Регрессия и корреляция
1. Парная регрессия и корреляция в эконометрических исследованиях
По территориям следующих регионов
известны данные за 200* год по валовому региональному продукту (ВРП - млн.
руб.) - y, и промышленному производству (ПП - млн. руб.) - x:
|
Регион
|
ВРП - y
|
ПП - x
|
|
Белгородская обл.
|
44440,4
|
41426
|
|
Владимирская обл.
|
35242,2
|
36010
|
|
Воронежская обл.
|
53258,8
|
33131
|
|
Калужская обл.
|
25655
|
22148
|
|
Костромская обл.
|
17763,7
|
13305
|
|
Курская обл.
|
32451,7
|
26109
|
|
Липецкая обл.
|
48014
|
61245
|
|
Рязанская обл.
|
31804,7
|
22781
|
|
Смоленская обл.
|
29896,5
|
27037
|
|
Тверская обл.
|
38152,2
|
28539
|
|
Тульская обл.
|
43897,5
|
45032
|
|
Ярославская обл.
|
46557,4
|
45534
|
|
Республика Карелия
|
28285,3
|
25305
|
|
Архангельская обл.
|
62562,7
|
42821
|
|
Калининградская обл.
|
24576,1
|
14410
|
|
Ленинградская обл.
|
58833,7
|
56951
|
|
Ставропольский край
|
57474,1
|
28416
|
|
Волгоградская обл.
|
69377,8
|
56995
|
|
Ростовская обл.
|
94300,7
|
57372
|
|
Удмуртская Республика
|
55784,3
|
54804
|
|
Кировская обл.
|
38111,6
|
32858
|
|
Оренбургская обл.
|
80850,3
|
|
Саратовская обл.
|
68311,4
|
41878
|
|
Ульяновская обл.
|
32892,1
|
28961
|
|
Республика Бурятия
|
21690,7
|
11570
|
|
Новосибирская обл.
|
76509,7
|
36487
|
|
Омская обл.
|
48477,1
|
28494
|
|
Читинская обл.
|
30173,5
|
9316
|
|
Приморский край
|
63989,3
|
40618
|
|
Амурская обл.
|
26576,3
|
8878
|
n=30
Требуется рассчитать параметры
уравнений линейной парной регрессии.
Расчетная
таблица
|
Регион - i
|
ВРП - y
|
ПП - x
|
x·y
|
ŷ
|
(y - ŷ)2
|
Ai
|
x2
|
|
Белгородская обл.
|
44440,4
|
41426
|
1,84E+09
|
52589,75
|
66411912
|
0,18337707
|
1,72E+09
|
|
Владимирская обл.
|
35242,2
|
36010
|
1,27E+09
|
47412,997
|
148128292
|
0,34534724
|
1,3E+09
|
|
Воронежская обл.
|
53258,8
|
33131
|
1,76E+09
|
44661,174
|
73919181
|
0,1614311
|
1,1E+09
|
|
Калужская обл.
|
25655
|
22148
|
5,68E+08
|
34163,336
|
72391787
|
0,33164437
|
4,91E+08
|
|
Костромская обл.
|
17763,7
|
2,36E+08
|
25710,967
|
63159050
|
0,44738803
|
1,77E+08
|
|
Курская обл.
|
32451,7
|
26109
|
8,47E+08
|
37949,363
|
30224301
|
0,16941064
|
6,82E+08
|
|
Липецкая обл.
|
48014
|
61245
|
2,94E+09
|
71533,266
|
553155891
|
0,48984185
|
3,75E+09
|
|
Рязанская обл.
|
31804,7
|
22781
|
7,25E+08
|
34768,374
|
8783364,8
|
0,09318353
|
5,19E+08
|
|
Смоленская обл.
|
29896,5
|
27037
|
8,08E+08
|
38836,37
|
79921271
|
0,2990273
|
7,31E+08
|
|
Тверская обл.
|
38152,2
|
28539
|
1,09E+09
|
40272,02
|
4493638,7
|
0,05556221
|
8,14E+08
|
|
Тульская обл.
|
43897,5
|
45032
|
1,98E+09
|
56036,459
|
147354327
|
0,27652962
|
2,03E+09
|
|
Ярославская обл.
|
46557,4
|
45534
|
2,12E+09
|
56516,284
|
99179365
|
0,2139055
|
2,07E+09
|
|
Республика Карелия
|
28285,3
|
25305
|
7,16E+08
|
37180,879
|
79131327
|
0,31449478
|
6,4E+08
|
|
Архангельская обл.
|
42821
|
2,68E+09
|
53923,128
|
74642209
|
0,13809462
|
1,83E+09
|
|
Калининградская обл.
|
24576,1
|
14410
|
3,54E+08
|
26767,155
|
4800720,1
|
0,08915388
|
2,08E+08
|
|
Ленинградская обл.
|
58833,7
|
56951
|
3,35E+09
|
67428,949
|
73878313
|
0,14609398
|
3,24E+09
|
|
Ставропольский край
|
57474,1
|
28416
|
1,63E+09
|
40154,454
|
299970143
|
0,30134697
|
8,07E+08
|
|
Волгоградская обл.
|
69377,8
|
56995
|
3,95E+09
|
67471,006
|
3635864,2
|
0,02748421
|
3,25E+09
|
|
Ростовская обл.
|
94300,7
|
57372
|
5,41E+09
|
67831,352
|
700626374
|
0,28069089
|
3,29E+09
|
|
Удмуртская Республика
|
55784,3
|
54804
|
3,06E+09
|
65376,791
|
92015883
|
0,17195682
|
3E+09
|
|
Кировская обл.
|
38111,6
|
32858
|
1,25E+09
|
44400,233
|
39546906
|
0,16500575
|
1,08E+09
|
|
Оренбургская обл.
|
80850,3
|
63704
|
5,15E+09
|
73883,643
|
48534316
|
0,08616737
|
4,06E+09
|
68311,4
|
41878
|
2,86E+09
|
53021,784
|
233772364
|
0,22382232
|
1,75E+09
|
|
Ульяновская обл.
|
32892,1
|
28961
|
9,53E+08
|
40675,379
|
60579433
|
0,23663065
|
8,39E+08
|
|
Республика Бурятия
|
21690,7
|
11570
|
2,51E+08
|
24052,609
|
5578612,5
|
0,10889038
|
1,34E+08
|
|
Новосибирская обл.
|
76509,7
|
36487
|
2,79E+09
|
47868,926
|
820293953
|
0,37434174
|
1,33E+09
|
|
Омская обл.
|
48477,1
|
28494
|
1,38E+09
|
40229,008
|
68031017
|
0,17014408
|
8,12E+08
|
|
Читинская обл.
|
30173,5
|
9316
|
2,81E+08
|
21898,177
|
68480974
|
0,27425798
|
86787856
|
|
Приморский край
|
63989,3
|
40618
|
2,6E+09
|
51817,443
|
148154103
|
0,19021707
|
1,65E+09
|
|
Амурская обл.
|
26576,3
|
8878
|
2,36E+08
|
21479,525
|
25977115
|
0,19177895
|
78818884
|
|
∑:
|
1385910,8
|
1042135
|
5,51E+10
|
|
4,195E+09
|
6,55722091
|
4,35E+10
|
46197,027
|
34737,83
|
1,84E+09
|
|
|
|
|
|
s2:
|
361334115
|
2,42E+08
|
|
|
|
|
|
|
s:
|
19008,79
|
15570,99
|
|
|
|
|
|
Параметры линейной регрессии
Основные показатели
|
s2ост
|
139825734
|
|
rxy
|
0,7829618
|
|
A
|
0,218574
|
|
ea
|
5278,0899
|
|
eb
|
0,138649
|
2. Системы эконометрических уравнений
регрессия корреляция идентификация эконометрический
Имеется следующая гипотетическая
структурная модель:
Y1 = b12Y2 + a11X1 +
a12X2= b21Y1 + b23Y3 + a22X2= b32Y2 + a31X1 + a33X3
Приведенная форма модели имеет вид:
Y1 = 3X1 - 6X2 + 2X3=
2X1 + 4X2 + 10X3= -5X1 + 6X2 +5X3
Требуется проверить структурную
форму модели на идентификацию проверить структурную форму модели на
идентификацию.
Решение:
Для того чтобы система одновременных
уравнений была идентифицируема, необходимо, чтобы каждое уравнение системы было
идентифицируемо, т.е. выполнялись необходимое и достаточное условия
идентификации.
Необходимое условие
идентификации можно записать в виде следующего счетного правила:
• если D+1<Н, то уравнение
неидентифицируемо;
• если D+1=Н, то уравнение идентифицируемо;
• если D+1>Н, то уравнение
сверхидентифицируемо,
где Н - число
эндогенных переменных в уравнении; D - число предопределенных переменных, которые содержатся в системе
уравнений, но не входят в данное уравнение.
Достаточное условие
идентификации для данного уравнения выполнено, если определитель полученной
матрицы не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных
переменных в системе без одного.
Проверим первое уравнение системы Y1 = b12Y2 + a11X1 + a12X2 на выполнение необходимого и
достаточного условия идентификации.
В этом уравнении две эндогенные
переменные Y1 и Y2 (Н=2). В нем отсутствуют эндогенная переменная Y3 и экзогенная переменная X3 (D=2). Уравнение сверхидентифицируемо,
т.к. D+1>H; (3>2), а значит необходимое условие идентификации выполнено.
Для проверки на
достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных Y3 и X3, взятых в других уравнениях.
|
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных
|
Переменные
|
|
У3
|
Х3
|
|
2
|
b23
|
0
|
|
3
|
-1
|
a33
|
Определитель полученной матрицы не
равен нулю, т.к. b23*a33 - (-1)*0 = 0, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное
условие выполнено, и первое уравнение идентифицируемо.
Проверим второе уравнение системы Y2 = b21Y1 + b23Y3 + a22X2 на выполнение необходимого и
достаточного условия идентификации.
В этом уравнении три эндогенные
переменные Y1, Y2 и Y3 (H=3). В нем отсутствуют две экзогенные переменные X1 и X3 (D=2). Уравнение идентифицируемо, т.к.
D+1=H; (3=3), а значит необходимое
условие идентификации выполнено.
Для проверки на
достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных X1 и X3
,
взятых в других уравнениях.
|
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных
|
Переменные
|
|
х1
|
х3
|
|
1
|
a11
|
0
|
|
3
|
a31
|
a33
|
|
|
|
Определитель
полученной матрицы не равен нулю, т.к. a11*a33 - a31*0 = 0, а ранг матрицы равен 2.
Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.
Проверим третье уравнение системы Y3 = b32Y2 + a31X1 + a33X3 на выполнение необходимого и
достаточного условия идентификации.
В этом уравнении
две эндогенные переменные Y2 и Y3 (H=2). В нем отсутствуют эндогенная переменная Y1 и экзогенная переменная X2 (D=2). Уравнение сверхидентифицируемо,
т.к. D+1>H; (3>2), а значит необходимое условие идентификации выполнено.
|
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных
|
Переменные
|
|
У1
|
Х2
|
|
1
|
-1
|
a12
|
|
2
|
b21
|
a22
|
Определитель
полученной матрицы не равен нулю, т.к. -1*a22 - b21*a12 = 0. Значит, достаточное условие
выполнено, и третье уравнение идентифицируемо.
Система
одновременных уравнений считается неидентифицируемой, если хотя бы одно
уравнение системы неидентифицируемо. Следовательно, рассматриваемая в целом
система идентифицируема.
Список
литературы
регрессия корреляция идентификация эконометрический
1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А.
Эконометрика. - М.: ЮНИТИ, 2000 г.
2. Леоненков А.В. Решение задач
оптимизации в среде MS Excel. - СПБ.: БХВ-Петербург, 2005 г.
. Степанов В.Г. Эконометрика.
Учебный курс (учебно-методический комплекс)