Исследование систем автоматического управления

Балаковский институт техники, технологии и управления

Факультет инженерно-строительный

Кафедра Управление и информатика в технических системах

Реферат

по дисциплине

Математические основы технических систем

На тему:

Анализ систем автоматического управления

Выполнила студентка группы УИТ - 32

Конакова Екатерина Владимировна.

Проверила: Ефремова Татьяна Александровна.

Балаково 2004

Задание

Первая часть.

1.      По электрической схеме построить математическую модель ОУ в пространстве состояния.

2.      По построенной модели составить структурную схему ОУ и сигнальный граф.

.        Используя формулу Мейсона, найти передаточную функцию ОУ.

4.      По передаточной функции определить временные и частотные характеристики и построить их графики.

.        Определить прямые и косвенные оценки качества ОУ по полученным зависимостям.

Вторая часть.

1.      По заданной корреляционной функции  определить спектральную плотность для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.

.        По заданным статистическим характеристикам  определить передаточную функцию формирующего фильтра .

3.      Представить ОУ в виде

Оценить качество полученной эквивалентной системы по переходной характеристике.

Часть первая.

Эквивалентная электрическая схема объекта управления приведена на рисунке 1.

Рис. 1. Эквивалентная схема объекта управления.

Параметры элементов эквивалентной схемы объекта управления:

R₁ = 372 Ом

R₂ = 392 Ом

R₃ = 119 Ом

R₄ = 161 Ом

L₁ = 33 Гн

L₂ = 22 Гн

C₁ = 0,40635 Ф

Входной сигнал: e

Выходной сигнал: i₂

1) Построим математическую модель объекта управления в пространстве состояния.

Структурная схема объекта управления выглядит следующим образом:

В схеме три элемента, запасающих энергию: L₁, L₂, C₁, следовательно, математическая модель должна быть третьего порядка. Зададим направления контурных токов и составим 3 уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов.

В уравнении (2) есть интеграл, поэтому продифференцируем это уравнение:

 (4)

В качестве переменных х выберем уравнения, содержащие производные, причем производные возьмём на порядок ниже.

Из уравнения (4):  (5)

Из уравнения (5):  (6)

Из уравнения (3):  (7)

Запишем введённый вектор состояния в виде дифференциальных уравнений первого порядка.

 (8)

 (9)

 (10)

Правые части этих уравнений находятся в выражениях (4), (5) и (3). Вынесем эти элементы в данных выражениях в левые части и заменим производными вектора состояния.

 (11)

 (12)

 (13)

Пользуясь полученными уравнениями, выразим токи i₁, i₂, i₃ через х и подставим полученные выражения в уравнения для производных вектора состояния:

Получили три дифференциальных уравнения и одно уравнение для выходного параметра. Запишем полученную систему уравнений в матричном виде.

Получим матричное уравнение для выходной переменной. Y = C × X + D× U.

.

Так как , то

.

) По построенной модели составим структурную схему ОУ и сигнальный граф.

Перепишем уравнения в общем виде.

Для построения графа проставим точки входа, выхода системы e, i₃ и векторы параметров x₁, x₂, x₃, а затем соединим все параметры связями согласно системе уравнений.

Построим структурную схему системы.

) Воспользуемся формулой Мейсона и найдём передаточную функцию ОУ.

Для этого необходимо определить и записать уравнения всех путей от входа к выходу: Р₁, Р₂… Р_k, где k - количество возможных путей от входа к выходу. В данном случае есть два пути от входа к выходу:

Определим все замкнутые контуры и запишем их уравнения:

Запишем определитель системы. Он включает в себя четыре контура и две пары некасающихся контуров L₁, L₂ и L₁, L₄.

D = 1 - L₁ - L₂ - L₃ - L₄ + L₁ × L₂ + L₁ × L₄.

Запишем сомножители, их количество равно количеству прямых путей. Выражение для D_i определяется также, как и для D, но разрываются контуры, через которые проходит прямой путь P_i. Сомножитель D₁ для первого пути. При размыкании первого пути все четыре контура размыкаются, и все L_i становятся равными нулю.

D₁ = 1 - 0 = 1

Сомножитель D₂ для второго пути. При размыкании второго пути размыкаются все контуры, кроме L₁.

D₂ = 1 - L₁.

Запишем и преобразуем выражение передаточной функции:

После подстановки получим:

) По передаточной функции определим временные и частотные характеристики и построим их графики.

Определим переходную функцию для системы:

Построим график переходной функции.

автоматическое управление математическая модель

Определим импульсную функцию системы:

w (t) = h` (t) =

Построим график импульсной функции.

Частотная функция системы выразится следующим образом:

Определим амплитудо-частотную и фазо-частотную функции системы:

Построим АЧХ и ФЧХ.

) Определить прямые и косвенные оценки качества ОУ по полученным зависимостям.

Произведем прямую оценку качества системы по графику переходного процесса.

1.      Время переходного процесса системы - это время регулирования системы, определяется как интервал времени от момента приложения какого-либо воздействия на систему до времени вхождения системы в 5% трубку. tn = 290

2.      Перерегулирование (максимальная динамическая ошибка)

3.      Колебательность - число колебаний системы от момента воздействия на нее до перехода в установившееся состояние. N=0

4.      Время нарастания регулируемой величины - время, при котором выходная величина достигает своего максимального значения. tm=0,005.

.        Время первого согласования - время, за которое регулируемая величина первый раз достигнет своего установившегося значения. t₁ = 0.

По виду зависимости произведем косвенную оценку качества системы.

1.      Показатель колебательности:

2.      Резонансная частота - частота, при которой амплитуда достигает значения максимума: wр=0,28

.        Частота среза определяется как частота, при которой АЧХ принимает значение 1: wср нет.

.        Полоса пропускания частот - интервал частот, когда значения АЧХ больше, чем  (= ): (w1, w2) = (0;10)

Вторая часть.

1) По заданной корреляционной функции  определим спектральную плотность для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.

) По заданным статистическим характеристикам  определим передаточную функцию формирующего фильтра . Для определения переходной функции формирующего фильтра воспользуемся уравнением:

Дробь  необходимо разделить на две комплексно-сопряженные части. С этой целью для начала определяются корни числителя и знаменателя, а их делят на две группы. В одну группу входят корни из верхней полуплоскости, в другую - из нижней (например: ). Решение характеристического уравнения для :

Для знаменателя:

Оставляем необходимые корни и получим:

Осуществим переход от jw к р:

3) Представим ОУ в виде

W1 (p) =

Оценим качество полученной эквивалентной системы по переходной характеристике. Определим переходную функцию для системы:

Построим график переходной функции.

По графику видно, что система является неустойчивой, поэтому оценку качества проводить в данном случае неуместно.

Построим АЧХ

Вывод: в данной курсовой работе мы построили математическую модель системы в пространстве состояния, её структурную схему и сигнальный граф; нашли её передаточную функцию и определили прямые и косвенные оценки качества, а так же нашли передаточную функцию формирующего фильтра. Причём нам удалось обнаружить, что при подаче белого шума на вход формирующего фильтра, качество системы изменяется, в нашем примере система перестаёт быть устойчивой.