Кинематика точки и вращательное движение тела

Задание 1. Кинематика точки

По заданным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени t=t₁(с) найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Дано:

1. Уравнение траектории. Для определения уравнения траектории точки исключим время  из заданных уравнений движения.

Воспользуемся свойством тригонометрических функций

.

Тогда ,

и

и .

Это уравнение параболы.

2. Скорость точки. Скорость найдем по ее проекциям на координатные оси:

, где

, . При =1 с

(см/с),  (см/с),

(см/с).

. Ускорение точки. Находим аналогично:

,

,

и при =1 с

(см/с²),

 (см/с²),

(см/с²).

4. Касательное ускорение. Найдем, дифференцируя равенство

.

Получим

,

откуда

и при =1 с

(см/с²).

. Нормальное ускорение.

(см/с²).

. Радиус кривизны траектории.

(см).

Задание 2. Вращательное движение тела

Вал электродвигателя, связанный со шкивом 1 ременной передачи, вращается равноускоренно в течение t секунд. Найти передаточные числа передач, угловые скорости и угловые ускорения звеньев, скорость и ускорения точки М для момента времени t₁.

Кинематические пары механизма:

O(0-1); A(1-2); B(2-3);B(3-4); C(0-3); E(4-5);К(0-5) - вращательные пары 5 класса;

Число всех звеньев механизма:

m = 6.

Число подвижных звеньев механизма:

n = 5.

Число степеней свободы механизма:

W = 3×n - 2×P₅ - P₄= 3×5 - 2×7 - 0 = 1,

где P₅ - число пар 5-го класса (низшие пары);

P₄ - число пар 4-го класса (высшие пары).

Разложим механизм на группы Ассура

Рассмотрим группу (4-5)

К(0-5) - возможная пара;

Е(4-5) - действительная пара;

В(3-4) - возможная пара.

W_гр = 3×n - 2×P₅ = 3×2 - 2×3 = 0,

где W_гр - степень свободы группы;

n - число подвижных звеньев группы;

Р₅ - число пар 5-го класса, входящих в группу.

Формула группы:

Рассмотрим группу (2-3)

n = 2

А(1-2) - возможная пара;

В(2-3) - действительная пара;

В(3-4) - возможная пара.

W_гр = 3×n - 2×P₅ = 3×2 - 2×3 = 0,

Формула группы:

Рассмотрим начальный механизм

n = 1;

W = 3×n - 2×P₅ - P₄;

O(0-1) - действительная пара

W = 3×1 - 2×1 = 1.

Формула механизма

Структурная формула механизма:

Механизм II класса 1 вида.

Планы скоростей строим повернутыми на 90^о графо-аналитическим методом, решая системы векторных уравнений.

Определяем скорость точки М₀ механизма:

V_A = ω₁×l_AO = 15×0,06 = 0,9 м/с,

где V_A - скорость точки А, м/с;

l_AO - длина звена, м.

где m_V - масштабный коэффициент плана скоростей, ;

Найдем скорость точки.

Точка принадлежит звеньям 2 и 3. Её положение на плане скоростей определяется как точка пересечения линий действия соответствующих векторов скоростей.

Так как точка С неподвижна, то:

Определим скорость точки Е, принадлежащей звеньям 4 и 5:

Точка К является неподвижной опорой:

где V - линейная скорость точки или звена, м/с;

- вектор скорости точки, или звена.

V_B = pb × μ_V = 66,6 × 0,0198 = 1,32 м/с;

V_E = pe × μ_V = 59,3× 0,0198 = 1,17 м/с;

V_D = pd × μ_V = 96,2 × 0,0198 = 1,9 м/с;

V_F = pf × μ_V = 117,7 × 0,0198 = 2,33 м/с;

V_AB = ab × μ_V = 45,7 × 0,0198 = 0,9 м/с;

V_DF = df × μ_V = 182,4 × 0,0198 = 3,61 м/с.

Угловые скорости звеньев определяются по формуле:

где w - угловая скорость звена, с^-1;- скорость звена, м/с;- длина звена, м.

Массы звеньев 1, 2, 3, 5 не заданы, поэтому их силы тяжести не учитываем. Приведенный момент M_п представим в виде пары сил P_п с плечом AB. Приведение произведем с помощью “Рычага Жуковского”. Одна из составляющих пары сил P_п не будут иметь момента относительно полюса плана скоростей, поэтому ее не показываем. Величину и направление P_п определим из равенства - по величине и направлению - момента силы P_п сумме моментов сил G_Ш и G_F относительно полюса.

Для положения 1:

где pa, ,  - плечи сил (снимаются с планов скоростей), мм;

P_пр - приведенная сила, Н;

Для положения 2:

Для положения 3:

Для положения 4:

Для положения 5:

Для положения 6:

Для положения 7:

Для положения 8:

Для положения 9:

Для положения 10:

Для положения 11:

Для положения 12:

Приведенный момент будем определять по формуле:

где М_с - приведенный момент сил сопротивления, Н×м.

Для расчетного положения:

Строим план ускорений для расчётного положения.

Ускорения точек звеньев будем определять по формуле:

,

где  - полное ускорение точки, ;

 - нормальное ускорение точки, ;

 - тангенциальное (касательное) ускорение точки, ;

Так как угловая скорость кривошипа постоянна, то .

Из произвольно выбранного полюса откладываем вектор . Найдём масштабный коэффициент плана ускорений:

Для нахождения ускорений точек звеньев используем графоаналитический метод.

Точка B принадлежит звеньям 2 и 3. Её положение на плане ускорений определяется как точка пересечения линий действия соответствующих векторов ускорений:

Точка b находится на пересечении линий действия ,.

 ();

Так как стойка неподвижна, то a_c=0.

 ();

Точка Е принадлежит звеньям 4 и 5:

Точка e находится на пересечении линий действия , .

 ()

Положение точек на плане ускорений определим исходя из пропорциональности отношений длин звеньев c учетом обхода точек.

Ускорения точек и звеньев:

Тангенциальные ускорения:

Угловые ускорения звеньев:

,;

,

,

,

Силы инерции:

“-“ показывает направление силы инерции. Сила инерции направлена противоположно ускорению.

Приведенные моменты инерции:

Момент инерции звеньев:

Момент инерции направлен противоположно угловому ускорению.

Рассмотрим группу Ассура 4-5.

Тангенциальные реакции определим аналитически из уравнений моментов относительно точки Е звена 4:

;

;

где BF, EK,,,,- плечи соответствующих сил, снятые с плана положений, мм;

0;

Реакции () и () определим графически через сумму всех сил для всей группы:

Определим масштабный коэффициент плана сил:

где - масштабный коэффициент группы 4-5, Н/мм;

 - вектор силы G_Ш, принятый равным 100, мм;

Задание 3. Кинематика твердого тела

ускорение точка вал ползунный

Для внецентренного кривошипно-ползунного механизма выполнить кинематический анализ с использованием аналитического и графоаналитического способа.

Дано:

Заданы следующие параметры кривошипно-ползунного механизма

Y_b =- 0,003 м

угловая скорость кривошипа ω₁ = 240 с^-1 = const. Направление движения кривошипа против часовой стрелки

m₃ = m₂, где m₃ - масса ползуна 3; m₂ - масса шатуна 2

Р = 2F₁, где F₁ - сила инерции кривошипа 1;

q = 10 - масса одного метра длинны звена

Построение плана 12 положений механизма

Определяем масштабный коэффициент длин, представляющий собой отношение действительной длины в метрах к длине отрезка на чертеже в миллиметрах. Изображаем длину кривошипа l_ОА на чертеже отрезком l′_ОА, равным 51 мм. Тогда масштабный коэффициент будет иметь величину:

μ_l =  =  = 0,00333

Остальные длины звеньев, изображенные на чертеже, будут иметь следующие значения:

l′_АВ =  =  = 150 ,

l′_ВС =  =  = 75 ,

е′ =  =  = 30

Из произвольной точки О откладываем отрезок l_ОА = 51 мм. Далее проводим горизонтальную прямую Х, отстоящую от точки О по вертикали на величину е′. Из точки А раствором циркуля, равным l′_АВ, на оси Х делаем засечку, получая точку В. На продолжении линии АВ откладываем расстояние l′_ВС и отмечаем точку С. Указываем положение центров масс S₁, S₂, S₃,(для положений механизма 2 и 7) которые находятся в серединах отрезков ОА, АС, и в точке В. Аналогичным образом строим и другие положения механизма, которые отличаются величинами угла φ₁. Получаем план 12 положений механизма. Положение механизма 2 и 7 выделяем толстыми линиями.

Построение плана скоростей положения механизма №2

Отдельно вычерчиваем положение механизма №2

Определяем скорость точки А.

V_A = ω₁∙ l_ОА = 12 ∙ 0,17 = 2,04 .

Находим масштабный коэффициент скоростей, для чего полученную величину делим на длину вектора этой скорости, выбранную равной ра = 150 мм.

μ_V =  =  = 0,0136

Из произвольной точки р (полюса скоростей) проводим вектор _A длиной 150 мм, который перпендикулярен кривошипу ОА и направлен в сторону его вращения. Скорость точки В находим графически, используя векторные уравнения:

_B = _A + _{BA, B} = _B′ + _BB′

Здесь точка В′ принадлежит стойке Х.

Так как скорости точек О и В′ равны нулю, то точки о и b′ помещаем в полюсе. Уравнения решаются так. Из точки а проводим линию, перпендикулярную шатуну АВ, а из полюса - прямую, параллельную стойке Х. На пересечении ставим стрелки, получая векторы скоростей _B и _BA. Для нахождения положения точки с используем отношение:

 = , bc =  =  = 37,6 мм

Откладываем эту величину на продолжении линии аb. Полученную точку соединяем с полюсом, получая вектор скорости _C. Численные значения скоростей получаем путем замер каждого вектора и умножения полученной величины на μ_V.

V_B = pb ∙ μ _V = 135,5 ∙ 0,0136 = 1,8

V_ВА = ba ∙ μ _V = 75,5 ∙ 0,0136 = 1

V_C = pc ∙ μ _V = 145,5 ∙ 0,0136 = 2

Находим угловую скорость ω₂ шатуна:

ω₂ =  =  = 2

Направление этой скорости можно найти, поместив вектор _BA в точку В и посмотрев, куда повернется шатун АВ относительно точки В. В данном случае - по часовой стрелке. Циркулем обозначим дуговую стрелку скорости ω₂, ставя ножку циркуля в точку А.

Угловая скорость ω₃ ползуна равна нулю.

Построение плана ускорений положения механизма №2

Ускорение точки А в общем случае складывается из двух составляющих:

ā_А =  +

 =  ∙ l_ОА = 12² ∙ 0,17 = 24,5  ;

 = ε₁ ∙ l_ОА = 0, т.к. ε₁ =  = 0

Следовательно, а_А =  = 24,5

Масштабный коэффициент ускорений можно найти путем деления этой величины на длину πа вектора ā_А на чертеже, равную 150 мм.

μ_А =  =  = 0,163

Ускорение точки А направлено параллельно кривошипу ОА от точки А к центру О. Из произвольной точки π (полюса ускорений) проводим вектор ā_А длиной 150 мм. Ускорение точки В находим графоаналитически, решая систему векторных уравнений:

ā_В = ā_А +  + , ā_В = ā_В′ +

Ускорения ā₀ и ā_В′ равны нулю, поэтому точки 0 и b′ помещаем в полюсе.

Определяем ускорение  :

 =  ∙ l_ВА = 2² ∙ 0,5 = 2

Это ускорение направлено параллельно шатуну ВА от точки В к точке А. Длина вектора этого ускорения:

ат =  =  = 12,3 мм

В конце вектора  проводим прямую, перпендикулярную шатуну АВ. Из полюса π направляем луч, параллельный стойке Х. На пересечении ставим стрелки, получая векторы  и ā_В. Точка а и b соединяем и на продолжении от точки b откладываем отрезок bc, получаемый из соотношения:

 = , bc =  =  = 65 мм

Точку с соединяем с полюсом, получая вектор ā_С. В серединах отрезков оа и са находим положения точек s₁ и s₂, соединяя которые с полюсом, находим векторы ускорений ā_S1 и ā_S2. Вектор ускорения ā_S3 совпадает с вектором ā_В.

Замеряя длины векторов неизвестных ускорений, находим их численные значения:

а_B = 𝜋b ∙ μ _А = 75 ∙ 0,163 = 12,2 ,

а_С = 𝜋с ∙ μ _А = 99 ∙ 0,163 = 16,1 ,

 = bт ∙ μ _А = 129 ∙ 0,163 = 21 ,

a_S1 = 𝜋 s₁ ∙ μ _А = 75 ∙ 0,163 = 12,2 ,_S2 = 𝜋 s₂ ∙ μ _А = 82 ∙ 0,163 = 13,4 ,_S3 = 𝜋 s₃ ∙ μ _А = 75 ∙ 0,163 = 12,2

Определяем угловое ускорение:

𝜀₂ =  =  = 42

Переносим вектор  в точку В механизма и находим, что угловое ускорение направлено против часовой стрелки. Угловое ускорение 𝜀₃ ползуна равно нулю.

Аналитическое исследование положения механизма №2

Для проверки точности результатов построения планов скоростей и ускорений найдем линейные и угловые скорости и ускорения аналитическим методом.

Представим звенья механизма в виде векторов, а углы их наклона укажем от положительного направления оси Х против хода часовой стрелки. Определим угол φ₂ следующим образом.

Из треугольника АВЕ находим угол α

α = arcsin .

Но АЕ = AD - DE.

Величину AD найдем из треугольника OAD:

AD = OA ∙ sinφ₁ = l_ОА ∙ sinφ₁

Т.к. DE = e, то получим:

α = arcsin  = arcsin  = 5,4°

Следовательно, φ₂ = 360° - 5,4° = 354,6°

Угловую скорость ω₂ шатуна определим по формуле:

ω₂ = - ω₁  = - 12  = - 2,04

В этой формуле скорость ω₁ подставляется со своим знаком. Знак минус указывает, что скорость ω₂ направлена по часовой стрелке.

Угловое ускорение 𝜀₂ шатуна находим по формуле:

𝜀₂ =  = = 42,2

Скорость ползуна определится следующим образом:

V_B = ω₁ = 12  = - 1,87

Знак минус говорит о том, что скорость направлена в сторону, обратную направлению оси Х.

Ускорение ползуна вычисляем по формуле:

а_В = -  = - =

= -12,28

Отрицательное значение указывает на то, что оно направлено влево.

Сравнение результатов, полученных различными способами, говорит о том, что построения выполнены с высокой точностью.

Отдельно вычерчиваем положение механизма №2

Определяем скорость точки А.

V_A = ω₁∙ l_ОА = 12 ∙ 0,17 = 2,04 .

Находим масштабный коэффициент скоростей, для чего полученную величину делим на длину вектора этой скорости, выбранную равной ра = 150 мм.

μ_V =  =  = 0,0136

Из произвольной точки р (полюса скоростей) проводим вектор _A длиной 150 мм, который перпендикулярен кривошипу ОА и направлен в сторону его вращения. Скорость точки В находим графически, используя векторные уравнения:

_B = _A + _{BA, B} = _B′ + _BB′

Здесь точка В′ принадлежит стойке Х.

Так как скорости точек О и В′ равны нулю, то точки о и b′ помещаем в полюсе. Уравнения решаются так. Из точки а проводим линию, перпендикулярную шатуну АВ, а из полюса- прямую, параллельную стойке Х. На пересечении ставим стрелки, получая векторы скоростей _B и _BA. Для нахождения положения точки с используем отношение:

 = , bc =  =  = 70 мм

Откладываем эту величину на продолжении линии аb. Полученную точку соединяем с полюсом, получая вектор скорости _C. Численные значения скоростей получаем путем замер каждого вектора и умножения полученной величины на μ_V.

V_B = pb ∙ μ _V = 23,3 ∙ 0,0136 = 0,3

V_ВА = ba ∙ μ _V = 139,8 ∙ 0,0136 = 1,9

V_C = pc ∙ μ _V = 65 ∙ 0,0136 = 0,9

Находим угловую скорость ω₂ шатуна:

ω₂ =  =  = 3,8

Направление этой скорости можно найти, поместив вектор _BA в точку В и посмотрев, куда повернется шатун АВ относительно точки В. В данном случае - против часовой стрелки. Циркулем обозначим дуговую стрелку скорости ω₂, ставя ножку циркуля в точку А.

Угловая скорость ω₃ ползуна равна нулю.

Построение плана ускорений положения механизма №7

Ускорение точки А в общем случае складывается из двух составляющих:

ā_А =  +

 =  ∙ l_ОА = 12² ∙ 0,17 = 24,5  ;

 = ε₁ ∙ l_ОА = 0, т.к. ε₁ =  = 0

Следовательно, а_А =  = 24,5

Масштабный коэффициент ускорений можно найти путем деления этой величины на длину πа вектора ā_А на чертеже, равную 150 мм.

μ_А =  =  = 0,163

Ускорение точки А направлено параллельно кривошипу ОА от точки А к центру О. Из произвольной точки π (полюса ускорений) (рис. 2.7) проводим вектор ā_А длиной 150 мм. Ускорение точки В находим графоаналитически, решая систему векторных уравнений:

ā_В = ā_А +  + , ā_В = ā_В′ +

Ускорения ā₀ и ā_В′ равны нулю, поэтому точки 0 и b′ помещаем в полюсе.

Определяем ускорение  :

 =  ∙ l_ВА = 3,8² ∙ 0,5 = 7,2

Это ускорение направлено параллельно шатуну ВА от точки В к точке А. Длина вектора этого ускорения:

ат =  =  = 44,2 мм

В конце вектора  проводим прямую, перпендикулярную шатуну АВ. Из полюса π направляем луч, параллельный стойке Х. На пересечении ставим стрелки, получая векторы  и ā_В. Точка а и b соединяем и на продолжении от точки b откладываем отрезок bc, получаемый из соотношения:

 = , bc =  =  = 38,7 мм

Точку с соединяем с полюсом, получая вектор ā_С. В серединах отрезков оа и са находим положения точек s₁ и s₂, соединяя которые с полюсом, находим векторы ускорений ā_S1 и ā_S2. Вектор ускорения ā_S3 совпадает с вектором ā_В.

Замеряя длины векторов неизвестных ускорений, находим их численные значения:

а_B = 𝜋b ∙ μ _А = 110,5 ∙ 0,163 = 18 ,

а_С = 𝜋с ∙ μ _А = 107,7 ∙ 0,163 = 17,5 ,

 = bт ∙ μ _А = 62,6 ∙ 0,163 = 10,2 ,

a_S1 = 𝜋 s₁ ∙ μ _А = 75 ∙ 0,163 = 12,2 ,_S2 = 𝜋 s₂ ∙ μ _А = 117 ∙ 0,163 = 19 ,_S3 = 𝜋 s₃ ∙ μ _А = 110,5 ∙ 0,163 = 18

Определяем угловое ускорение:

𝜀₂ =  =  = 20,4

Переносим вектор  в точку В механизма и находим, что угловое ускорение направлено по часовой стрелке. Угловое ускорение 𝜀₃ ползуна равно нулю.

Аналитическое исследование положения механизма №7

Для проверки точности результатов построения планов скоростей и ускорений найдем линейные и угловые скорости и ускорения аналитическим методом.

Представим звенья механизма в виде векторов, а углы их наклона укажем от положительного направления оси Х против хода часовой стрелки. Определим угол φ₂ следующим образом.

α = arcsin .

Но АЕ = AD + DE

Величину AD найдем из треугольника OAD:

AD = OA ∙ sin(φ₁ - 180°) = l_ОА ∙ sin(210° - 180°) = l_ОА ∙ sin30°

Т.к. DE = e, то получим:

α = arcsin  = arcsin  = 21,7°

Следовательно, φ₂ = α = 21,7°

Угловую скорость ω₂ шатуна определим по формуле:

ω₂ = - ω₁  = - 12  = 3,8

В этой формуле скорость ω₁ подставляется со своим знаком. Знак плюс указывает, что скорость ω₂ направлена против часовой стрелки.

Угловое ускорение 𝜀₂ шатуна находим по формуле:

𝜀₂ = = =

= - 20,6

Скорость ползуна определится следующим образом:

V_B = ω₁ = 12  = 0,3

Знак плюс говорит о том, что скорость направлена по направлению оси Х.

Ускорение ползуна вычисляем по формуле:

а_В = -  = - =

= 18,3

Положительное значение указывает на то, что оно направлено вправо.

Сравнение результатов, полученных различными способами, говорит о том, что построения выполнены с высокой точностью.

Изображаем механизм в положении №2 с обозначением масштабного коэффициента μ_l = 0,00333 . На механизм действуют следующие силы:

.        Сила полезного сопротивления , указываемая в задании. Она проложена в точке В ползуна 3 и направлена горизонтально.

.        Силы тяжести , определяемые через массы звеньев, которые можно условно найти по формуле m = q ∙ l, где q - единицы длины звена, l - длина звена:

m₁ = q ∙ l₁ = 10 ∙ 0,17 = 1,7 кг

m₂ = q ∙ l₂ = 10 ∙ 0,75 = 7,5 кг

m₃ = m₂ = 7,5 кг

Следовательно,

Q₁ = m₁ ∙ g = 1,7 ∙ 9,8 = 16,7 H

Q₂ = m₂∙ g = 7,5 ∙ 9,8 = 73,5 H

Q₃ = m₃ ∙ g = 7,5 ∙ 9,8 = 73,5 H

Силы тяжести прикладываются в центрах масс S₁, S₂, S₃ и направлены вертикально вниз.

.        Силы инерции звеньев , определяемые по формуле F = m ∙ a_s

F₁ = m₁ ∙ = 1,7 ∙ 12,2 = 24,7 H

F₂ = m₂ ∙ = 7,5 ∙ 13,4 = 100,5 H

F₃ = m₃ ∙ = 7,5 ∙ 12,2 = 91,5 H

Эти силы прикладываются в центрах масс и направлены они в стороны, обратные ускорениям

4.      Моменты сил инерции М, которые можно найти по формуле

М = I_s ∙ ε, где

I_s - моменты инерции звеньев относительно центральных осей

М₁ =  ∙ ε₁ = 0, т.к. ε₁ = 0

М₂ =  ∙ ε₂

М₃ =  ∙ ε₃ = 0, т.к. ε₃ = 0

Моменты инерции звеньев определяем по формуле

I_s =

 =  =  = 0,35 кгм²

Следовательно,

М₂ =  ∙ ε₂ = 0,35 ∙ 42,2 = 14,77 Нм

Моменты сил инерции направлены в стороны, обратные угловым ускорениям.

. Уравновешивающая сила _у, прикладываемая в точке А кривошипа 1 и на - правленная перпендикулярно ему. В нашем случае она направлена вверх.

Изображаем отдельно структурную группу, состоящую из шатуна 2 и ползуна 3. Реакцию ₁₂ направляем произвольно, а реакцию ₀₃ - вертикально. Пусть она направлена вверх. Рассматриваем равновесие группы и записываем уравнение моментов относительно точки А. Для этого сначала из точки А проводим перпендикуляры ко всем силам, замеряем их длины в миллиметрах и умножаем на μ_l, получая их величины:

 =  ∙ μ_l = 112 ∙ 0, 00333 = 0,37 м

 =  ∙ μ_l = 54,2 ∙ 0, 00333 = 0,18 м

 =  ∙ μ_l = 149,3 ∙ 0, 00333 = 0,5 м

 =  ∙ μ_l = 14,2 ∙ 0, 00333 = 0,05 м

 =  ∙ μ_l = 149,3 ∙ 0, 00333 = 0,37 м

 =  ∙ μ_l = 14,2 ∙ 0, 00333 = 0,05 м

Уравнение равновесия будет иметь вид:

 = - Q₂ ∙  + F₂ ∙  - Q₃ ∙  + F₃ ∙  + R₀₃ ∙  + P ∙  -

M₂ = 0

R₀₃ = ₀₃ =  = 107,16 H

Используя графическое условие равновесия группы = 0, составляем силовой многоугольник (рис. 3.3) в масштабе μ_F = 1 .

Вычисляем длины векторов сил:

=  =  = 73,5 мм

=  =  = 73,5 мм

=  =  = 73,5 мм

=  =  = 91,5 мм

=  =  = 49,4 мм

=  =  = 107,16 мм

Сначала строим силы одного звена, а затем силы действующие на другое звено. Начало первой силы (₂₎ обозначаем точкой. Соединяем конец последней силы (₀₃₎ с начало первой, получая вектор _12, который направлен в начало силы ₂. Замеряем длину этого вектора в миллиметрах и умножаем на μ_F, получая величину силы _12.

R₁₂ =  ∙ μ_F = 233,1 ∙ 1 = 233,1 H

Вектор ₁₂ перечеркиваем и направляем его так, как он идет в многоугольнике.

Чтобы получить реакцию в шарнире В, нужно рассмотреть равновесие второго звена. Для этого начало силы ₁₂ нужно соединить с концом силы _2. Получаем вектор _32, который идет в начало силы _12. Замеряем длину этого вектора и умножаем на μ_F, получая значение силы _32.

R₃₂ =  ∙ μ_F = 145 ∙ 1 = 145 H

Изображаем отдельно кривошип 1 со всеми силами, причем реакцию ₀₁ направляем пока произвольно, а сила ₂₁ направлена в сторону, обратную силе _12, т.е. ₂₁ = - _12. Из точки О проводим перпендикуляры ко всем силам, замеряем их и умножаем на μ_l. Получаем длины плеч сил.

 =  ∙ μ_l = 12,7 ∙ 0, 00333 = 0,04 м

 =  ∙ μ_l = 44,2 ∙ 0, 00333 = 0,15 м

Рассматривая равновесие кривошипа, записываем уравнение моментов относительно точки О.

 = - Q₁ ∙  - R₂₁ ∙  + P_у ∙ l_ОА = 0

Откуда

Р_у =  =  = 209,6 H

Используя графическое условие равновесия кривошипа = 0, составляем силовой многоугольник в масштабе μ_F = 2 .

Находим длины векторов:

=  =  = 8,35 мм

=  =  = 116,5 мм

=  =  = 104,8 мм

Соединяем начало первой силы ₁ и конец последней _у, получаем вектор ₀₁, который направлен в начало силы _1. Находим величину этой силы:

R₀₁ =  ∙ μ_F = 68,7 ∙ 2 = 137,4 H

Вектор ₀₁ перечеркиваем и направляем так, как он идет в многоугольнике.

Для проверки точности расчетов и построений найдем уравновешивающую силу по методу Жуковского. Момент силы инерции второго звена М₂ заменяем парой сил  и  (рис. 3.1), действующих в точках А и С и направленных перпендикулярно шатуну АС. При этом направление пары сил совпадает с направлением момента М₂.

Найдем величины этих сил:

 =  =  =  = 19,7 H

Переносим с первого листа курсовой работы план скоростей, на который помещаем все внешние силы (рис. 3.6), проложив их в соответствующие точки и повернув на 90° по часовой стрелке. Из полюса скоростей р проводим к силам перпендикуляры, которые являются плечами сил. Замеряем длины перпендикуляров и записывает уравнение моментов относительна полюса р.

= Q₁∙  + F₂ ∙  + Q₂ ∙  + F₃ ∙ pb + P ∙ pb -  ∙  - P_у ∙ pа -  ∙  = 0

Р_у =

P_у =  =

= 107,16 H

Сравнение результатов, полученных двумя способами, говорит о том, что погрешность вычислений и построений незначительна.

Задача 1. Статика

Дано:

P₁=1kH₁=28kH=1kH/m_A R_B R_CD R_E -?

(1)   ΣF_kx=X_D1-P₁*Sin45^o=0

(2)     ΣF_ky=R_A+Y_D1-P₁*Cos45^o=0

(3)       ΣM_D(F_k)=-R_A*4+P₁*2*Sin45^o=0

(1)=>X_D1=P₁*Sin45^o≈5.66(kH)

(3)=>R_A=(2P1*Sin45^o)/4≈2.83(kH)

(2)=>Y_D1=P₁*Cos45^o-R_A≈2.83(kH)

(4) ΣF_kx=X_D2=0

(5) ΣF_ky=Y_D2+R_E-Q=0

(6) ΣM_D(F_k)=-Q*1+R_E*2=0=q*2=2(kH)

(4)=>X_D2=0(kH)

(6)=>R_E=Q/2=1(kH)

(5)=>Y_D2=Q-R_E=1(kH)

)

(7) ΣF_kx=X_D3+R_C=0

(8) ΣF_ky=R_BY_D3=0

(9) ΣM_B(F_k)=M_B+M₁+Y_D3*2-X_D3*2=0

(10) X_D1+X_D2+X_D3=0

(11) Y_D1+Y_D2+Y_D3=0

(10)=>X_D3= -X_D1-X_D2= -5.66(kH)

(11)=>Y_D3= -Y_D1-Y_D2= -3.83(kH)

(7)=>R_C= - X_D3=5.66(kH)

(8)=>R_B= - Y_D3=3.83(kH)

(9)=>M_B= -M₁-2*Y_D3+2*X_D3= -31.66(kHm)

Проверка:

ΣF_KX= -P_1*Sin45^O+R_C= -5.66+5.66=0

ΣF_KY=R_A-P₁*Cos45^O+R_E-Q+R_B=2.83-8*Cos45^O+1-2+3.83=0

ΣM_D(F_K)= -R_A*4+P₁*2* Sin45^O-Q*1+R_E*2+M₁+M_B-R_B*2+R_C*2= - 4*2.83+16* Sin45^O-2+2*1+28-31.66-2*3.83+2*5.66=0

Ответ:

Задача 2. Статика

Дано: М=100 Нм, 10 Н, 40 Н, l==0,5 м.

Найти: Реакции связей в т. А и В

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим равновесие жесткой рамы. На раму действуют силы: силы  и , пара сил с моментом М и реакции связей , , .

Неизвестны реакции связей , , .

Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия:

уравнение моментов относительно т.А

,

, отсюда

=

== 96 (Н);

уравнения проекций на оси координат

, , отсюда

== -28,7 (Н)

действительное направление реакции противоположно принятому на рисунке;

, , отсюда

== -66,4 (кН)

действительное направление реакции противоположно принятому на рисунке.