О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп
Министерство образования
Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный
университет им. Ф. Скорины»
Математический
факультет
Курсовая работа
О МИНИМАЛЬНЫХ
-ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ НЕ -ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Исполнитель:
Студентка группы М-32 Макаренко Л.А.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Сафонов В.Г.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Основные результаты
Заключение
Литература
Введение
Все рассматриваемые в работе
группы предполагаются конечными. Используемую терминологию можно найти в [1, 2].
При изучении внутреннего строения,
а также классификации насыщенных формаций важную роль играют так называемые минимальные
насыщенные не -формации [3] или -критические формации [4]. Напомним, что
насыщенная формация , называется минимальной
насыщенной не -формацией, если все собственные
насыщенные подформации содержатся в классе групп
. Задача изучения формаций такого рода впервые
была поставлена Л.А. Шеметковым на VI симпозиуме
по теории групп [3]. Ее решение, в классе насыщенных формаций, получено А.Н. Скибой
[5].
В теории тотально насыщенных
формаций изучение минимальных тотально насыщенных не -формаций было начато А.Н.Скибой в книге
[2], где было дано описание разрешимых минимальных тотально насыщенных не -формаций ( –
формация всех разрешимых групп нильпотентной длины ).
В работах автора [6-10] теория минимальных -замкнутых
тотально насыщенных не -формаций получила свое
дальнейшее развитие. Основными результатами в этом направлении являются следующие
теоремы.
Теорема 1 [10]. Пусть и
– -замкнутые
тотально насыщенные формации, . Тогда и только
тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда , где –
такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где –
совокупность всех собственных -подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная
подгруппа в при всех , а либо
группа простого порядка , либо такая
монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что ,
совпадает с -корадикалом
группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Теорема 2 [10]. Пусть и
– -замкнутые
тотально насыщенные формации, . Тогда и только
тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация когда удовлетворяет одному из следующих условий:
1) , где –
такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевой минимальной нормальной
подгруппой , что справедливо включение
, где –
совокупность всех собственных -подгрупп группы
;
2) ,
где и ;
3) ,
где , а –
такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что совпадает
с -корадикалом группы , и .
В настоящей работе, основываясь
на результатах работы [10], мы даем описание -критических
формаций для некоторых наиболее известных формаций .
1. Определения и обозначения
Напомним, что всякую формацию
групп называют 0-кратно насыщенной. При формацию
называют -кратно
насыщенной, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого
– -кратно насыщенные формации. Формацию -кратно насыщенную для любого целого неотрицательного
называют тотально насыщенной.
Подгрупповым функтором [2] называют отображение сопоставляющее каждой группе такую систему ее подгрупп , что: 1) ;
2) для любых групп и и любого эпиморфизма имеет место и
Тотально насыщенную формацию
называют -замкнутой,
если для любой группы . -Замкнутую
тотально насыщенную формацию называют минимальной
-замкнутой тотально насыщенной не -формацией (или, иначе, -критической), если , но все собственные -замкнутые тотально насыщенные подформации
из содержатся в классе групп .
Пусть – -замкнутая
формация. Группа называется -минимальной не -группой, если , но для
любой собственной подгруппы из .
Для всякой совокупности групп
через обозначают
-замкнутую тотально насыщенную формацию,
порожденную классом групп , т.е. пересечение
всех -замкнутых тотально насыщенных
формаций, содержащих . Если , то называют
однопорожденной -замкнутой тотально насыщенной
формацией. Для любых -замкнутых тотально насыщенных
формаций и полагают
. Частично упорядоченное по включению множество всех -замкнутых тотально насыщенных формаций с операциями и образует
полную решетку. Формации из называют -формациями. Экран, все непустые значения
которого -формации, называют -значным. Если – -формация,
то через обозначают её минимальный -значный локальный экран.
Для произвольной последовательности
простых чисел и всякой совокупности групп класс групп определяют
следующим образом:
1) ; 2) .
Последовательность простых
чисел называют подходящей для
, если и
для любого число . Множество всех подходящих для последовательностей обозначают через . Символом обозначают
совокупность всех таких последовательностей из
, у которых при
всех .
Пусть – некоторая подходящая для последовательность. Тогда -значный локальный экран определяют следующим образом:
1) ; 2) .
В дальнейшем через будем обозначать некоторое непустое множество
простых чисел.
2. Используемые результаты
Лемма 2.1 [9]. Пусть –
монолитическая группа, – неабелева
группа. Тогда имеет единственную
максимальную -подформацию , где –
совокупность всех собственных -подгрупп группы
. В частности, .
Лемма 2.2 [2, c. 33]. Пусть , где –
непустой класс групп. Тогда если – минимальный
-значный экран формации , то справедливы следующие утверждения:
1) ;
2)
при всех простых числах
;
3) если – произвольный -значный экран формации , то при любом имеет место
Следующая лемма является частным
случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].
Лемма 2.3. Пусть ,
– -замкнутые
тотально насыщенные формации, , – канонический экран формации . Тогда является
-критической формацией в том и только в том
случае, когда , где –
такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что для всех формация -критична.
3. Основные результаты
Теоремы 1 и 2 могут быть использованы
для нахождения описания минимальных -замкнутых тотально
насыщенных не -формаций для большинства «классических»,
наиболее часто используемых в приложениях классов групп , поскольку большинство из них являются наследственными
тотально насыщенными формациями. Приведем описание -критических
формаций для некоторых конкретных классов групп.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разрешимые формации.
Напомним, что группу называют -разрешимой,
если для каждого ее главного -фактора .
Пусть – формация всех -разрешимых групп. Тогда, очевидно, . Класс всех -разрешимых
групп является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где –
монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом
, что и
группа -разрешима.
Доказательство. Необходимость. Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. По теореме 1 имеем
, где –
такая монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где –
совокупность всех собственных -подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная
подгруппа в при всех , а либо
группа простого порядка , либо такая
монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что ,
совпадает с -корадикалом
группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Достаточность. Пусть ,
где – группа из условия теоремы. Ввиду леммы
2.1 формация имеет единственную максимальную
-замкнутая тотально насыщенную подформацию
, где –
совокупность всех собственных -подгрупп группы
. Поскольку и
, то .
Следовательно, – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.1.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где –
монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом
, что и
группа -разрешима.
Следствие 3.1.2 [9]. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная неразрешимая
формация, когда , где – монолитическая -минимальная неразрешимая группа с таким
неабелевым монолитом , что группа разрешима.
Если – тривиальный подгрупповой функтор,
т.е. из теоремы 3.1 вытекает
Следствие 3.1.3. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где –
монолитическая группа с таким неабелевым монолитом ,
что и группа -разрешима.
Следствие 3.1.4 [7]. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная неразрешимая
формация, когда , где – монолитическая группа с таким неабелевым
монолитом , что группа разрешима.
В случае, когда – совокупность всех подгрупп группы из теоремы 3.1 получаем
Следствие 3.1.5. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная
не -разрешимая формация, когда , где –
простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.
Следствие 3.1.6. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная
не -разрешимая формация, когда , где –
простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.
Следствие 3.1.7. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная
неразрешимая формация, когда , где – простая неабелева минимальная неразрешимая
группа.
Если – совокупность всех нормальных подгрупп
группы имеем
Следствие 3.1.8. Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально
насыщенная не -разрешимая формация, когда
, где –
простая неабелева -группа.
Следствие 3.1.9. Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально
насыщенная не -разрешимая формация, когда
, где –
простая неабелева -группа.
Следствие 3.1.10. Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально
насыщенная неразрешимая формация, когда ,
где – простая неабелева группа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -нильпотентные формации.
Группа называется -нильпотентной,
если она имеет нормальную -холловскую подгруппу
для каждого . Класс всех -нильпотентных групп совпадает с произведением
и является наследственной тотально насыщенной
формацией.
Теорема 3.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где –
не -нильпотентная группа Шмидта.
Доказательство. Пусть формацию
всех -нильпотентных групп.
Необходимость. Пусть –
минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -нильпотентная формация. В силу теоремы 1
имеет место , где – такая монолитическая -минимальная не -нильпотентная группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где –
совокупность всех собственных -подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная
подгруппа в при всех , а либо
группа простого порядка , либо такая
монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что ,
совпадает с -корадикалом
группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Поскольку , то первые два случая невозможны. Поэтому
– абелева -группа,
где . По лемме 2.2 имеем . Поэтому ,
где – группа простого порядка. Таким образом,
– не -нильпотентная
группа Шмидта.
Достаточность. Пусть ,
где – не -нильпотентная
группа Шмидта. Поскольку насыщенная формация,
то без ограничения общности можно считать, что .
Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа группы , а
– группа простого порядка . Так как группа и все собственные подгруппы из нильпотентны, а следовательно, и -нильпотентны, то – -минимальная
не -нильпотентная группа и – -нильпотентный
корадикал группы . Используя теперь теорему
1 заключаем, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация. Теорема доказана.
Используя теорему 2, получим
Следствие 3.2.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где и
– различные простые числа, .
В случае, когда из теорем 3.2 и 2 вытекают
Следствие 3.2.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где –
не -нильпотентная группа Шмидта.
Следствие 3.2.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда , где –
отличное простое число.
Если теперь – множество всех простых чисел из теоремы
3.2 получаем
Следствие 3.2.4. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная
формация, когда , где – некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.2.5. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная
формация, когда , где и –
различные простые числа.
Следствие 3.2.6 [7]. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная ненильпотентная
формация, когда , где и –
различные простые числа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -замкнутые формации.
Напомним, что группа называется
-замкнутой, если она имеет нормальную -холловскую подгруппу. Формация всех -замкнутых групп, очевидно, совпадает с произведением
и является наследственной тотально насыщенной
формацией.
Теорема 3.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где –
не -замкнутая группа Шмидта.
Доказательство. Обозначим через формацию всех -замкнутых групп.
Необходимость. Пусть –
минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -замкнутая формация. По теореме 1 имеем , где –
такая монолитическая -минимальная не -замкнутая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где –
совокупность всех собственных -подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная
подгруппа в при всех , а либо
группа простого порядка , либо такая
монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что ,
совпадает с -корадикалом
группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Так как , то .
Если – неабелева группа, то по лемме
2.2 имеем . Значит, Противоречие. Поэтому – абелева -группа,
где . Значит, для
некоторой максимальной подгруппы группы . В силу леммы 2.3 получаем, что – -критическая
формация. Согласно лемме 2.2 имеем . Так как , то –
группа простого порядка . Таким образом,
– не -замкнутая
группа Шмидта.
Достаточность. Пусть ,
где – не -замкнутая
группа Шмидта. Так как – насыщенная формация,
то не ограничивая общности можно считать, что .
Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа ,
, –
группа простого порядка . Так как группа
и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, и -замкнуты, то – -минимальная
не -замкнутая группа и её -замкнутый
корадикал. Теперь, в силу теоремы 1, мы можем заключить, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.3.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где и
.
В случае, когда из теоремы 3.3 вытекает
Следствие 3.3.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где –
не -замкнутая группа Шмидта.
Следствие 3.3.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда , где –
отличное от простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -специальные формации.
Группа называется -специальной, если она обладает нильпотентной
нормальной -холловской подгруппой. Понятно,
что совокупность всех -специальных групп совпадает
с классом и является наследственной тотально
насыщенной формацией.
Теорема 3.4. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где –
не -специальная группа Шмидта.
Доказательство. Пусть обозначает
формацию всех -специальных групп.
Необходимость. Если –
минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -специальная формация, то по теореме 1 имеет
место , где – такая монолитическая -минимальная не -специальная группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где –
совокупность всех собственных -подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная
подгруппа в при всех , а либо
группа простого порядка , либо такая
монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что ,
совпадает с -корадикалом
группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Поскольку , то случай 1) не имеет место и . Если –
неабелева группа, то в силу леммы 2.1 имеем .
Поэтому и .
Пусть и .
Тогда в силу леммы 2.1 имеет место включение.
Противоречие. Поэтому невозможен и случай 2). Следовательно, – абелева -группа.
Так как имеют место равенства , то ,
где – группа порядка . Таким образом, – не -специальная
группа Шмидта.
Достаточность. Пусть ,
где – не -специальная
группа Шмидта. Тогда . Поскольку – насыщенная формация, то без ограничения
общности можно считать, что . Поэтому , где –
минимальная нормальная -подгруппа , а –
группа простого порядка . Ввиду того,
что группа и любая собственная подгруппа
из нильпотентны, а следовательно, и -специальны, то – -минимальная
не -специальная группа и её -специальный
корадикал. Привлекая теперь теорему 1 заключаем, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация. Теорема доказана.
Следствие 3.4.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где и
– различные простые числа, .
В случае, когда из теоремы 3.4 вытекает
Следствие 3.4.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где –
не -специальная группа Шмидта.
Следствие 3.4.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда , где –
отличное от простое число.
Группа называется -разложимой, если она одновременно -специальна и -замкнута.
Класс всех -разложимых групп совпадает с пересечением
и является наследственной тотально насыщенной
формацией.
Теорема 3.5. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где –
не -разложимая группа Шмидта.
Доказательство. Обозначим через формацию всех -разложимых групп.
Необходимость. Пусть –
минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не - разложимая формация. В силу теорем
3.3 и 3.4 имеем , где – такая группа Шмидта, что . Таким образом, – не -
разложимая группа Шмидта.
Достаточность. Пусть ,
где – не -разложимая
группа Шмидта. Поэтому . Ввиду насыщенности формации
можно считать, что . Значит, ,
где – минимальная нормальная -подгруппа ,
а – группа простого порядка. Поскольку группа
и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, и -разложимы, то – -минимальная
не -разложимая группа и её -разложимый
корадикал. В силу теоремы 1 имеем – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.5.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где .
В случае, когда из теоремы 3.24 вытекает
Следствие 3.5.2. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где –
не -разложимая группа Шмидта.
Следствие 3.5.3. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где –
отличное от простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации.
Класс всех разрешимых групп
с нильпотентной длиной не превосходящей совпадает
с произведением (число сомножителей
равно ) и является наследственной тотально
насыщенной формацией.
Теорема 3.6. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда , где –
минимальная не -группа, – самоцентрализуемая минимальная нормальная
подгруппа в при всех и –
группа простого порядка.
Доказательство. Обозначим через формацию .
Необходимость. Пусть –
минимальная -замкнутая тотально насыщенная
не -формация. По теореме 1 , где –
такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где –
совокупность всех собственных -подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная
подгруппа в при всех , а либо
группа простого порядка , либо такая
монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что ,
совпадает с -корадикалом
группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Поскольку , то случай 1) невозможен. Если группа
неабелева, то по лемме 2.1 , что невозможно. Следовательно, имеет место
случай 3). Поскольку группа разрешима, то
, где –
самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех ,
а группа простого порядка . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность вытекает из теоремы 1. Теорема доказана.
Следствие 3.6.1 [2, с.
94]. Пусть – разрешимая формация. Тогда и только
тогда – минимальная тотально насыщенная
не -формация, когда , где –
минимальная не -группа, – самоцентрализуемая минимальная нормальная
подгруппа в при всех и –
группа простого порядка.
Следствие 3.6.2. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда для некоторой последовательности из .
Следствие 3.6.3 [2, с.
94]. Пусть – разрешимая формация. Тогда и только
тогда – минимальная тотально насыщенная
не -формация, когда для некоторой последовательности из .
Отметим, что полученные результаты
могут быть использованы для описания -критических
формаций и в случаях, когда формация не является
тотально насыщенной.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации.
Класс всех групп с нильпотентным
коммутантом, очевидно, совпадает с произведением ,
где – класс всех нильпотентных, а – класс всех абелевых групп. Формация не является тотально насыщенной, но содержит
единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию . Следовательно, любая минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация является минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией. Таким образом, привлекая следствия
3.2.4 и 3.2.5, получим
Теорема 3.7. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда , где –
некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.7.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда , где и
– различные простые числа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные несверхразрешимые
формации.
Пусть формация всех сверхразрешимых групп. Как
известно (см., например, [2, с. 28]), формация не
является тотально насыщенной. Однако содержит единственную
максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию . Поэтому любая минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая
формация является минимальной -замкнутой тотально
насыщенной ненильпотентной формацией. Значит, в силу следствий 3.2.4 и 3.2.5, имеют
место
Теорема 3.8. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая
формация, когда , где – некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.8.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая
формация, когда , где и –
различные простые числа.
Заключение
В работе изучаются минимальные
-замкнутые тотально насыщенные не -формации конечных групп. При этом -замкнутую тотально насыщенную формацию называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией или -критической, если , но все собственные -замкнутые тотально насыщенные подформации
из содержатся в классе групп . Получено описание -критических формаций для таких классов групп
, как классы всех -разрешимых, -нильпотентных,
-замкнутых, -специальных,
-разложимых групп ( – некоторое непустое подмножество множества
всех простых чисел), класс разрешимых групп нильпотентной длины не превосходящей
( –
некоторое натуральное число), класс всех групп с нильпотентным коммутантом, класс
всех сверхразрешимых групп.
Литература
1. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических
систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба // М.: Наука, 1989.
2. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А. Н.
Скиба // Мн.: Беларуская навука, 1997.
3. Шеметков, Л.А. Экраны ступенчатых формаций
/ Л. А. Шеметков // Тр. VI Всесоюзн. симпозиум
по теории групп. – Киев: Наукова думка, 1980. – С. 37-50.
4. Скиба, А.Н. О критических формациях
/ А. Н. Скиба // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1980. – № 4. – С. 27-33.
5. Скиба, А.Н. О критических формациях
/ А. Н. Скиба // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры.
Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. – С. 258-268.
6. Сафонов, В.Г. О тотально насыщенных
формациях конечной длины / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета,
2004. – № 6. – С. 150-155.
7. Сафонов, В.Г. О двух задачах теории
тотально насыщенных формаций / В. Г. Сафонов // Докл. НАН Беларуси, 2005. – Т. 49,
№ 5, – C. 16-20.
8. Сафонов, В.Г. О приводимых тотально
насыщенных формациях нильпотентного дефекта 3 / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского
госуниверситета, 2005. № 4 (31). – С. 157-162.
9. Сафонов, В.Г. Характеризация разрешимых
однопорожденных тотально насыщенных формаций конечных групп / В.Г. Сафонов // Сибирский
матем. журнал, 2007 – Т. 48, № 1. – С. 185-191.
10. Сафонов, В.Г. -критические формации / В. Г. Сафонов //
Известия Гомельского госуниверситета, 2008. № 2 (47). – С. 169-176.