Методы и модели в экономике

Методы и модели в экономике

АНО ВПО «ОМСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

Контрольная работа

«Методы и модели в экономике»

Вариант №4

Факультет управления

Курс 2, группа ЗИЭУ2-32

Выполнила: Глушкова

Кристина Сергеевна

Омск 2011

. Использование статической модели МОБ в исследовании взаимосвязи отраслевых структур валового выпуска и конечного спроса. Модель динамического межотраслевого баланса

Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель, образуемую перекрестным наложением строк и колонок таблицы, то есть балансов распределения продукции и затрат на ее производство, увязанных по итогам. Главные показатели здесь - коэффициенты полных и прямых затрат.

Статистические межотраслевые модели используются для разработки планов выпуска и потребления продукции и основываются на соотношениях межотраслевого баланса.

При построении модели делают следующие предположения:

) все продукты, производимые одной отраслью, однородны и рассматриваются как единое целое, т.е. фактически предполагается, что каждая отрасль производит один продукт;

) в каждой отрасли имеется единственная технология производства;

) нормы производственных затрат не зависят от объёма выпускаемой продукции;

) не допускается замещение одного сырья другим.

В действительности эти предположения, конечно, не выполняются. Даже на отдельном предприятии обычно выпускаются различные виды продукции, используются различные технологии, удельные затраты зависят от объема выпуска и в тех или иных пределах допускается замена одного сырья другим. Следовательно, эти предположения тем более неверны для отрасли. Однако такие модели получили широкое распространение и, как показала практика, они вполне адекватны и применимы для составления планов выпуска продукции.

При этих предположениях величина xij может быть представлена следующим образом:

Величина aij называется коэффициентом прямых материальных затрат. Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство единицы продукции j-й отрасли. Коэффициенты aij считаются в межотраслевой модели постоянными.

Подставляя выражение в формулу

 получим:

Это соотношение можно записать в матричном виде:

= AX + Y

где X = (X1, X2,..., Xn) - вектор валовых выпусков;= (y1, y2,..., yn) - вектор конечного продукта;

=  -

матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Коэффициенты прямых материальных затрат являются основными параметрами статической межотраслевой модели. Их значения могут быть получены двумя путями:

) статистически. Коэффициенты определяются на основе анализа отчётных балансов за прошлые годы. Их неизменность во времени определяется подходящим выбором отраслей;

) нормативно. Предполагается, что отрасль состоит из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат; на их основе рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты.

Выражение (2) принято называть балансом распределения продукции. Его можно использовать для анализа и планирования структуры экономики. Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав конечный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для планирования производства.

Преобразуем выражение:

- AX = Y,(E - A) = Y,= (E - A) - 1Y, (3)

где E - единичная матрица.

До начала планирования следует выяснить, существует ли матрица, обратная матрице (E-A), и не будут ли получены отрицательные значения выпуска по отраслям.

Установим некоторые свойства коэффициентов прямых материальных затрат.

. Неотрицательность, т.е. aij ≥ 0,   Это утверждение следует из неотрицательности величин xij и положительности валовых выпусков Xj.

. Сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы, т.е.

Доказать это утверждение несложно.

Для любой отрасли условно чистая продукция есть величина положительная, поскольку включает в себя заработную плату, амортизацию, прибыль и т.д., т.е. Vj>0. Поэтому, используя соотношение, можно записать:

из соотношения:

откуда безусловно следует:

таким образом, утверждение доказано.

Можно показать, что при выполнении этих двух условий матрица B = (E - A) - 1 существует и если ее элементы неотрицательны. Говорят, что в этом случае матрица прямых затрат А является продуктивной.

Перепишем формулу:

= BY

Матрица В носит название матрицы полных материальных затрат, а ее элементы bij называют коэффициентами полных материальных затрат. Коэффициент bij показывает, каков должен быть валовый выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Можно показать, что

B = E + A + A2 + A3 +...

Умножим обе части на (E - A):

B (E - A) = (E + A + A2 + A3 +. .) (E - A),(E - A) = E + A + A2 + A3 +. - A - A2 - A3 - ...,

B (E - A) = E,= E / (E - A),= (E - A) - 1.

Доказано.

Из соотношения следует bij ≥ aij,  Таким образом, коэффициент полных материальных затрат bij, описывающий потребность в выпуске продукции i-й отрасли в расчете на единицу конечного продукта j-й отрасли, не меньше коэффициента прямых материальных затрат aij, рассчитываемого на единицу валового выпуска.

Кроме того, из соотношения для диагональных элементов матрицы B следует:

≥ 1,

Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат проще всего проследить на примере: пусть единицей выпуска хлебопекарной промышленности является хлеб.

Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат

Полные затраты электроэнергии для нашего примера складываются из прямых затрат и косвенных затрат всех уровней. Косвенные затраты высоких уровней являются незначительными и при практических расчетах ими можно пренебречь.

Динамическая модель межотраслевого баланса характеризует производственные связи народного хозяйства на ряд лет, отражает процесс воспроизводства в динамике. По модели межотраслевого баланса выполняются два типа расчетов: первый тип, когда по заданному уровню конечного потребления рассчитывается сбалансированный объем производства и распределения продукции; второй тип, включающий смешанные расчеты, когда по заданным объемам производства по одним отраслям (продуктам) и заданному конечному потреблению в других отраслях рассчитывается баланс производства и распределения продукции в полном объеме.

Наибольшее распространение получила матричная экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Она представляет собой прямоугольную таблицу (матрицу), элементы которой отражают связи экономических объектов. Количественные значения этих объектов вычисляются по установленным в теории матриц правилам. В матричной модели отражается структура затрат на производство и распределение продукции и вновь созданной стоимости.

Уравнение строк матрицы записывается следующим образом:

n

Хij + Уi = Хi=1= 1,2,…m;

Хij - поставка продукции отрасли i в отрасль j;

Хi - валовая продукция отрасли i.

Элементы строк представляют собой баланс распределения продукции, произведенной в различных отраслях экономики. Сумма внутренних производственных поставок и конечного продукта составляет валовой выпуск отрасли.

Уравнение столбцов матрицы выглядит следующим образом:

n

Хij + Zj = Хj, где

j=1

Хij - затраты продукции отрасли i на производство продукции отрасли j;

Zj - затраты первичных ресурсов и вновь созданная стоимость в отрасли j;

Хj - валовые затраты включая вновь созданную стоимость в отрасли j.

Хi = Хj при i=j. При этом равенство одноименных строк и столбцов означает, что стоимость распределенных и накопленных материальных благ и услуг равна сумме стоимостей произведенных затрат и вновь созданной стоимости.

Межотраслевой баланс известен в науке и практике как метод “затраты - выпуск”, разработанный В.В. Леонтьевым. Этот метод сводится к решению системы линейных уравнений, где параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции. Коэффициенты выражают отношения между секторами экономики (коэффициенты текущих материальных затрат), они устойчивы и поддаются прогнозированию. Решение системы уравнений позволяет определить, какими должны быть выпуск и затраты в каждой отрасли, чтобы обеспечить производство конечного продукта заданного объема и структуры. Для этого составляется таблица межотраслевых потоков товаров. Неизвестными выступают выпуск и затраты товаров, произведенных и использованных в каждой отрасли. Их исчисление с помощью коэффициентов и означает объемы производства, обеспечивающие общее равновесие. В случае выявления диспропорции с учетом заказов потребителей, в том числе и государственных, составляется план-матрица выпуска всех видов материальных благ и затрат на их производство.

модель баланс управление запас

2. Организация поставок. Модель с конечной интенсивностью поставок. Решение задачи оптимального управления запасами при ограничении на емкость складских помещений. Предельная арендная плата

Поставки - это фундамент в работе любой торговой компании, от качества работы службы снабжения зависит результат работы всей компании. Так, если поставки будут постоянно запаздывать, создавая дефицит или уменьшая ассортимент, то это неизбежно приведёт к снижению объёмов продаж. Очевидно, что и в случае избыточных поставок, эффективность работы компании также снизиться вследствие того, что значительная часть денежных средств будет «заморожена» в излишних запасах и неликвидах. Поставки материальных ресурсов на предприятие осуществляются через хозяйственные связи. Хозяйственные связи представляют собой совокупность экономических, организационных и правовых взаимоотношений, которые возникают между поставщиками и потребителями средств производства. Рациональная система хозяйственных связей предполагает минимизацию издержек производства и обращения, полное соответствие количества, качества и ассортимента поставляемой продукции потребностям производства, своевременность и комплектность ее поступления.

Хозяйственные связи между предприятиями могут быть прямыми и опосредованными (косвенными), длительными и краткосрочными.

Прямые представляют собой связи, при которых отношения по поставкам продукции устанавливаются между предприятиями-изготовителями и предприятиями-поставщиками прямо, непосредственно.

Опосредованными считаются связи, когда между этими предприятиями имеется хотя бы один посредник. Поставки продукции потребителю могут осуществляться смешанным путем, т. е. как напрямую, так и через посредников (дистрибьюторов, джобберов, агентов, брокеров)

Дистрибьюторы и джобберы - это фирмы, осуществляющие сбыт на основе оптовых закупок у крупных промышленных предприятий - производителей готовой продукции. Дистрибьюторы в отличие от джобберов - относительно крупные фирмы, располагающие собственными складами и устанавливающие длительные контрактные отношения с промышленными предприятиями. Джобберы, напротив, скупают отдельные крупные партии товаров для быстрой перепродажи.

Агенты и брокеры - это фирмы или отдельные предприниматели, осуществляющие сбыт продукции промышленного предприятия на основе комиссионного вознаграждения. Прямые хозяйственные связи для предприятий являются наиболее экономичными и прогрессивными по сравнению с косвенными, так как они, исключая посредников, уменьшают издержки обращения, документооборот, укрепляют взаимоотношения между поставщиками и потребителями.

Опосредованные хозяйственные связи менее экономичны. Они требуют дополнительных затрат на покрытие расходов деятельности посредников между предприятиями-потребителями и предприятиями-изготовителями.

Потребность в косвенных связях объясняется тем, что прямые связи выгодны и целесообразны в условиях потребления материальных ресурсов в крупных масштабах. Если же предприятия потребляют сырье и материалы в незначительных количествах, не достигающих транзитной формы отгрузки, то, чтобы не создавать на предприятиях излишние запасы материальных ценностей, целесообразны связи и через услуги посредников.

Как прямые, так и опосредованные связи могут носить длительный и краткосрочный характер. Длительные хозяйственные связи - прогрессивная форма материально-технического снабжения. В этом случае предприятия имеют возможность развивать на долгосрочной основе сотрудничество по совершенствованию выпускаемой продукции, снижению материалоемкости, доведению до мировых стандартов.

С классификацией связей на прямые и косвенные тесно связано их деление по формам организации поставок продукции. С этой точки зрения различают транзитную и складскую формы поставок.

При транзитной форме снабжения материальные ресурсы перемещаются от поставщика к потребителю прямо, минуя промежуточные базы и склады посреднических организаций. Кроме того, предприятие, получая материал непосредственно от поставщика, ускоряет доставку и сокращает транспортно-заготовительные расходы. Однако ее использование ограничено транзитными нормами отпуска, меньше которых поставщик не принимает к исполнению. Такая форма снабжения для материалов с небольшой потребностью приводит к увеличению запасов и связанных с этим расходов.

При складской форме материальные ресурсы завозятся на склады и базы посреднических организаций, а затем с них отгружаются непосредственно потребителям.

Транзитную форму целесообразно применять в тех случаях, когда потребителям требуются материальные ресурсы в больших количествах, что дает возможность отгружать их полногрузными вагонами или другими транспортными средствами.

При транзитной форме завоза значительно снижаются издержки и повышается скорость обращения, улучшается использование транспортных средств.

Складская форма снабжения играет большую роль в обеспечении мелких потребителей. Она позволяет им заказывать необходимые материалы в количествах меньше установленной транзитной нормы, под которой понимается минимально допустимое общее количество продукции, отгружаемое предприятием-изготовителем потребителю по одному заказу. При складской форме снабжения продукция со складов посреднических организаций может завозиться малыми партиями и с большей частотой, что способствует сокращению запасов материальных ресурсов у потребителей. Однако в этом случае последние несут дополнительные расходы за складскую переработку, хранение и транспортировку с баз посреднических организаций. Поэтому в каждом конкретном случае требуется экономическое обоснование выбора форм снабжения.

Важные этапы в организации материально-технического снабжения промышленности - специфицирование ресурсов и заключение хозяйственных договоров по поставкам продукции.

Под специфицированием ресурсов понимается расшифровка укрупненной номенклатуры по конкретным видам, маркам, профилям, сортам, типам, размерам и прочим признакам. От того, насколько правильно составлена спецификация материальных ресурсов, во многом зависит материальное обеспечение производства. Если в спецификацию закралась неточность, то это может привести к тому, что фактические поставки не будут соответствовать действительной потребности. Тем самым предприятие будет поставлено под угрозу невыполнения производственной программы и сбыта своей продукции. Поставляется продукция по договорам, которые служат документом, определяющим права и обязанности сторон.

В договорах указываются наименование продукции, количество, ассортимент, комплектность, качество и сортность продукции с указанием стандартов и технических условий, требования к упаковке и таре, сроки поставки продукции, общий срок действия договора, цена на поставляемую продукцию и общая ее стоимость, условия оплаты, предусматривается ответственность сторон за соблюдение условий договора. После заключения договоров отделы снабжения предприятий должны обеспечить своевременное и комплектное получение материалов, их количественную и качественную приемку, правильное хранение на складах предприятия. Оперативная работа по завозу материалов осуществляется на основе месячных планов, в которых указываются календарные сроки и объемы поставок по важнейшим видам материальных ресурсов. Копии таких планов передаются на соответствующие склады и используются ими для организации подготовительных работ.

Существует два варианта организации завоза материальных ресурсов: самовывоз и централизованная доставка.

Самовывоз характеризуется отсутствием единого органа, обеспечивающего оптимальное использование транспорта. Предприятие самостоятельно договаривается с транспортными организациями, не предъявляет жестких требований к типам используемого транспорта - главное вывезти материальные ресурсы. При этом применяются исторически сложившиеся технологические процессы грузопереработки, как правило, не согласованные между собой. Отсутствует необходимость использования строго определенных видов тары, часто отсутствуют условия для беспрепятственного подъезда транспорта, быстрой разгрузки и приемки материальных ресурсов.

При централизованной доставке предприятие-поставщик и предприятие-получатель создают единый орган, цель которого оптимизировать совокупный материальный поток. Для этого разрабатываются схемы завоза продукции, определяются рациональные размеры партий поставок и частота завоза; разрабатываются оптимальные маршруты и графики завоза продукции; создается парк специализированных автомобилей и выполняется ряд других мероприятий. Таким образом, централизованная доставка позволяет:

· повысить степень использования транспорта и складских площадей;

· оптимизировать товарные запасы как у производителя, так и у потребителя продукции;

· повысить качество и уровень материально-технического обеспечения производства; оптимизировать размеры партии поставок продукции.

Модель с конечной интенсивностью поставки υ, т.е. модель, в которой за время Δt поставляется продукция объемом υΔt (при наличии в то же время постоянного спроса с интенсивностью µ, причем считается, что υ>µ). Таким образом, в этой модели поставка происходит не мгновенно, а в течение некоторого интервала времени, причем объем поставляемой продукции линейно зависит от времени.

Для оптимального управления запасами при ограничении на емкость складских помещений используется многопродуктовая статическая модель.

Эта модель предназначена для системы управления запасами, включающей n > 1 видов продукции, которая хранится на одном складе ограниченной площади. Пусть А - максимально допустимая площадь складского помещения для n видов продукции; ai - площадь, необходимая для хранения единицы продукции i-го вида; yi - размер заказа на продукцию i-го вида. Задача сводится к минимизации

  при  для всех i.

Предельная арендная плата λ экономически интерпретируется как предельная (максимальная) арендная плата за использование дополнительных складских емкостей. Если фактическая арендная плата α  меньше либо равна предельной λ , т.е. α ≤ λ, то аренда выгодна, если же α › λ, то аренда не выгодна.

Задачи.

.Докажите, что данная производственная функция является неоклассической, определите эффективность и масштаб производства. Сделайте выводы

Производственная функция для экономики страны за 1992-2002 годы имеет вид: , где Y - валовой выпуск, K - основные производственные фонды, L - трудовые ресурсы. Известно, что за эти годы валовой выпуск вырос в 2,59; основные фонды - в 2,96; трудовые ресурсы - в 1,98. Построить изоклиналь, проходящую через начало координат, и изокванту для уровня ВВП в 5500 условных единиц. Если уровень валового выпуска должен достигнуть 5500 ед, а трудовые ресурсы равны 500 ед, то какие основные фонды надо для этого иметь?

Решение. По ПФ  можно сделать следующие выводы:

1.  Коэффициент нейтрального технического прогресса равен 2,698, коэффициент эластичности ВВП по производственным фондам - α=0,588, коэффициент эластичности ВВП по труду -β=0,679.

2.      Т.к. α + β =0,588+0,679=1,267>1 экономика растущая, рост ВВП опережает рост факторов производства.

3.      имеет место фондосберегающий, т.е. экстенсивный рост.

Для нахождения масштаба и эффективности производства воспользуемся формулами (1.12) и (1.13). Определим относительную эластичность:

=0,588/1,267=0,464, 1-0,464=0,536

Тогда масштаб производства

=2,96 0,464 1,98 0,536=2,386,

А экономическая эффективность

=(2,59/2,96) 0,464 (2,59/1,98) 0,536=0,8750,464 1,3080,536=1,085

Таким образом, фондоотдача экономики равна 0,88, т.е. каждый доллар производственных фондов дает валового внутреннего продукта на 88 центов, а производительность труда 1,31, т.е. каждый работник вносит вклад в ВВП равный 1 доллару 31 центам. Т.к. масштаб производства больше его эффективности М>E , экономика развивается по экстенсивному пути развития. Темп роста ВВП

.=2,386*1,085=2,589

Следовательно, рост ВВП с 1992 по 2002 г. в 2,59 раза произошел за счет роста масштаба производства в 2,386 раза и за счет эффективности производства в 1,085 раза.

Уравнение изоклинали можно написать, воспользовавшись формулой (1.10):

,=L√0,588/0,679=0,93L

Т.к. изоклиналь, проходящая через начало координат является прямой, то для ее построения достаточно выбрать две точки. Построим изоклиналь по точкам с помощью следующей таблицы:

Уравнение изокванты напишем, воспользовавшись формулой (1.8)

Построим изокванту по точкам:

63,6

45,6

35,2

28,5

23,9

20,5

17,9

15,8

L

60

80

100

120

140

160

180

200

Изокванта и изоклиналь изображены на рисунке.

Чтобы рассчитать, сколько потребуется производственных фондов при трудовых ресурсах равных 63,6 условные единицы для обеспечения ВВП в размере 500 условных единиц, воспользуемся уравнением изокванты

К=59,4

Т.е. для производства ВВП в объеме 500 усл. ед. при имеющихся трудовых ресурсах 63,6 усл. ед. требуется 59,4 усл. ед. производственных фондов. Таким образом, по изокванте можно определить взаимозаменяемость ресурсов, а изоклиналь показывает направление роста ВВП.

2.Известна матрица прямых затрат  и матрица конечного потребления трехотраслевой экономики Y. Проверить продуктивность матрицы прямых затрат. Определить валовой выпуск трех отраслей и межотраслевые поставки продукции.

А=, Y=.

Решение. Матрица А является продуктивной, т.к. все элементы матрицы положительны, а сумма по строкам меньше единицы:

,2+0,3+0,0=0,5<1

,3+0,1+0,2=0,6<1

,1+0,0+0,3=0,4<1

Найдем матрицу полных затрат по формуле . Сначала определим матрицу :

=

Найдем определитель этой матрицы:

==0,504-0,006-0,063=0,435

Обратную матрицу определим по формуле:

,

где  - алгебраические дополнения к матрице .

Алгебраические дополнениянайдем по формуле: , где  - минор элемента i-ой строки j-ого столбца:

Тогда обратная матрица и есть матрица полных затрат В, т.е.

Чтобы определить матрицу валовой продукции надо перемножить матрицу В и матрицу Y:

Таким образом, валовой выпуск первой отрасли должен быть приближенно равен 319,31; второй отрасли - 451,49 и третьей отрасли - 302,76 единиц.

Для получения матрицы межотраслевых поставок продукции х необходимо умножить элементы матрицы А на соответствующие им значения валового выпуска:

,

И матрица межотраслевых поставок х:

Можно проверить полученные результаты, используя формулу (2.5):

.Функция полезности потребителя имеет вид

.

Определить максимальную полезность, если потребитель имеет доход в 500 д.е., а цены товаров равны соответственно 2 и 8 д.е. за единицу товара. Какова предельная норма замены второго товара первым в оптимальной точке? Найти эффект замещения и эффект дохода по Слуцкому при увеличении цены первого товара до 4 д.е.

Решение. Это задача на условный экстремум

при бюджетном ограничении

х1+8х2≤500

Определим оптимальный набор, используя второй метод - метод с использованием предельной нормы замещения:

u(x1,х2)=√125*31.25=62,5

Следовательно, оптимальный набор товаров (125; 31,25).

Эффект замещения определим по формуле , где  определяется из системы уравнений при

,

где p1+∆p=4 д.е.

Эффект замещения по Слуцкому

Эффект дохода можно найти по формуле

,

где  определяется из системы уравнений при  и цене первого товара 4 д.е.

Эффект дохода по Слуцкому

=62,5-83,3=-20,8

62,5-125=-62,5

. Известна матрица эластичностей необходимо произвести классификацию товаров:

.

Как изменится спрос на данные товары, если цена на второй товар уменьшится на 1%?

Решение. На основе анализа абсолютных значений прямых коэффициентов эластичности, можно сделать следующие выводы:

Анализ прямых коэффициентов эластичности:

·        первый товар высокоэластичный по отношению к цене, т.к. =1,21>1;

·        второй товар высокоэластичный по отношению к цене, т.к. =1,5>1;

·        третий товар малооэластичный по отношению к цене, т.к. 0.88<1.

Анализ перекрестных коэффициентов эластичности показывает:

·        первый и второй товары взаимозаменяемые, т.к. 0,58>0 и 0,69>0;

·        первый и третий товары взаимодополняемые, т.к. -0,48<0 и

-0,58<0;

·        третий и второй товары взаимодополняемые, т.к. =-0,36<0 и

-0,45<0.

Если цена на второй товар уменьшится на 1%, то спрос на него возрастет на 1,50%, спрос на первый товар упадет на 0,58%, а спрос на третий товар увеличится на 0,45%.

. Частное предприятие использует 8000 штук комплектующих изделий в год. Хранение одного изделия 12 руб./шт. Затраты на один заказ в среднем равны 40 руб. Эффективный фонд рабочего времени 240 дней. Производственная мощность поставщика равна 8727 комплектующих изделий в год. При условии, что склад предприятия, емкостью 10 кв. м., вмещает только 50 комплектующих изделий, определить экономически выгодный размер заказа, время между заказами и издержки, которые несет предприятие на хранение и заказ товара. Сравнить эти издержки с издержками предприятия по управлению запасами без учета ограничения на емкость склада. Есть ли необходимость аренды дополнительных складских емкостей, если арендная плата за хранение единицы товара в единицу времени равна 15 руб.

Решение. Воспользуемся формулами модели с конечной интенсивностью поступления заказа. Определим по задаче: спрос =8000, интенсивность поставок =8727, затраты на хранение единицы продукции =12, затраты на заказ =40. Тогда издержки управления запасами в единицу времени равны (5.6):

l=40

.

Используя формулы (5.7) - (5.10), получим:

Оптимальный размер заказа

=800

Общие затраты на управление запасами за год равны:

=800 руб.

Время между заказами

,

т.к. рабочий фонд 240 дней, то время между заказами в рабочих днях будет равно 0,1*240=24 дня.

Время на производство всей партии

0,09167

в днях относительно фонда рабочего времени 0,09167*240=22 дня.

Максимальный запас на складе

67 шт.

Количество заказов в год

шт.

В случае ограничения на емкость склада мы получаем задачу условного экстремума, где емкость склада Q=22, а количество единиц изделий в единице емкости склада u=50/22=2. Тогда параметры модели найдем по формулам (5.13), (5.14) и (5.17):

=528

Издержки в этом случае увеличиваются:

=1001.85 руб.

Для анализа необходимости аренды дополнительных складских помещений рассчитаем предельную арендную плату:

=0.045 руб.

В данном случае λ<5, следовательно, аренда не выгодна.

6. В мастерской 9 станков для обработки комплектов деталей, среднее время обработки одного комплекта деталей 4 часа. Статистически было установлено, что в среднем в мастерскую поступает на обработку 2 комплекта деталей в час. Анализ показал, что поток комплектов деталей является простейшим, а время обработки распределено по экспоненциальному закону. Рассчитать параметры системы, сделать выводы.

Решение. Определим параметры системы:

·        среднее число требований, поступающих в единицу времени (в час), λ=2,

·        среднее число требований, удовлетворяемых в единицу времени, μ=0,25 (1/4),

·        коэффициент загрузки системы =2/0,25=8

т.к. 8<n=9, то очередь не может расти безгранично, следовательно, фирма справляется с входящим потоком требований на ремонт аппаратуры.

Характеристики системы рассчитаем по формулам (6.5) - (6.11):

1.      Вероятность того, что все станки свободны от ремонта:

=0,0002

2.      Вероятность того, что в системе находится четыре требования, т.е. заняты 4 станка:

=0,034

3.      Вероятность того, что в системе находится 8 требований:

=0,083

4.      Вероятность того, что все станки заняты

=0,67

5.      Средняя длина очереди:

 =5.3 станков

6.      Среднее время ожидания каждым комплектом начала обработки:

Wq=5.3/2=2.66

7.      Среднее число комплектов в обработке в фирме:

Ls=5,3+8=13,3 шт..

8.      Среднее время пребывания комплекта в системе при восьмичасовом дне:

Ws=13.3/16=0.83

9.      Среднее время обслуживания каждым станком одного комплекта при восьмичасовом рабочем дне:

T=3.97

10.    Среднее число свободных от работы станков:

No=0.0002()=1

На основании рассчитанных характеристик можно сделать вывод, что данная система работает нормально. Время пребывания требования в системе не велико, т.е. комплект обрабатывается в течение рабочего дня. Среднее число станков свободных от работы 1, вероятность загрузки всех станков более 8%.

Решение. Для выбора оптимальной стратегии воспользуемся правилами Вальда, крайнего оптимизма, Сэвиджа и Гурвица.

1.  Правило Вальда. Имеем:

{2;4;1;4}=4

следовательно, четвертая стратегия А4 имеет максимальную гарантированную доходность.

2.  Правило крайнего оптимизма. Имеем:

={12;11;7;10}=12

следовательно, первая стратегия А1 имеет максимальную доходность.

3.  Правило Гурвица. Психологический параметр  выберем равным 0,3. Имеем:

следовательно, согласно нашим психологическим склонностям выбираем четвертую стратегию .

4.  Правило Сэвиджа. Построим матрицу риска:

R =

Тогда

{9;8;10;5}

следовательно, четвертая стратегия А4 имеет минимально возможный риск.

Список литературы

1. Кузнецова Л.Г. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / Л.Г. Кузнецова. - Омск: Изд-во «Прогресс» ОмИПП, 2005. - 244 с.

. Экономико-математические методы и модели : учеб. пособие для студентов высш. учеб. заведений / С. И. Шелобаев. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2005. - 286.

. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / И. П. Геращенко, Е. В. Шульга ; Омский экономический ин-т, каф. информационно-вычислительных систем. - Омск : Изд-во Омского эконом. ин-та, 2007. - 295.

. Математические методы и модели исследования операций: учеб. для студентов высш. учеб. заведений / ред. В. А. Колемаев ; под ред. В. А. Колемаева. - М. : ЮНИТИ, 2008. - 592.

. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: учеб. пособие для вузов / М. Ю. Афанасьев, Б. П. Суворов . - М. : ИНФРА-М, 2003. - 443.