Кинематика точки и вращательное движение тела
Задание 1.
Кинематика точки
По заданным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и
для момента времени t=t1(с) найти положение точки на траектории, её скорость,
полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Дано:
Уравнения движения
|
t1, с
|
x=x(t), см
|
y=y(t), см
|
|
-4t2 +1
|
-3t
|
1
|
1.
Уравнение траектории. Для определения
уравнения траектории точки исключим время из
заданных уравнений движения.
Воспользуемся
свойством тригонометрических функций
.
Тогда
,
и
и
.
Это
уравнение параболы.
2.
Скорость точки. Скорость найдем по ее
проекциям на координатные оси:
, где
, . При =1 с
(см/с), (см/с),
(см/с).
.
Ускорение точки. Находим аналогично:
,
,
и
при =1 с
(см/с2),
(см/с2),
(см/с2).
4. Касательное ускорение. Найдем, дифференцируя равенство
.
Получим
,
откуда
и
при =1 с
(см/с2).
.
Нормальное ускорение.
(см/с2).
.
Радиус кривизны траектории.
(см).
v
|
a
|
at
|
an
|
r
|
см/с
|
см/с2
|
см
|
1,43
|
0,49
|
-0,3
|
0,39
|
5,2
|
Задание 2.
Вращательное движение тела
Вал электродвигателя, связанный со шкивом 1 ременной передачи, вращается
равноускоренно в течение t
секунд. Найти передаточные числа передач, угловые скорости и угловые ускорения
звеньев, скорость и ускорения точки М для момента времени t1.
Кинематические пары механизма:
O(0-1);
A(1-2); B(2-3);B(3-4);
C(0-3); E(4-5);К(0-5) - вращательные пары 5 класса;
Число всех звеньев механизма:
m = 6.
Число подвижных звеньев механизма:
n = 5.
Число степеней свободы механизма:
W = 3×n - 2×P5 - P4= 3×5 - 2×7 - 0 = 1,
где P5 - число пар 5-го класса (низшие пары);
P4 - число пар 4-го класса (высшие
пары).
Разложим
механизм на группы Ассура
Рассмотрим группу (4-5)
К(0-5)
- возможная пара;
Е(4-5)
- действительная пара;
В(3-4)
- возможная пара.
Wгр = 3×n - 2×P5 = 3×2 - 2×3 = 0,
где
Wгр -
степень свободы группы;
n - число
подвижных звеньев группы;
Р5
- число пар 5-го класса, входящих в группу.
Формула
группы:
Рассмотрим
группу (2-3)
n = 2
А(1-2) - возможная пара;
В(2-3) - действительная пара;
В(3-4) - возможная пара.
Wгр
= 3×n - 2×P5 = 3×2 - 2×3 = 0,
Формула группы:
Рассмотрим
начальный механизм
n = 1;
W = 3×n - 2×P5 - P4;
O(0-1) -
действительная пара
W = 3×1 - 2×1 = 1.
Формула механизма
Структурная формула механизма:
Механизм
II класса 1 вида.
Планы
скоростей строим повернутыми на 90о графо-аналитическим методом, решая
системы векторных уравнений.
Определяем
скорость точки М0 механизма:
VA = ω1×lAO =
15×0,06 = 0,9 м/с,
где
VA - скорость точки А, м/с;
lAO -
длина звена, м.
где
mV
- масштабный коэффициент плана скоростей, ;
Найдем
скорость точки.
Точка
принадлежит звеньям 2 и 3. Её положение на плане скоростей определяется как
точка пересечения линий действия соответствующих векторов скоростей.
Так
как точка С неподвижна, то:
Определим
скорость точки Е, принадлежащей звеньям 4 и 5:
Точка
К является неподвижной опорой:
где
V - линейная скорость точки или звена, м/с;
- вектор
скорости точки, или звена.
VB = pb × μV
= 66,6 × 0,0198 = 1,32 м/с;
VE = pe × μV
= 59,3× 0,0198 = 1,17 м/с;
VD = pd × μV
= 96,2 × 0,0198 = 1,9 м/с;
VF = pf × μV
= 117,7 × 0,0198 = 2,33 м/с;
VAB =
ab × μV
= 45,7 × 0,0198 = 0,9 м/с;
VDF =
df × μV
= 182,4 × 0,0198 = 3,61 м/с.
Угловые
скорости звеньев определяются по формуле:
где
w - угловая скорость звена, с-1;- скорость
звена, м/с;- длина звена, м.
Массы
звеньев 1, 2, 3, 5 не заданы, поэтому их силы тяжести не учитываем. Приведенный
момент Mп представим в виде пары сил Pп с плечом AB.
Приведение произведем с помощью “Рычага Жуковского”. Одна из составляющих пары
сил Pп не будут иметь момента относительно полюса плана скоростей,
поэтому ее не показываем. Величину и направление Pп определим из
равенства - по величине и направлению - момента силы Pп сумме
моментов сил GШ и GF относительно полюса.
Для
положения 1:
где
pa, , - плечи сил (снимаются с планов скоростей), мм;
Pпр - приведенная сила, Н;
Для
положения 2:
Для
положения 3:
Для
положения 4:
Для
положения 5:
Для положения 6:
Для положения 7:
Для положения 8:
Для положения 9:
Для положения 10:
Для положения 11:
Для положения 12:
Приведенный момент будем определять по формуле:
где
Мс - приведенный момент сил сопротивления, Н×м.
Для
расчетного положения:
Строим
план ускорений для расчётного положения.
Ускорения
точек звеньев будем определять по формуле:
,
где
- полное ускорение точки, ;
-
нормальное ускорение точки, ;
-
тангенциальное (касательное) ускорение точки, ;
Так
как угловая скорость кривошипа постоянна, то .
Из
произвольно выбранного полюса откладываем
вектор . Найдём масштабный коэффициент плана ускорений:
Для
нахождения ускорений точек звеньев используем графоаналитический метод.
Точка B принадлежит звеньям 2 и 3. Её
положение на плане ускорений определяется как точка пересечения линий действия
соответствующих векторов ускорений:
Точка
b находится на пересечении линий действия ,.
();
Так
как стойка неподвижна, то ac=0.
();
Точка
Е принадлежит звеньям 4 и 5:
Точка
e находится на пересечении линий действия , .
()
Положение
точек на плане ускорений определим исходя из пропорциональности отношений длин
звеньев c учетом обхода точек.
Ускорения
точек и звеньев:
Тангенциальные
ускорения:
Угловые
ускорения звеньев:
,;
,
,
,
Силы
инерции:
“-“
показывает направление силы инерции. Сила инерции направлена противоположно
ускорению.
Приведенные
моменты инерции:
Момент
инерции звеньев:
Момент
инерции направлен противоположно угловому ускорению.
Рассмотрим
группу Ассура 4-5.
Тангенциальные
реакции определим аналитически из уравнений моментов относительно точки Е звена
4:
;
;
где
BF, EK,,,,- плечи соответствующих сил, снятые с плана положений,
мм;
0;
Реакции
() и () определим графически через сумму всех сил для всей
группы:
Определим
масштабный коэффициент плана сил:
где
- масштабный коэффициент группы 4-5, Н/мм;
- вектор
силы GШ,
принятый равным 100, мм;
Задание 3.
Кинематика твердого тела
ускорение точка вал ползунный
Для внецентренного кривошипно-ползунного механизма выполнить
кинематический анализ с использованием аналитического и графоаналитического
способа.
Дано:
Заданы следующие параметры кривошипно-ползунного механизма
Yb =- 0,003 м
угловая скорость кривошипа ω1 = 240 с-1 = const. Направление движения кривошипа
против часовой стрелки
m3 = m2, где m3 - масса ползуна 3; m2 - масса шатуна 2
Р
= 2F1, где F1 - сила инерции кривошипа 1;
q = 10 - масса одного метра длинны звена
Построение плана 12 положений механизма
Определяем масштабный коэффициент длин, представляющий собой отношение
действительной длины в метрах к длине отрезка на чертеже в миллиметрах.
Изображаем длину кривошипа lОА на
чертеже отрезком l′ОА,
равным 51 мм. Тогда масштабный коэффициент будет иметь величину:
μl = = = 0,00333
Остальные длины звеньев, изображенные на чертеже, будут иметь следующие
значения:
l′АВ
= = = 150 ,
l′ВС
= = = 75 ,
е′ = = = 30
Из произвольной точки О откладываем отрезок lОА = 51 мм. Далее проводим
горизонтальную прямую Х, отстоящую от точки О по вертикали на
величину е′. Из точки А раствором циркуля, равным l′АВ, на оси Х
делаем засечку, получая точку В. На продолжении линии АВ
откладываем расстояние l′ВС
и отмечаем точку С. Указываем положение центров масс S1, S2, S3,(для положений механизма 2 и 7) которые находятся в
серединах отрезков ОА, АС, и в точке В. Аналогичным образом
строим и другие положения механизма, которые отличаются величинами угла φ1. Получаем план 12 положений
механизма. Положение механизма 2 и 7 выделяем толстыми линиями.
Построение плана скоростей положения механизма №2
Отдельно вычерчиваем положение механизма №2
Определяем скорость точки А.
VA = ω1∙ lОА = 12 ∙ 0,17 = 2,04 .
Находим масштабный коэффициент скоростей, для чего полученную величину
делим на длину вектора этой скорости, выбранную равной ра = 150 мм.
μV = = = 0,0136
Из произвольной точки р (полюса скоростей) проводим вектор A длиной 150 мм, который
перпендикулярен кривошипу ОА и направлен в сторону его вращения.
Скорость точки В находим графически, используя векторные уравнения:
B = A + BA,
B = B′ + BB′
Здесь точка В′ принадлежит стойке Х.
Так как скорости точек О и В′ равны нулю, то точки о
и b′ помещаем в полюсе. Уравнения
решаются так. Из точки а проводим линию, перпендикулярную шатуну АВ,
а из полюса - прямую, параллельную стойке Х. На пересечении ставим стрелки, получая
векторы скоростей B и BA.
Для нахождения положения точки с используем отношение:
= , bc = = = 37,6 мм
Откладываем эту величину на продолжении линии аb. Полученную точку соединяем с полюсом, получая вектор
скорости C. Численные значения скоростей
получаем путем замер каждого вектора и умножения полученной величины на μV.
VB = pb ∙ μ V = 135,5 ∙ 0,0136 = 1,8
VВА
= ba ∙ μ V = 75,5 ∙ 0,0136 = 1
VC = pc ∙ μ V = 145,5 ∙ 0,0136 = 2
Находим угловую скорость ω2 шатуна:
ω2 = = = 2
Направление этой скорости можно найти, поместив вектор BA в точку В и посмотрев, куда
повернется шатун АВ относительно точки В. В данном случае - по
часовой стрелке. Циркулем обозначим дуговую стрелку скорости ω2, ставя ножку циркуля в точку А.
Угловая скорость ω3 ползуна равна нулю.
Построение плана ускорений положения механизма №2
Ускорение точки А в общем случае складывается из двух
составляющих:
āА = +
= ∙ lОА = 122 ∙ 0,17 = 24,5
;
= ε1 ∙ lОА = 0, т.к.
ε1 = = 0
Следовательно, аА = = 24,5
Масштабный коэффициент ускорений можно найти путем деления этой величины
на длину πа вектора
āА на чертеже, равную 150 мм.
μА = = = 0,163
Ускорение точки А направлено параллельно кривошипу ОА от
точки А к центру О. Из произвольной точки π (полюса ускорений) проводим вектор āА длиной 150 мм. Ускорение
точки В находим графоаналитически, решая систему векторных уравнений:
āВ = āА + + , āВ = āВ′ +
Ускорения ā0 и āВ′ равны нулю, поэтому точки 0 и
b′ помещаем в полюсе.
Определяем ускорение :
= ∙ lВА = 22 ∙ 0,5 = 2
Это ускорение направлено параллельно шатуну ВА от точки В к
точке А. Длина вектора этого ускорения:
ат = = = 12,3 мм
В конце вектора проводим прямую, перпендикулярную шатуну АВ. Из
полюса π направляем
луч, параллельный стойке Х. На пересечении ставим стрелки, получая
векторы и āВ. Точка а и b соединяем и на продолжении от точки b откладываем отрезок bc, получаемый из соотношения:
= , bc = = = 65 мм
Точку с соединяем с полюсом, получая вектор āС. В серединах отрезков оа и са
находим положения точек s1 и s2, соединяя которые с полюсом, находим
векторы ускорений āS1 и āS2. Вектор ускорения āS3 совпадает с вектором āВ.
Замеряя длины векторов неизвестных ускорений, находим их численные
значения:
аB = 𝜋b ∙ μ А = 75 ∙ 0,163 = 12,2 ,
аС = 𝜋с ∙ μ А = 99 ∙ 0,163 = 16,1 ,
=
bт ∙ μ А = 129 ∙ 0,163 = 21 ,
aS1 = 𝜋 s1 ∙ μ А = 75 ∙ 0,163 = 12,2 ,S2 = 𝜋 s2 ∙ μ А = 82 ∙ 0,163 = 13,4 ,S3 = 𝜋 s3 ∙ μ А = 75 ∙ 0,163 = 12,2
Определяем угловое ускорение:
𝜀2 = = = 42
Переносим вектор в точку В механизма и находим, что угловое ускорение
направлено против часовой стрелки. Угловое ускорение 𝜀3 ползуна равно нулю.
Аналитическое исследование положения механизма №2
Для проверки точности результатов построения планов скоростей и ускорений
найдем линейные и угловые скорости и ускорения аналитическим методом.
Представим звенья механизма в виде векторов, а углы их наклона укажем от
положительного направления оси Х против хода часовой стрелки. Определим
угол φ2 следующим образом.
Из треугольника АВЕ находим угол α
α = arcsin .
Но АЕ = AD - DE.
Величину AD найдем из
треугольника OAD:
AD = OA ∙ sinφ1 = lОА ∙ sinφ1
Т.к. DE = e, то получим:
α = arcsin = arcsin = 5,4°
Следовательно, φ2 = 360° - 5,4° =
354,6°
Угловую скорость ω2 шатуна определим по формуле:
ω2 = - ω1 = - 12 = - 2,04
В этой формуле скорость ω1 подставляется со своим знаком. Знак
минус указывает, что скорость ω2 направлена по часовой стрелке.
Угловое ускорение 𝜀2 шатуна находим по
формуле:
𝜀2 = = = 42,2
Скорость ползуна определится следующим образом:
VB = ω1 = 12 = - 1,87
Знак минус говорит о том, что скорость направлена в сторону, обратную
направлению оси Х.
Ускорение ползуна вычисляем по формуле:
аВ = - = - =
= -12,28
Отрицательное значение указывает на то, что оно направлено влево.
Сравнение результатов, полученных различными способами, говорит о том,
что построения выполнены с высокой точностью.
Отдельно вычерчиваем положение механизма №2
Определяем скорость точки А.
VA = ω1∙ lОА = 12 ∙ 0,17 = 2,04 .
Находим масштабный коэффициент скоростей, для чего полученную величину
делим на длину вектора этой скорости, выбранную равной ра = 150 мм.
μV = = = 0,0136
Из произвольной точки р (полюса скоростей) проводим вектор A длиной 150 мм, который
перпендикулярен кривошипу ОА и направлен в сторону его вращения.
Скорость точки В находим графически, используя векторные уравнения:
B = A + BA, B = B′ + BB′
Здесь точка В′ принадлежит стойке Х.
Так как скорости точек О и В′ равны нулю, то точки о
и b′ помещаем в полюсе. Уравнения
решаются так. Из точки а проводим линию, перпендикулярную шатуну АВ,
а из полюса- прямую, параллельную стойке Х. На пересечении ставим
стрелки, получая векторы скоростей B и BA. Для нахождения положения точки с используем
отношение:
= , bc = = = 70 мм
Откладываем эту величину на продолжении линии аb. Полученную точку соединяем с полюсом, получая вектор
скорости C. Численные значения скоростей
получаем путем замер каждого вектора и умножения полученной величины на μV.
VB = pb ∙ μ V = 23,3 ∙ 0,0136 = 0,3
VВА
= ba ∙ μ V = 139,8 ∙ 0,0136 = 1,9
VC = pc ∙ μ V = 65 ∙ 0,0136 = 0,9
Находим угловую скорость ω2 шатуна:
ω2 = = = 3,8
Направление этой скорости можно найти, поместив вектор BA в точку В и посмотрев, куда
повернется шатун АВ относительно точки В. В данном случае -
против часовой стрелки. Циркулем обозначим дуговую стрелку скорости ω2, ставя ножку циркуля в точку А.
Угловая скорость ω3 ползуна равна нулю.
Построение плана ускорений положения механизма №7
Ускорение точки А в общем случае складывается из двух
составляющих:
āА = +
= ∙ lОА = 122 ∙ 0,17 = 24,5
;
= ε1 ∙ lОА = 0, т.к.
ε1 = = 0
Следовательно, аА = = 24,5
Масштабный коэффициент ускорений можно найти путем деления этой величины
на длину πа вектора
āА на чертеже, равную 150 мм.
μА = = = 0,163
Ускорение точки А направлено параллельно кривошипу ОА от
точки А к центру О. Из произвольной точки π (полюса ускорений) (рис. 2.7) проводим вектор āА длиной 150 мм. Ускорение точки
В находим графоаналитически, решая систему векторных уравнений:
āВ = āА + + , āВ = āВ′ +
Ускорения ā0 и āВ′ равны нулю, поэтому точки 0 и
b′ помещаем в полюсе.
Определяем ускорение :
= ∙ lВА = 3,82 ∙ 0,5 = 7,2
Это ускорение направлено параллельно шатуну ВА от точки В к
точке А. Длина вектора этого ускорения:
ат = = = 44,2 мм
В конце вектора проводим прямую, перпендикулярную шатуну АВ. Из
полюса π направляем
луч, параллельный стойке Х. На пересечении ставим стрелки, получая
векторы и āВ. Точка а и b соединяем и на продолжении от точки b откладываем отрезок bc, получаемый из соотношения:
= , bc = = = 38,7 мм
Точку с соединяем с полюсом, получая вектор āС. В серединах отрезков оа и са
находим положения точек s1 и s2, соединяя которые с полюсом, находим
векторы ускорений āS1 и āS2. Вектор ускорения āS3 совпадает с вектором āВ.
Замеряя длины векторов неизвестных ускорений, находим их численные
значения:
аB = 𝜋b ∙ μ А = 110,5 ∙ 0,163 = 18 ,
аС = 𝜋с ∙ μ А = 107,7 ∙ 0,163 = 17,5 ,
=
bт ∙ μ А = 62,6 ∙ 0,163 = 10,2 ,
aS1 = 𝜋 s1 ∙ μ А = 75 ∙ 0,163 = 12,2 ,S2 = 𝜋 s2 ∙ μ А = 117 ∙ 0,163 = 19 ,S3 = 𝜋 s3 ∙ μ А = 110,5 ∙ 0,163 = 18
Определяем угловое ускорение:
𝜀2 = = = 20,4
Переносим вектор в точку В механизма и находим, что угловое ускорение
направлено по часовой стрелке. Угловое ускорение 𝜀3 ползуна равно нулю.
Аналитическое исследование положения механизма №7
Для проверки точности результатов построения планов скоростей и ускорений
найдем линейные и угловые скорости и ускорения аналитическим методом.
Представим звенья механизма в виде векторов, а углы их наклона укажем от
положительного направления оси Х против хода часовой стрелки. Определим
угол φ2 следующим образом.
α = arcsin .
Но АЕ = AD + DE
Величину AD найдем из
треугольника OAD:
AD = OA ∙ sin(φ1 - 180°) = lОА ∙ sin(210° - 180°) = lОА ∙ sin30°
Т.к. DE = e, то получим:
α = arcsin = arcsin = 21,7°
Следовательно, φ2 = α = 21,7°
Угловую скорость ω2 шатуна определим по формуле:
ω2 = - ω1 = - 12 = 3,8
В этой формуле скорость ω1 подставляется со своим знаком. Знак
плюс указывает, что скорость ω2 направлена против часовой стрелки.
Угловое ускорение 𝜀2 шатуна находим по
формуле:
𝜀2 = = =
= - 20,6
Скорость ползуна определится следующим образом:
VB = ω1 = 12 = 0,3
Знак плюс говорит о том, что скорость направлена по направлению оси Х.
Ускорение ползуна вычисляем по формуле:
аВ = - = - =
= 18,3
Положительное значение указывает на то, что оно направлено вправо.
Сравнение результатов, полученных различными способами, говорит о том,
что построения выполнены с высокой точностью.
Изображаем механизм в положении №2 с обозначением масштабного
коэффициента μl = 0,00333 . На механизм действуют следующие
силы:
. Сила полезного сопротивления , указываемая в задании. Она
проложена в точке В ползуна 3 и направлена горизонтально.
. Силы тяжести , определяемые через массы звеньев, которые можно условно
найти по формуле m = q ∙ l, где q - единицы длины звена, l - длина звена:
m1 = q ∙ l1 = 10 ∙ 0,17 = 1,7 кг
m2 = q ∙ l2 = 10 ∙ 0,75 = 7,5 кг
m3 = m2 = 7,5 кг
Следовательно,
Q1 = m1 ∙ g =
1,7 ∙ 9,8 = 16,7 H
Q2 = m2∙ g =
7,5 ∙ 9,8 = 73,5 H
Q3 = m3 ∙ g =
7,5 ∙ 9,8 = 73,5 H
Силы тяжести прикладываются в центрах масс S1, S2, S3 и направлены вертикально вниз.
. Силы инерции звеньев , определяемые по формуле F = m ∙ as
F1
= m1 ∙ = 1,7 ∙ 12,2 = 24,7 H
F2
= m2 ∙ = 7,5 ∙ 13,4 = 100,5 H
F3 = m3 ∙ = 7,5 ∙ 12,2 = 91,5 H
Эти силы прикладываются в центрах масс и направлены они в стороны,
обратные ускорениям
4. Моменты сил инерции М, которые можно найти по формуле
М = Is ∙
ε, где
Is - моменты инерции звеньев относительно центральных осей
М1 = ∙ ε1 = 0, т.к. ε1 = 0
М2 = ∙ ε2
М3 = ∙ ε3 = 0, т.к. ε3 = 0
Моменты инерции звеньев определяем по формуле
Is =
= = = 0,35 кгм2
Следовательно,
М2 = ∙ ε2 = 0,35 ∙ 42,2 = 14,77 Нм
Моменты сил инерции направлены в стороны, обратные угловым ускорениям.
. Уравновешивающая сила у, прикладываемая в точке А кривошипа 1 и на - правленная перпендикулярно
ему. В нашем случае она направлена вверх.
Изображаем отдельно структурную группу, состоящую из шатуна 2 и ползуна
3. Реакцию 12 направляем произвольно, а реакцию 03 - вертикально. Пусть она направлена
вверх. Рассматриваем равновесие группы и записываем уравнение моментов
относительно точки А. Для этого сначала из точки А проводим
перпендикуляры ко всем силам, замеряем их длины в миллиметрах и умножаем на μl, получая их величины:
=
∙ μl = 112 ∙ 0, 00333 = 0,37 м
=
∙ μl = 54,2 ∙ 0, 00333 = 0,18 м
=
∙ μl = 149,3 ∙ 0, 00333 = 0,5 м
=
∙ μl = 14,2 ∙ 0, 00333 = 0,05 м
=
∙ μl = 149,3 ∙ 0, 00333 = 0,37 м
=
∙ μl = 14,2 ∙ 0, 00333 = 0,05 м
Уравнение равновесия будет иметь вид:
= - Q2 ∙
+ F2 ∙ - Q3 ∙ + F3 ∙ + R03 ∙ + P ∙ -
M2 = 0
R03 = 03 = = 107,16 H
Используя графическое условие равновесия группы = 0, составляем силовой многоугольник
(рис. 3.3) в масштабе μF = 1 .
Вычисляем длины векторов сил:
= =
= 73,5 мм
= =
= 73,5 мм
= =
= 73,5 мм
= =
= 91,5 мм
= =
= 49,4 мм
= =
= 107,16 мм
Сначала строим силы одного звена, а затем силы действующие на другое
звено. Начало первой силы (2) обозначаем точкой. Соединяем конец последней силы (03) с начало первой, получая вектор 12, который направлен в начало силы 2. Замеряем длину этого вектора в миллиметрах и
умножаем на μF,
получая величину силы 12.
R12 = ∙ μF = 233,1 ∙ 1 = 233,1 H
Вектор 12 перечеркиваем и направляем его так, как он идет в многоугольнике.
Чтобы получить реакцию в шарнире В, нужно рассмотреть равновесие второго
звена. Для этого начало силы 12 нужно соединить с концом силы 2. Получаем вектор 32, который идет в начало силы 12. Замеряем длину этого вектора и
умножаем на μF, получая значение силы 32.
R32 = ∙ μF = 145 ∙ 1 = 145 H
Изображаем отдельно кривошип 1 со всеми силами, причем реакцию 01 направляем пока произвольно, а сила 21 направлена в сторону, обратную силе 12, т.е. 21 = - 12. Из точки О проводим перпендикуляры
ко всем силам, замеряем их и умножаем на μl. Получаем длины плеч сил.
=
∙ μl = 12,7 ∙ 0, 00333 = 0,04 м
=
∙ μl = 44,2 ∙ 0, 00333 = 0,15 м
Рассматривая равновесие кривошипа, записываем уравнение моментов
относительно точки О.
= - Q1
∙ - R21
∙ + Pу ∙ lОА = 0
Откуда
Ру = = = 209,6 H
Используя графическое условие равновесия кривошипа = 0, составляем силовой многоугольник
в масштабе μF = 2 .
Находим длины векторов:
= =
= 8,35 мм
= =
= 116,5 мм
= =
= 104,8 мм
Соединяем начало первой силы 1 и конец последней у, получаем вектор 01, который направлен в начало силы 1. Находим величину этой силы:
R01 = ∙ μF = 68,7 ∙ 2 = 137,4 H
Вектор 01 перечеркиваем и направляем так, как он идет в многоугольнике.
Для проверки точности расчетов и построений найдем уравновешивающую силу
по методу Жуковского. Момент силы инерции второго звена М2 заменяем
парой сил и (рис. 3.1), действующих в точках А и С и направленных
перпендикулярно шатуну АС. При этом направление пары сил совпадает с
направлением момента М2.
Найдем величины этих сил:
= = =
= 19,7 H
Переносим с первого листа курсовой работы план скоростей, на который
помещаем все внешние силы (рис. 3.6), проложив их в соответствующие точки и
повернув на 90° по часовой стрелке. Из полюса скоростей р проводим к
силам перпендикуляры, которые являются плечами сил. Замеряем длины
перпендикуляров и записывает уравнение моментов относительна полюса р.
= Q1∙ + F2
∙ + Q2 ∙ +
F3 ∙ pb + P ∙ pb - ∙ - Pу
∙ pа - ∙ = 0
Ру =
Pу
= =
= 107,16 H
Сравнение результатов, полученных двумя способами, говорит о том, что
погрешность вычислений и построений незначительна.
Задача 1.
Статика
Дано:
P1=1kH1=28kH=1kH/mA RB
RCD RE -?
(1) ΣFkx=XD1-P1*Sin45o=0
(2) ΣFky=RA+YD1-P1*Cos45o=0
(3) ΣMD(Fk)=-RA*4+P1*2*Sin45o=0
(1)=>XD1=P1*Sin45o≈5.66(kH)
(3)=>RA=(2P1*Sin45o)/4≈2.83(kH)
(2)=>YD1=P1*Cos45o-RA≈2.83(kH)
(4) ΣFkx=XD2=0
(5) ΣFky=YD2+RE-Q=0
(6) ΣMD(Fk)=-Q*1+RE*2=0=q*2=2(kH)
(4)=>XD2=0(kH)
(6)=>RE=Q/2=1(kH)
(5)=>YD2=Q-RE=1(kH)
)
(7) ΣFkx=XD3+RC=0
(8) ΣFky=RBYD3=0
(9) ΣMB(Fk)=MB+M1+YD3*2-XD3*2=0
(10) XD1+XD2+XD3=0
(11) YD1+YD2+YD3=0
(10)=>XD3= -XD1-XD2=
-5.66(kH)
(11)=>YD3= -YD1-YD2=
-3.83(kH)
(7)=>RC= - XD3=5.66(kH)
(8)=>RB= - YD3=3.83(kH)
(9)=>MB= -M1-2*YD3+2*XD3=
-31.66(kHm)
Проверка:
ΣFKX= -P1*Sin45O+RC=
-5.66+5.66=0
ΣFKY=RA-P1*Cos45O+RE-Q+RB=2.83-8*Cos45O+1-2+3.83=0
ΣMD(FK)= -RA*4+P1*2*
Sin45O-Q*1+RE*2+M1+MB-RB*2+RC*2=
- 4*2.83+16* Sin45O-2+2*1+28-31.66-2*3.83+2*5.66=0
Ответ:
MB
|
RA
|
RB
|
RC
|
XD1
|
XD2
|
XD3
|
YD1
|
YD2
|
YD3
|
RE
|
-
|
+
|
+
|
+
|
+
|
|
-
|
+
|
+
|
-
|
+
|
31.66
|
2.83
|
3.83
|
5.66
|
5.66
|
0
|
5.66
|
2.83
|
1
|
3.83
|
|
kHm
|
kH
|
kH
|
kH
|
kH
|
kH
|
kH
|
kH
|
kH
|
kH
|
kH
|
Задача 2.
Статика
Дано: М=100 Нм, 10 Н, 40 Н, l==0,5 м.
Найти: Реакции связей в т. А и В
РЕШЕНИЕ:
Рассмотрим
равновесие жесткой рамы. На раму действуют силы: силы и , пара
сил с моментом М и реакции связей , , .
Неизвестны
реакции связей , , .
Для
полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия:
уравнение
моментов относительно т.А
,
, отсюда
=
== 96 (Н);
уравнения
проекций на оси координат
, , отсюда
== -28,7 (Н)
действительное
направление реакции противоположно принятому на рисунке;
, , отсюда
== -66,4 (кН)
действительное
направление реакции противоположно принятому на рисунке.