Формации конечных групп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав.
кафедрой Шеметков Л.А.
«
» 2007 г.
Об
одной проблеме теории
Формации конечных групп
Курсовая работа
Исполнитель:
студент
группы М-51 А.И. Рябченко
Научный
руководитель:
к.ф.-
м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов
Гомель 2007
Оглавление
Введение
Вспомогательные
факты
Основные
результаты
Заключение
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются
конечными. Кроме общепринятой терминологии [1–3], нам потребуются некоторые
определения и обозначения работы [4].
Пусть 
–
некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел; 
– дополнение к во
множестве всех простых чисел. Формация 
называется
-насыщенной, если ей принадлежит всякая
группа 
, удовлетворяющая условию 
, где 
.
Всякая формация считается 0-кратно -насыщенной. При 
формация называется
-кратно -насыщенной
[4], если 
, где все непустые значения -локального спутника 
являются 
-кратно
-насыщенными формациями.
Для любых двух -кратно
-насыщенных формаций 
и 
полагают
, а 
,
где 
– пересечение всех -кратно -насыщенных
формаций, содержащих 
. Через 
обозначают решетку -кратно -насыщенных
формаций, заключенных между 
и . Длину решетки обозначают
и называют 
-дефектом
формации . -Кратно
-насыщенную формацию называют 
-приводимой,
если она может быть представлена в виде решеточного объединения некоторых своих
собственных -кратно -насыщенных
подформаций в решетке . В противном случае формацию называют -неприводимой.
Группа называют
критической, если – группа минимального порядка
из 
для некоторых формаций и .
Критическая группа 
называется -базисной, если у формации, ею
порожденной, имеется лишь единственная максимальная подформация , причем 
.
В работе [4] А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым
была поставлена задача описания -кратно -насыщенных формаций -дефекта 
(вопрос
5, [4]). Полученные нами теоремы 1–3 завершают описание -кратно
-насыщенных формаций такого типа. В
частности, теорема 1 и теорема 2 позволяют классифицировать -приводимые -кратно
-насыщенные формации, имеющие -дефект 
, а в
теореме 3 получено описание конечных групп, порождающих -неприводимые
формации -дефекта 2 (
). Отметим,
что при 
решение данной задачи получено в работе
[5].
Вспомогательные
факты
Следствием теоремы 3.4.3 работы [6]
является
Лемма 1. Пусть – -кратно -насыщенная
ненильпотентная формация. Тогда в имеется по крайней
мере одна минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация.
Доказательство следующей леммы аналогично
доказательству леммы 20.4 [2].
Лемма 2. Пусть , 
и – -кратно
-насыщенные формации, причем 
. Тогда если 
и 
соответственно
-дефекты формаций и и 
, то 
.
Лемма 3 [4]. Для всех 
решетка
модулярна.
Аналогично лемме 14 [7] доказывается
Лемма 4. Пусть 
, где – некоторая -кратно
-насыщенная нильпотентная подформация
формации , 
–
минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация формации . Тогда в формации не существует минимальных -кратно -насыщенных
ненильпотентных формаций, отличных от .
Лемма 5. Пусть , и – -насыщенная формации и 
. Тогда 
.
Доказательство аналогично лемме
20.3 [2].
Лемма 6 [8]. При всякая -кратно насыщенная формация, имеющая -дефект 2, приводима.
Лемма 7 [4]. Пусть
– -кратно -насыщенная
формация 
. Тогда спутник является
-значным.
Лемма 8 [9]. Пусть 
–
такая полная решетка формаций, что 
. Пусть – 
-локальная
формация с каноническим -локальным спутником 
, – -локальная формация с минимальным -локальным -значным
спутником 
. Тогда в том и только в том случае – 
-критическая
формация, когда 
, где 
–
такая монолитическая группа с монолитом 
, что
либо 
, 
и 
– 
-критическая
формация для всех 
, либо 
и
– 
-критическая
формация.
Лемма 9 [4]. Пусть 
, где
, и пусть –
минимальный -значный спутник формации . Тогда справедливы следующие
утверждения: 1) 
; 2) 
для
всех 
; 3) 
,
спутник 
является 
-значным
и 
– некоторый фиксированный элемент из , то 
, где
для всех 
, 
и, кроме того, 
;
4) 
, где 
и 
для всех .
Лемма 10 [4]. Пусть 
такой
внутренний -кратно -локальный
спутник формации 
, что 
,
. Тогда 
,
где 
.
Лемма 11 [10]. Тогда и только тогда является
минимальной -кратно -насыщенной
ненильпотентной формацией, когда 
, где – такая монолитическая группа с цоколем
, что либо 
,
либо 
и выполняется одно из следующих условий:
1) 
–
группа Шмидта с 
, где 
–
абелева -группа, и 
– простое число;
2) 
–
неабелева 
-группа, 
, где
, причем, если 
,
то и 
–
простая неабелева группа.
Лемма 12 [6]. Пусть –
монолитическая группа с неабелевым монолитом 
.
Тогда если простое число 
делит порядок группы
, то 
.
Лемма 13 [1, с. 26]. Пусть –
произвольная непустая формация и пусть у каждой группы 
-корадикал 
не
имеет фраттиниевых -главных факторов. Тогда если 
– монолитическая группа из 
, то 
.
Лемма 14 [2, с.168]. Пусть и – формации, причем – локальна и –
группа минимального порядка из 
. Тогда монолитична, ее монолит совпадает с 
и если – -группа, то 
.
Лемма 15 [2, с.171]. Если в группе имеется
лишь одна минимальная нормальная подгруппа и 
( – некоторое простое число), то
существует точный неприводимый 
-модуль, где 
– поле из элементов.
Лемма 16 [4]. Пусть – -насыщенная формация и – ее -локальный
спутник. Если 
, то 
.
Лемма 17 [4]. Пусть 
и 
– минимальные -локальные
-значные спутники формаций 
и 
соответственно.
Тогда 
в том и только в том случае, когда 
.
Лемма 18 [10]. Пусть 
(
), где –
такая монолитическая группа с неабелевым монолитом 
, что
и 
.
Тогда имеет единственную максимальную 
-кратно -насыщенную
подформацию , причем 
.
Основные результаты
Теорема 1. Пусть – -кратно -насыщенная
формация. Тогда в том и только в том случае -дефект
формации равен 1, когда 
,
где – -кратно
-насыщенная нильпотентная подформация
формации , –
минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация формации , при этом: 1) всякая
-кратно -насыщенная
нильпотентная подформация из входит в 
; 2) всякая -кратно
-насыщенная ненильпотентная подформация из имеет
вид 
Доказательство. Необходимость. Пусть -дефект формации равен 1. Так как не является нильпотентной
формацией, то по лемме 1 в входит некоторая
минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация . По условию 
– максимальная -кратно
-насыщенная подформация в . Значит, .
Достаточность. Пусть , где
– -кратно
-насыщенная нильпотентная подформация
формации , –
минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация . Понятно, что 
. Пусть -дефекты
-кратно -насыщенных
формаций , и равны соответственно , 
и . Поскольку – -кратно -насыщенная
нильпотентная подформация формации ,
то 
. Так как –
минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная формация, то ее -дефект равен 1. В силу леммы 2 имеет место
неравенство 
. Если 
, то – нильпотентная формация, что
противоречит условию . Таким образом, -дефект формации равен 1.
Докажем теперь справедливость
утверждения 1) второй части теоремы. Так как 
–
максимальная -кратно -насыщенная
подформация в , то, в силу леммы 3, имеет
место решеточный изоморфизм
Следовательно, 
– максимальная -кратно
-насыщенная подформация в . Тогда, поскольку , то всякая -кратно
-насыщенная нильпотентная подформация из
входит в .
Докажем утверждение 2). Используя
лемму 4, получаем, что в формации нет минимальных -кратно -насыщенных
ненильпотентных подформаций, отличных от .
Пусть теперь –
произвольная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация из . Тогда в силу
уже доказанного и леммы 4 получаем, что 
.
Следовательно, применяя лемму 3, получаем 
.
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть – -приводимая формация, . Тогда и только тогда -дефект формации равен
2, когда удовлетворяет одному из следующих
условий: 1) 
, где 
, и 
–
различные минимальные -кратно -насыщенные ненильпотентные формации; 2)
, где , – -неприводимая
формация -дефекта 2, 
, причем
если 
, то 
.
Доказательство. Заметим, что при 
, справедливость утверждения теоремы
вытекает из теоремы 1.1 [5], а также теоремы 1 работы [11]. Поэтому мы можем считать,
что .
Необходимость. Пусть -дефект
формации равен 2, –
такая максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , что -дефект
формации равен 1. По теореме 1 получаем 
, где –
минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная формация, а . Если в формации имеется еще одна минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация , отличная от , то, в силу леммы 4, 
. Значит,
Пусть теперь в формации нет отличных от минимальных -кратно
-насыщенных ненильпотентных подформаций.
Поскольку – -приводимая
формация, то в 
найдется такая группа , что 
.
Понятно, что 
. Ввиду леммы 5 -дефект
формации 
меньше или равен 2. Поскольку 
и -дефект
формации равен 1, то -дефект
формации не равен 0. Допустим, что -дефект формации равен
1. Тогда по теореме 1 и предположению о единственности получаем,
что 
, где 
. Значит,
где 
. Но
тогда в силу леммы 2 -дефект формации равен 1. Противоречие. Поэтому -дефект формации равен
2. Тогда 
, так как иначе 
,
что противоречит максимальности формации в
формации . Таким образом, 
Предположим, что – -неприводимая
формация. Заметим, что если 
и – -насыщенная
формация, то является насыщенной формацией.
Действительно, из -насыщенности формации получаем, что для любой группы из условия 
следует,
что 
. Но 
.
Значит, 
. Тогда получаем, что из условия 
следует, что .
Таким образом, является насыщенной
формацией. Ввиду леммы 6 всякая -кратно насыщенная
формация, имеющая нильпотентный дефект 2, приводима. В этом случае – приводимая -кратно
насыщенная формация. Противоречие. Поэтому 
.
Тогда получаем, что формация удовлетворяет
условию 2).
Пусть теперь –
-приводимая формация. Воспользуемся
индукцией по числу разрешимых -кратно -насыщенных подформаций однопорожденной
формации .
Обозначим через 
максимальную -кратно
-насыщенную подформацию формации , имеющую -дефект,
равный 1. Так как – -приводимая
формация, то в 
существует такая группа 
, что 
.
Ввиду максимальности формации в формации справедливо 
. По
теореме 1 и предположению единственности получаем,
что 
, где 
–
некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации .
Тогда 
.
Заметим, что повторяя приведенные выше рассуждения для ,
получаем, что либо формация 
(где 
) удовлетворяет условию 2), и
необходимость доказана, либо формация 
является
-приводимой формацией -дефекта 2. Понятно, что 
, так как иначе 
,
что противоречит максимальности формации в .
Поскольку –
собственная -кратно -насыщенная
подформация формации , то число разрешимых подформаций
формации меньше чем у .
Ввиду замечания 3 [4] в однопорожденной формации имеется
лишь конечное множество разрешимых -кратно -насыщенных подформаций. Поэтому,
повторяя описанные выше действия, через конечное число шагов мы придем к
ситуации, когда либо формация 
(где 
) удовлетворяет условию 2) и
необходимость доказана, либо 
, где 
– -приводимая
формация -дефекта 2, 
–
наименьшая неединичная разрешимая подформация формации ,
такая что 
.
Обозначим через 
максимальную -кратно
-насыщенную подформацию формации , имеющую нильпотентный -дефект, равный 1. Так как – -приводимая
формация, то в 
существует такая группа 
, что 
.
Ввиду максимальности формации в формации справедливо 
. По
теореме 1 и предположению единственности получаем,
что 
, где 
–
некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации . Тогда
Но 
по
предположению индукции. Следовательно, формация не
может быть -приводимой формацией. Значит, 
, где 
, 
– -неприводимая
формация -дефекта 2. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть 
,
где , и – различные минимальные -кратно -насыщенные
ненильпотентные формации. Пусть , 
, и -дефекты
формаций , 
, и соответственно.
Тогда по лемме 2 -дефект формации не превосходит
.
С другой стороны по лемме 5 -дефект формации больше либо равен . Таким образом, -дефект
формации равен 2.
Аналогично рассматривается случай,
когда 
, где , – -неприводимая
формация -дефекта 2. Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть – -кратно -насыщенная
формация 
. Тогда и только тогда формации – -неприводимая
формация -дефекта 2, когда 
, где –
такая монолитическая группа с цоколем 
, что
выполняется одно из следующих условий:
1) 
, где
– -группа,
, а 
–
группа, удовлетворяющая одному из следующих условий:
1.1) циклическая примарная группа
порядка 
;
1.2) неабелева группа порядка 
простой нечетной экспоненты
;
1.3) монолитическая группа с цоколем 
и 
– 
-группа;
2) –
неабелева группа, 
, а группа 
удовлетворяет одному из следующих
условий:
2.1) 
-группа,
где 
;
2.2) элементарная абелева -группа, 
;
2.3) подпрямое произведение групп
изоморфных 
, где –
такая монолитическая группа с цоколем 
, что
– неабелева группа, 
;
3) – -группа, формация 
имеет -дефект 1, – -базисная
группа, где 
, 
, а – такая монолитическая группа с цоколем
, что выполнено одно из следующих
условий:
3.1) 
–
группа Шмидта с 
, где 
–
абелева -группа, и 
– простое число,
;
3.2) –
неабелева группа, причем 
;
3.3) – -группа.
Доказательство.
Необходимость. Пусть
– -неприводимая
формация -дефекта 2, –
максимальная -кратно -насыщенная
подформация формации с каноническим спутником 
. Заметим, что ввиду леммы 7 спутник является -кратно
-локальным. Тогда является минимальной -кратно -насыщенной
не -формацией. Пусть и –
минимальные -кратно -локальные
спутники формаций и соответственно.
В силу замечания 2 [4] имеем 
, для всех .
Применяя лемму 8, получим,
что , где –
такая монолитическая группа с цоколем 
, что
либо 
(, и 
– 
-критическая
формация для всех 
, либо 
и
– 
-критическая
формация. По теореме 1 
, где 
–
минимальная -кратно -насыщенная
ненильпотентная подформация формации , 
.
Предположим, что 
. Тогда найдется простое число 
. Пусть 
–
группа порядка . Тогда 
. Так как –
максимальная -кратно -насыщенная
подформация формации и 
, то 
. Но формация является
-неприводимой по условию теоремы.
Противоречие. Следовательно, 
.
Пусть 
и 
–
минимальные -кратно -локальные
спутники формаций и 
соответственно.
По лемме 9 формации и имеют
такие внутренние -кратно -локальные спутники 
и 
,
принимающие соответственно значения 
, при 
, 
, при
, 
, при
, и 
, при
, 
, при
, 
, при
. Ввиду леммы 10 справедливо равенство 
.
В силу леммы 11 
, где –
такая монолитическая группа с цоколем , что
либо 
, либо 
и
выполняется одно из следующих условий:
(1) –группа Шмидта с , где 
–
абелева 
-группа, 
и – простое число;
(2) – неабелева 
-группа
, где 
.
Заметим, что если 
, то любая -насыщенная
подформация из является насыщенной.
Следовательно, любая -кратно -насыщенная подформация формации является -кратно
насыщенной. По лемме 6 при всякая -кратно насыщенная формация с -дефектом 2 приводима. Поэтому при формация не
может быть -неприводимой формацией,
что противоречит условию. Таким образом, 
.
Допустим, что – неабелев цоколь группы . Пусть и . Тогда по лемме 12 имеем 
. Значит, 
Пусть для формации выполнено условие (1). Предположим, что
. Так как 
, то
имеем 
. Тогда 
–
минимальная -кратно -насыщенная
не 
-формация. Значит, 
, 
и -дефект формации равен
1 по лемме 11. Противоречие. Поэтому 
.
Используя лемму 9, имеем
.
Следовательно, 
.
Покажем, что . Действительно, если 
, то найдется такое 
, что 
.
Поскольку 
, то 
. Тогда
. Так как 
делит
порядок , то по лемме 12 имеем 
. Тогда 
–
минимальная -кратно -насыщенная
не 
-формация. Поскольку
и 
, то 
. Так как при этом 
и 
, то 
. Но .
Противоречие. Поэтому .
По лемме 9 имеем 
Следовательно, 
и
является минимальной -кратно -насыщенной
не 
-формацией.
Ясно также, что 
, поскольку в противном случае -дефект формации равен
1 в силу леммы 11.
Если 
, то 
.
Значит, 
является минимальной -кратно -насыщенной
не 
-формацией. Поэтому 
. Значит, 
, и
формация удовлетворяет условию 2.1) теоремы.
Если , то 
.
Тогда 
. Так как , то 
, т.е. является
элементарной абелевой -группой, и формация удовлетворяет условию 2.2) теоремы.
Пусть для формации выполнено условие (2). Покажем, что 
. Предположим, что существует 
. Тогда 
.
Значит, 
– минимальная -кратно
-насыщенная не 
-формация.
Последнее невозможно, так как 
. Поэтому 
. Но 
.
Следовательно, 
.
Ввиду леммы 12, 
. Так как 
, то
– минимальная не 
-формация. Значит, 
. Но, как нетрудно показать, 
. Если 
, то
по лемме 11 -дефект формации равен
1. Противоречие. Следовательно, и 
. Но тогда 
Так
как при этом группа является монолитической
группой с неабелевым цоколем , то применяя лемму 13
получим, что – подпрямое произведение групп
изоморфных группе . Таким образом, группа удовлетворяет условию 2.3) теоремы.
Пусть теперь – такая формация, что – монолитическая группа с цоколем , .
Так как 
, то 
. Но
тогда – минимальная -кратно
-насыщенная не -формация.
Значит, и по лемме 11 получаем, что -дефект формации равен
1. Противоречие. Таким образом, данный случай невозможен.
Пусть – абелева -группа,
. Тогда по лемме 14 имеем 
. Пусть формация удовлетворяет
условию (1).
Предположим, что . Тогда .
Значит, 
– минимальная -кратно
-насыщенная не -формация.
Пусть – группа минимального порядка из 
. Тогда является
монолитической группой с цоколем . Ясно, что 
и 
.
Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый 
-модуль 
.
Обозначим через 
. Ввиду леммы 16 группа 
. Так как 
, то
. Поскольку 
и
формация разрешима, то –
абелева -группа для некоторого простого числа 
. Но 
.
Если 
, то группа нильпотентна.
Поскольку 
, то 
–
группа простого порядка . Но тогда по лемме
11 получаем, что -дефект формации равен 1. Противоречие. Поэтому 
. Так как при этом 
, то 
, что
невозможно. Поэтому .
Но тогда 
и –
минимальная -кратно -насыщенная
не -формация.
Рассмотрим группу 
. Тогда является
монолитической группой с цоколем 
. Поскольку 
и формация разрешима,
то – абелева -группа
для некоторого простого числа . Ясно, что . Применяя лемму 15, получаем, что существует
точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то
. Но 
.
Значит, 
. Но – монолитическая
группа. Значит, – -группа.
Если 
, то , что
невозможно. Значит, 
. Если ,
то по лемме 11 -дефект формации равен 1. Противоречие. Следовательно, 
. Поскольку 
, то
. Таким образом, 
и
. Тогда –
минимальная не 
-формация. Поскольку группа нильпотентна, то любая собственная
подгруппа из принадлежит .
Таким образом, – минимальная не -группа. Так как при этом – -группа,
то либо циклическая примарная группа
порядка , либо неабелева группа порядка простой нечетной экспоненты . Но тогда группа 
удовлетворяет условию 1.1) или 1.2) теоремы.
Пусть для формации выполнено условие (2). Допустим, что . Тогда . Значит,
– минимальная -кратно
-насыщенная не -формация.
Поскольку 
, то 
. Так
как при этом , то 
.
Если 
, то , что
невозможно. Значит, 
. Но .
Следовательно, 
. Противоречие. Таким образом,
.
Тогда 
и –
минимальная -кратно -насыщенная
не -формация. Выберем в 
группу минимального
порядка. Тогда – монолитическая группа с
цоколем 
и .
Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый -модуль .
Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то
. Предположим, что – неабелев цоколь группы . Ввиду того, что 
и
то
. Следовательно, по лемме 13 имеем 
. Поскольку 
и 
, то группа изоморфна
группе . Но тогда 
.
Однако 
. Поэтому 
и -дефект формации равен
1. Противоречие. Следовательно, – абелева -группа, для некоторого простого числа . Допустим, что .
Пусть 
– группа порядка . Тогда 
.
Пусть – точный неприводимый 
-модуль и 
.
Применяя лемму 16, получим 
. Ввиду леммы 11
формация 
имеет -дефект
1. Поскольку 
и 
, то
мы получаем противоречие с леммой 5. Значит, 
. Поскольку
и
то
. Следовательно, по лемме 13 имеем 
Так как и , то группа изоморфна
группе . Но – неабелева
-группа. Противоречие. Следовательно, данный
случай невозможен.
Пусть формация такая, что .
Так как , то . Но
тогда – минимальная -кратно
-насыщенная не -формация.
Пусть – группа минимального порядка из . Тогда является
монолитической группой с цоколем . Понятно, что и .
Применяя лемму 15 получаем, что существует точный неприводимый -модуль .
Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то
.
Пусть – абелева -группа
для некоторого простого числа . Если , то 
.
Противоречие. Значит, . Кроме того, понятно, что 
. Так как в противном случае 
и по лемме 11 формация имеет -дефект
1, что невозможно. Поскольку и 
, то .
Тогда по лемме 13 получим, что . Так как и 
, то
группа изоморфна группе .
Пусть – неабелев цоколь группы . Тогда так как и
, то .
Применяя теперь лемму 13, заключаем, что 
.
Так как и получаем,
ввиду монолитичности , что группы и изоморфны.
Кроме того, заметим, что . Поскольку иначе найдется группа простого порядка , такая, что 
.
Пусть – точный неприводимый 
-модуль и 
.
Применяя лемму 16, получим . Ввиду леммы 11
формация имеет -дефект
1. Поскольку и , то
мы получаем противоречие с леммой 5. Значит, .
Таким образом, группа удовлетворяет условию 1.3) теоремы.
Пусть теперь – -группа
и пусть формация удовлетворяет условию (1) или
(2). Тогда 
или, соответственно,
. Если 
, то 
или 
. Но – -группа.
Значит, 
. Противоречие. Поэтому 
. Но тогда 
–
единственная максимальная подформация 
и – -базисная
группа. Если 
, то по лемме 11 формация имеет -дефект
1. Противоречие. Значит, 
. Так как при этом, 
, то -дефект
формации 
равен 1. Значит, удовлетворяет условию 3.1) или 3.2)
теоремы.
Пусть теперь для формации
выполняется условие 
. Тогда по лемме 8 
– минимальная -кратно
-насыщенная не -формация.
Снова применяя лемму 8, получим, что 
– 
-критическая формация, …, – минимальная не -формация и – -базисная группа. Если , то по лемме 11 формация имеет -дефект
1. Противоречие. Значит, . Так как при этом, , то -дефект
формации равен 1. Таким образом, группа удовлетворяет условию 3.3) теоремы.
Достаточность. Пусть для формации выполнено условие 1) теоремы и – циклическая примарная группа порядка , .
Пусть – минимальный -кратно
-локальный спутник формации . По лемме 14 имеем 
. Так как , то 
. Заметим, что 
является
единственной максимальной подформацией формации 
, где
– группа порядка .
Построим -кратно -локальный
спутник , принимающий следующие значения 
, при 
, 
, при 
. Рассмотрим
-кратно -насыщенную
формацию 
. Пусть –
минимальный -кратно -локальный
спутник формации . Тогда так как 
, то, ввиду леммы 17, .
Пусть – произвольная собственная -кратно -насыщенная
подформация формации . И пусть 
– минимальный -кратно
-локальный спутник формации . Если 
, то
так как 
, получаем 
.
Следовательно, 
. Противоречие. Значит, 
. Тогда, так как 
–
единственная максимальная подформация , то 
и 
для 
, т.е. 
. По
лемме 17 получаем, что 
. Таким образом, – единственная максимальная -кратно -насыщенная
подформация формации , т.е. является
-неприводимой формацией.
Поскольку 
, то ввиду леммы 15 существует точный
неприводимый 
-модуль , где
– поле из элементов.
Пусть 
. Тогда, так как 
,
то, ввиду леммы 16, 
. Если предположить, что 
, то по лемме 17 получаем 
, где –
минимальный -кратно -насыщенный
спутник формации . Но тогда 
. Противоречие. Значит, 
, т.е. формация порождается
группой Шмидта и имеет нильпотентный -дефект 1. Но тогда -дефект формации равен
2.
Случаи, когда – неабелева группа порядка простой нечетной экспоненты , и –
монолитическая группа с цоколем , где – -группа,
рассматриваются аналогично.
Пусть для формации выполнено условие 2) теоремы. Построим -значный -локальный
спутник , принимающий следующие значения: 
, при , , при 
. Ясно,
что 
.
Рассмотрим -кратно -насыщенную
формацию , порожденную спутником . Пусть –
минимальный -кратно -локальный
спутник формации . Тогда так как , то, ввиду леммы 17, .
Пусть – произвольная собственная -кратно -насыщенная
подформация формации , – ее
минимальный 
-значный -локальный
спутник. Тогда для любого . Кроме того, как нетрудно показать,
имеет место включение
Поэтому . Таким образом, –
единственная максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , т.е. является
-неприводимой формацией.
В силу леммы 11 -дефект -кратно
-насыщенной формации равен 1. Но тогда -дефект -неприводимой
формации равен 2.
Дано решение проблемы описания -кратно -насыщенных
формаций -дефекта 2, поставленной А.Н.
Скибой и Л.А. Шеметковым в работе «Кратно -локальные
формации и классы Фиттинга конечных групп» (Матем. Труды. – 1999. – Т.2, №2. –
С. 114-147, проблема 5). В частности, установлено внутреннее решеточное
строение -приводимых формаций -дефекта 
2;
получено описание конечных групп, порождающих -неприводимые
формации -дефекта 2.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Шеметков Л.А.
Формации конечных групп. – М., 1978. – 267 с.
2.
Шеметков Л.А.,
Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. – М., 1989. – 256 с.
3.
Скиба А.Н.
Алгебра формаций. – Мн.: Беларуская навука, 1997. – 240 c.
4.
Скиба А.Н.,
Шеметков Л.А. Кратно -локальные формации и классы
Фиттинга конечных групп // Матем. труды. –1999. – Т.2, №2. – С. 114–147.
5.
Частично
локальные формации с заданными системами подформаций: отчет о НИР
(заключительный): ГБЦМ 20-07 / УО «Гомельский государственный университет имени
Ф.Скорины»; рук. В.Г.Сафонов; исполн.: В.М.Селькин, В.В.Аниськов. – Гомель,
2001. – 69 с. – Библиогр.: с. 66-69. – № ГР 2000419.
6.
Шаблина И.П.
Модулярные и алгебраические решетки -кратно -насыщенных формаций конечных групп:
Дис. … канд. физ.-мат. наук. – Гомель, 2003. – 92 с.
7.
Рябченко А. И О
частично насыщенных формациях с 
-дефектом 1 // Изв. НАН
Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. – 2008. – № 1 .– С.28–34.
8.
Сафонов В.Г. О
минимальных кратно локальных не -формациях конечных
групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом-го ун-та, 1995. – Вып. 8. – С. 109–138.
9.
Селькин В.М.,
Скиба А.Н. О -критических формациях // Вопросы
алгебры. – Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины, 1999. – Вып. 14. – С. 127–131.
10.
Рябченко А. И. О
минимальных -кратно -насыщенных
ненильпотентных формациях // Вестник Полоцкого государственного университета.
Сер. С. – 2008. – №5. – C. 41–46.
11.
Рябченко А. И. К
теории частично насыщенных формаций // Изв. Гом.гос.унив.им.Ф.Скорины. – 2008.
– №6(51). Ч.2.– С. 153–160.