые дают наибольший прирост затрат.
Представим алгоритм решения
поставленной оптимизационной задачи вторым способом в таблице:
|
№ шага
|
Суточный прирост затрат
|
Работа
|
Количество наращиваемых суток
|
Продолжительность полного
пути
|
Общее снижение затрат
|
|
|
|
|
1-3-6
|
1-2-5-6
|
1-2-4-5-6
|
-
|
-
|
-
|
17
|
13
|
11
|
-
|
|
1
|
40
|
5-6
|
3
|
-
|
16
|
14
|
-120
|
|
2
|
35
|
4-5
|
2
|
-
|
-
|
16
|
-70
|
|
3
|
30
|
3-6
|
2
|
19
|
-
|
-
|
-60
|
|
4
|
25
|
2-5
|
2
|
-
|
18
|
-
|
-50
|
|
5
|
20
|
1-2
|
1
|
-
|
19
|
17
|
-20
|
|
6
|
10
|
2-4
|
2
|
-
|
-
|
19
|
-20
|
|
В С Е Г О
|
-340
|
Итак, при повышении
продолжительности выполнения всего комплекса ускоренного режима работ до 19
суток оптимальные затраты составляют 1710 - 340 = 1370 (у. е.).
Отметим, что конечные результаты
оптимизации как для нормального режима, так и для ускоренного режима выполнения
работ должны совпадать.
2. Регрессионный анализ
Рассчитать уровень
производительности труда на плановый период, если годовая выработка на одного
рабочего и энерговооруженность на 14 предприятиях объединения характеризуются
данными, приведенными в таблице. В планируемом периоде предполагается довести
уровень энерговооруженности на рабочего до 7,5 квт.
|
Предприятие
|
Производительность труда, тыс. руб. на 1 рабочего
|
Энерговооруженность, квт
на 1 рабочего
|
|
1
|
6,7
|
2,8
|
|
2
|
6,9
|
2,8
|
|
3
|
7,2
|
3,0
|
|
4
|
7,3
|
2,9
|
|
5
|
8,4
|
3,4
|
|
6
|
8,8
|
3,9
|
|
7
|
9,1
|
4,0
|
|
8
|
9,8
|
4,8
|
|
9
|
10,6
|
4,9
|
|
10
|
10,7
|
5,2
|
|
11
|
11,1
|
5,4
|
|
12
|
11,8
|
5,5
|
|
13
|
12,1
|
6,2
|
|
14
|
12,4
|
7,0
|
Выполнение
расчетов.
) Построение
системы показателей (факторов). Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции.
Для проведения
корреляционного анализа с помощью EXCEL выполним следующие действия:
1. Данные для
корреляционного анализа должны располагаться в смежных диапазонах ячеек.
2. Выберем
команду СервисÞАнализ данных.
. В
диалоговом окне Анализ данных выберем инструмент Корреляция, а затем щелкнем на
кнопке ОК.
. В
диалоговом окне Корреляция в поле Входной интервал необходимо ввести диапазон
ячеек, содержащих исходные данные. Т.к. выделены и заголовки столбцов, то
устанавливаем флажок Метки в первой строке.
Коэффициент корреляции определяется
по формуле:
В следующей таблице
представим, выполненную в среде Excel, матрицу парных коэффициентов корреляции.
. Выберем параметры
вывода Новый рабочий лист.
Значение коэффициента парной
корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Его положительное значение
свидетельствует о прямой связи. Согласно шкале Чеддока судя по значению
коэффициента корреляции теснота связи очень высокая.
Значение
коэффициента корреляции ryx1=0,980477 между
производительностью труда и энерговооруженностью рабочей силы отражает тот
факт, что чем больше будет величина энерговооруженности рабочей силы, тем
больше производительность труда.
Для нашей задачи уравнение
характеризует зависимость уровня производительности труда (y) от энерговооруженности
(х) и выглядит следующим образом:
Коэффициент регрессии aj
показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак y, если переменную 
увеличить на единицу
измерения, то есть aj является нормативным коэффициентом.
Построим модель
множественной регрессии (зависимость производительности труда от
энерговооруженности рабочей) в следующей таблице, сформированной инструментом
«Регрессия».
|
Коэффициенты
|
Стандартная ошибка
|
t-статистика
|
P-Значение
|
Нижние 95%
|
Верхние 95%
|
|
y-пересечение
|
3,100
|
0,386
|
8,032
|
3,61E-06
|
2,259
|
3,941
|
|
Переменная x1
|
1,448
|
0,084
|
17,273
|
7,66E-10
|
1,265
|
1,631
|
Следовательно, уравнение
множественной регрессии для производительности труда будет иметь следующий вид:
Таким образом,
коэффициент регрессии а1=1,448 показывает, что при увеличении
энерговооруженности на 1 пункт производительность труда в среднем увеличивается
на 1,448 пункта. Т.к. в планируемом периоде предполагается довести уровень
энерговооруженности на рабочего до 7,5 квт, то получим следующие данные по
уровню производительности труда на плановый период:
|
Предприятие
|
Производительность труда, тыс. руб. на 1 рабочего
|
|
1
|
13,506
|
|
2
|
13,706
|
|
3
|
13,716
|
|
4
|
13,961
|
|
5
|
14,337
|
|
6
|
14,013
|
|
7
|
14,168
|
|
8
|
13,71
|
|
9
|
14,365
|
|
10
|
14,03
|
|
11
|
14,141
|
|
12
|
14,696
|
|
13
|
13,982
|
|
14
|
13,124
|
Рассчитать уровень
производительности труда на плановый период, если годовая выработка на одного
рабочего и энерговооруженность на 14 предприятиях объединения характеризуются
данными, приведенными в таблице. В планируемом периоде предполагается довести
уровень энерговооруженности на рабочего до 7,5 квт.
|
Предприятие
|
Производительность труда, тыс. руб. на 1 рабочего
|
Энерговооруженность, квт
на 1 рабочего
|
|
1
|
6,8
|
2,8
|
|
2
|
6,9
|
2,8
|
|
3
|
7,2
|
3,0
|
|
4
|
7,5
|
3,1
|
|
5
|
8,5
|
3,5
|
|
6
|
8,8
|
3,9
|
|
7
|
9,2
|
4,1
|
|
8
|
9,8
|
4,8
|
|
9
|
10,6
|
4,9
|
|
10
|
10,9
|
5,3
|
|
11
|
11,1
|
5,4
|
|
12
|
11,9
|
5,7
|
|
13
|
12,2
|
6,5
|
|
14
|
12,4
|
7,0
|
Выполнение
расчетов.
) Построение
системы показателей (факторов). Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции.
Для проведения
корреляционного анализа с помощью EXCEL выполним следующие действия:
5. Данные для
корреляционного анализа должны располагаться в смежных диапазонах ячеек.
6. Выберем
команду СервисÞАнализ данных.
. В
диалоговом окне Анализ данных выберем инструмент Корреляция, а затем щелкнем на
кнопке ОК.
. В
диалоговом окне Корреляция в поле Входной интервал необходимо ввести диапазон
ячеек, содержащих исходные данные. Т.к. выделены и заголовки столбцов, то
устанавливаем флажок Метки в первой строке.
Коэффициент корреляции определяется
по формуле:
В следующей таблице
представим, выполненную в среде Excel, матрицу парных коэффициентов корреляции.
. Выберем параметры
вывода Новый рабочий лист.
Значение коэффициента парной
корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Его положительное значение
свидетельствует о прямой связи. Согласно шкале Чеддока судя по значению
коэффициента корреляции теснота связи очень высокая.
Значение
коэффициента корреляции ryx1=0,983261 между
производительностью труда и энерговооруженностью рабочей силы отражает тот
факт, что чем больше будет величина энерговооруженности рабочей силы, тем
больше производительность труда.
Для нашей задачи уравнение
характеризует зависимость уровня производительности труда (y) от энерговооруженности
(х) и выглядит следующим образом:
Коэффициент регрессии aj
показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак y, если переменную увеличить на единицу
измерения, то есть aj является нормативным коэффициентом.
Построим модель
множественной регрессии (зависимость производительности труда от
энерговооруженности рабочей) в следующей таблице, сформированной инструментом
«Регрессия».
|
Коэффициенты
|
Стандартная ошибка
|
t-статистика
|
P-Значение
|
Нижние 95%
|
Верхние 95%
|
|
y-пересечение
|
3,173
|
0,356
|
8,908
|
1,23E-06
|
2,397
|
3,949
|
|
Переменная x1
|
1,423
|
0,0761
|
18,694
|
3,06E-10
|
1,257
|
1,588
|
Следовательно, уравнение
множественной регрессии для производительности труда будет иметь следующий вид:
Таким образом,
коэффициент регрессии а1=1,423 показывает, что при увеличении
энерговооруженности на 1 пункт производительность труда в среднем увеличивается
на 1,423 пункта. Т.к. в планируемом периоде предполагается довести уровень
энерговооруженности на рабочего до 7,5 квт, то получим следующие данные по
уровню производительности труда на плановый период:
|
Предприятие
|
Производительность труда, тыс. руб. на 1 рабочего
|
|
1
|
13,488
|
|
2
|
13,588
|
|
3
|
13,604
|
|
4
|
13,761
|
|
5
|
14,192
|
|
6
|
13,923
|
|
7
|
14,038
|
|
8
|
13,642
|
|
9
|
14,3
|
|
10
|
14,031
|
|
11
|
14,088
|
|
12
|
14,461
|
|
13
|
13,623
|
|
14
|
13,112
|
3. Теория игр
Торговая фирма разработала несколько
вариантов плана продаж товаров на предстоящей ярмарке с учетом конъюнктуры
рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели
дохода представлены в таблице.
|
План продажи
|
Величина дохода, ден. ед.
|
|
  
|
|
|
|
 351
|
|
|
|
|
 143
|
|
|
|
|
 425
|
|
|
|
Определить оптимальную стратегию
фирмы в продаже товаров на ярмарке. Если существует риск (вероятность
реализации плана П1 - 40%, П2 - 30%, П3
- 30%), то какую стратегию фирме следует считать оптимальной?
Фирма располагает тремя стратегиями.
Рассматривая фирму и конъюнктуру
рынка и спроса в качестве двух игроков, получим платежную матрицу
B1 B2 B3
,
ден. ед.,
ден. ед.
Цена игры лежит в
диапазоне 2 ден. ед. ≤ ν ≤ 4 ден. ед.
Из платежной матрицы
видно, что при всех условиях доход фирмы будет не меньше 2 ден. ед., а при
удачных условиях доход фирмы может составить 4 ден. ед.
Найдем решение игры в
смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику
свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить,
если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать
чистые стратегии).
Запишем систему
уравнений.
фалкерсон
сетевой стратегия матрица
3p1+p2+4p3 = ν
p1+4 p2+2
p3 = ν
p1+3
p2+5 p3
= ν
p1+
p2+ p3
= 1
Откуда
p1
= 0,37
p2
= 0,11
p3
= 0,52
Цена игры, ν = 1,89 ден. ед.
В условиях
неопределенности, если не представляется возможным фирме использовать смешанную
стратегию (договоры с другими организациями), для определения оптимальной
стратегии фирмы используем критерии природы.
. Критерий Вальде:
фирме целесообразно
использовать стратегию А3.
. Критерий максимума:
целесообразно
использовать стратегию А1 или А3.
. Критерий Сэвиджа.
Максимальный элемент в первом столбце - 4, во втором столбце - 5, в третьем
столбце - 5.
Элементы матрицы рисков
находятся из выражения
,
откуда 
,
,
,
, 
,
,
, 
,
.
Матрица рисков имеет вид
,
целесообразно
использовать стратегию А2 или А3.
Следовательно, фирме
целесообразно применять стратегию А3.
Отметим, что каждый из
рассмотренных критериев не может быть признан вполне удовлетворительным для
окончательного выбора решений, однако их совместный анализ позволяет более
наглядно представить последствия принятия тех или иных управленческих решений.
При известном
распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия
решения является максимум математического ожидания выигрыша.
Известно, что
вероятности реализации плана составляют П1 - 40%, П2
- 30%, П3 - 30%, тогда оптимальная стратегия фирмы
определяется так:
Фирме целесообразно
использовать стратегию А1.
4. Системы массового
обслуживания
1. Решить следующие
задачи в предположении, что поток поступающих заявок является простейшим и
длительность обслуживания одной заявки распределена по показательному закону.
Дежурный по
администрации города имеет пять телефонов. Телефонные звонки поступают с
интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет
2 мин.
Определить показатели
дежурного администратора как объекта СМО.
По условию задачи
1. Определим интенсивность
потока обслуживания:
2. Интенсивность
нагрузки равна:
3. Найдем вероятность
простоя дежурного администратора:
4. Вероятность занять
все телефоны:
5. Вероятность очереди:
6. Среднее число заявок
в очереди:
7. Среднее время
ожидания заявки в очереди:
8. Среднее время
пребывания заявки в СМО:
9. Среднее число
свободных каналов:
10. Коэффициент
занятости каналов обслуживания:
.
. Среднее число звонков
на линии:
Ответ: Вероятность
простоя дежурного администратора равна 4,7% рабочего времени, вероятность
звонку оказаться в очереди составляет 4,7%, среднее число звонков в очереди
0,354, среднее время ожидания заявки в очереди 0,236 мин.
Список литературы
1. Миненко С.Н., Казаков О.Л., Подзорова В.Н.
Экономико-математическое моделирование производственных систем.
Учебно-методическое пособие. - М.: МИИР, 2006, - 128 с.
2. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике:
Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. - Мн.: ТетраСистемс, 2002.
- 432 с.
. Справочник по математике для экономистов: Учеб. пособие /
Под ред. проф. В.И. Ермакова. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М,
2009.-464 с.
. Шелобаев СИ. Математические методы и модели в экономике,
финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 367 с.