Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф.
Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 
,
ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ -ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка
группы М-43 МОКЕЕВА О. А.
Научный
руководитель:
доктор
ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2008
Содержание
Перечень
условных обозначений
Введение
1
Некоторые базисные леммы
2
Критерий принадлежности факторизуемой группы
классическим
классам конечных групп
3
Сверхрадикальные формации
Заключение
Список
использованных источников
Рассматриваются
только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
--- множество всех натуральных чисел;
--- множество всех простых чисел;
--- некоторое множество простых чисел,
т. е. 
;
---
дополнение
к во множестве всех простых чисел; в
частности, 
;
примарное
число --- любое число вида 
.
Буквами
обозначаются простые числа.
Пусть
--- группа. Тогда:
--- порядок группы ;
---
множество
всех простых делителей порядка группы ;
-группа --- группа , для которой 
;
-группа --- группа , для которой 
;
--- коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная
коммутаторами всех элементов группы ;
--- подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных
нильпотентных подгрупп группы ;
--- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
--- подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных
подгрупп группы ;
--- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
--- -холлова
подгруппа группы ;
--- силовская -подгруппа
группы ;
--- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т. е. 
-холлова
подгруппа группы ;
--- нильпотентная длина группы ;
--- -длина
группы ;
--- минимальное число порождающих
элементов группы ;
--- цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми
минимальными нормальными подгруппами группы ;
--- циклическая группа порядка .
Если
и 
---
подгруппы группы , то :
--- является
подгруппой группы ;
--- является
собственной подгруппой группы ;
--- является
нормальной подгруппой группы ;
--
-
ядро подгруппы в группе , т. е. пересечение всех подгрупп,
сопряженных с в ;
--- нормальное замыкание подгруппы в группе , т.
е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами
группы ;
--- индекс подгруппы в группе ;
;
--- нормализатор подгруппы в группе ;
--- централизатор подгруппы в группе ;
--- взаимный коммутант подгрупп и ;
--- подгруппа, порожденная подгруппами и .
Минимальная
нормальная подгруппа группы 
--- неединичная
нормальная подгруппа группы , не содержащая
собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;
--- 
является
максимальной подгруппой группы .
Если
и 
---
подгруппы группы , то:
--- прямое произведение подгрупп и ;
--- полупрямое произведение нормальной
подгруппы и подгруппы ;
--- и изоморфны;
--- регулярное сплетение подгрупп и .
Подгруппы
и группы
называются перестановочными, если 
.
Группу
называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;
-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный
ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный
фактор является либо -группой, либо циклической
группой;
нильпотентной,
если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой,
если существует номер 
такой, что 
;
сверхразрешимой,
если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми
числами.
Монолитическая
группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную
подгруппу.
-замкнутая группа --- группа, обладающая
нормальной холловской -подгруппой.
-специальная группа --- группа,
обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.
-разложимая группа --- группа,
являющаяся одновременно -специальной и 
-замкнутой.
Группа
Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой
нильпотентны.
Добавлением
к подгруппе группы называется
такая подгруппа из ,
что 
.
Цепь
--- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд
подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через
единицу.
Ряд
подгрупп 
называется:
субнормальным,
если 
для любого 
;
нормальным,
если 
для любого 
;
главным,
если 
является минимальной нормальной
подгруппой в 
для всех 
.
Класс
групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные группы.
-группа --- группа, принадлежащая классу
групп .
Формация
--- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если
--- класс групп, то:
--- множество всех простых делителей
порядков всех групп из ;
--- множество всех тех простых чисел , для которых 
;
--- формация, порожденная классом ;
--- насыщенная формация, порожденная
классом ;
--- класс всех групп , представимых в виде
где
, 
;
;
--- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых
принадлежат ;
--- класс всех -групп
из ;
--- класс всех конечных групп;
--- класс всех разрешимых конечных
групп;
--- класс всех -групп;
--- класс всех разрешимых -групп;
--- класс всех разрешимых -групп;
--- класс всех нильпотентных групп;
--- класс всех разрешимых групп с
нильпотентной длиной 
.
Если
и ---
классы групп, то:
.
Если
--- класс групп и --- группа, то:
--- пересечение всех нормальных
подгрупп из таких,
что 
;
--- произведение всех нормальных -подгрупп группы .
Если
и ---
формации, то:
--- произведение формаций;
--- пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп
группы .
Если
--- насыщенная формация, то:
--- существенная характеристика
формации .
-абнормальной называется максимальная
подгруппа группы ,
если 
, где ---
некоторая непустая формация.
-гиперцентральной подгруппой в называется разрешимая нормальная
подгруппа группы ,
если обладает субнормальным рядом 
таким, что
(1)
каждый фактор 
является главным фактором
группы ;
(2)
если порядок фактора есть степень простого числа 
, то 
.
--- -гиперцентр
группы , т. е. произведение всех -гиперцентральных подгрупп группы .
Введение
Вопросы,
посвященные факторизации групп, в теории конечных групп занимают важное место.
Под факторизацией конечной группы понимается представление ее в виде произведения
некоторых еe подгрупп, взятых в определенном порядке, или попарно
перестановочных. Исследуются как способы факторизации заданной группы, так и
свойства групп, допускающих ту или иную заданную факторизацию.
Начало
исследований по факторизации конечных групп восходит к классическим работам Ф.
Холла [62, 63], посвященных изучению строения разрешимых групп. Как известно,
Ф. Холлом было доказано [63], что конечная разрешимая группа допускает
факторизацию при помощи некоторых своих перестановочных силовских подгрупп
различных порядков (составляющих так называемую силовскую базу разрешимой
группы).
Следующий
важный шаг в данном направлении был сделан С.А.Чунихиным, которым был
исследован ряд важных арифметических свойств конечных групп [43]. Вопросами
факторизации конечных групп занималось много математиков, и развитию данного
направления посвящено много научных работ известных математиков.
Кегель
и Виландт [68, 75] установили, что конечная группа, факторизуемая двумя
нильпотентными подгруппами разрешима. Теорема Кегеля --- Виландта послужила
источником многочисленных обобщений и стимулировала дальнейшее развитие ряда
вопросов, связанных с факторизациями конечных групп.
Cреди
дальнейших исследований, посвященных факторизации групп, выделяются работы Л.С.
Казарина [6, 7, 67], Л.А. Шеметкова [45, 46], В.С. Монахова [13, 14], А.Н.
Скибы [12, 61], В.Н. Тютянова [38] и др.
Важную
роль для дальнейшего строения факторизуемых групп оказала идея Гашюца о том
[59], что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к
некоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцем насыщенной
формацией.
Напомним,
что насыщенной формацией конечных групп называется класс конечных групп,
замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых
расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание
многих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщенными
формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории
классов групп.
Эффективность
метода Гашюца проявилась прежде всего в том, что многие коренные свойства
конечных групп имеют инвариантный характер при переходе от одной насыщенной
формации к другой.
Известно,
что класс нильпотентных групп замкнут относительно
произведения нормальных подгрупп. В работе [64] Хоуксом была поставлена задача
об описании наследственных разрешимых формаций Фиттинга, т. е. формаций , замкнутых относительно произведения
нормальных -подгрупп. Брайс и Косси в работе [53]
доказали, что любая разрешимая наследственная формация Фиттинга является
насыщенной. Полное решение проблемы Хоукса было получено В.Н. Семенчуком в
работах [27, 30].
Развивая
подход Хоукса, Л.А. Шеметков предложил изучать формации ,
замкнутые относительно произведения -подгрупп, обладающих
некоторыми заданными свойствами. В настоящее время данная тематика активно
развивается математиками Испании, Китая, Беларуси.
В
теории классов конечных групп естественным обобщением понятия субнормальности
является понятие -субнормальности и -достижимости. В дальнейшем такие
подгруппы будем нызывать обобщенно субнормальными.
Одной
из первых классификационных проблем данного направления является проблема Л.А.
Шеметкова об описании наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, т.
е. формаций с тем свойством, что любая группа 
, где и -- -субнормальные
-подгруппы, принадлежит .
Данная
проблема сразу привлекла пристальное внимание специалистов по теории классов
конечных групп. В работе [28] В.Н. Семенчуком в классе конечных разрешимых
групп получено полное решение данной проблемы. Л.А. Шеметковым и В.Н.
Семенчуком в работе [33] найдены серии произвольных наследственных насыщенных
сверхрадикальных формаций.
Известно,
что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения
нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения
нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим
возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения
обобщенно субнормальных (-субнормальных, -достижимых) -подгрупп,
индексы которых взаимно просты.
Классифицировать
наследственные насыщенные формации с тем свойством, что
любая группа , где и --- -субнормальные
-подгруппы взаимно простых индексов,
принадлежит .
В
1996 году В.Н. Тютянов в работе [38] доказал, что любая конечная группа вида , где и --- -нильпотентные
подгруппы и индексы 
, 
не
делятся на некоторое простое число , является -нильпотентной группой.
Естественно
возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на
некоторое фиксированное простое число.
В
попытках решения этих и других классификационных проблем выявилась особая роль критических
групп формации ( минимальных не -групп), т. е. групп, не принадлежащих
некоторому классу групп , но все собственные
подгруппы которых принадлежат . Еще в 1933 году
С.А. Чунихин [40] поставил задачу изучения строения группы, в зависимости от
свойств ее критических подгрупп. Развивая данную идею С.А. Чунихина, Л.А.
Шеметков на восьмом (Сумы, 1982 г.) и девятом (Москва, 1984 г.) Всесоюзных
симпозиумах по теории групп отметил особую роль критических групп при изучении
не только отдельной группы, но и при описании классов групп.
Таким
образом, задача классификации наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, обладающих заданными
свойствами, занимает важное место в современной теории классов групп. На
реализацию этой актуальной задачи и направлено данное диссертационное
исследование.
В
теории конечных групп одним из основных понятий является понятие
субнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73].
Напомним,
что подгруппа называется субнормальной
подгруппой группы , если существует цепь
подгрупп
такая,
что для любого 
подгруппа 
нормальна в 
.
Естественным
обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности,
которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым в
монографии [44].
Пусть
--- непустая формация. Подгруппу группы называют
-субнормальной, если либо 
, либо существует максимальная цепь
такая,
что 
для всех 
.
Несколько
другое понятие -субнормальности введено
Кегелем в работе [69]. Фактически оно объединяет понятие субнормальности и -субнормальности в смысле Шеметкова.
Подгруппу
называют -субнормальной
в смысле Кегеля или -достижимой, если существует
цепь подгрупп
такая,
что для любого либо подгруппа нормальна в ,
либо .
Для
любой непустой формации множество всех -достижимых подгрупп произвольной группы
содержит множество всех субнормальных
подгрупп группы и множество всех -субнормальных подгрупп группы . Если же ---
непустая нильпотентная формация, то множество всех -достижимых
подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для
любой группы .
В
Коуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификации
сверхрадикальных формаций.
Напомним,
что формация называется сверхрадикальной, если она
удовлетворяет следующим требованиям:
1)
--- нормально наследственная формация;
2)
любая группа , где и --- -субнормальные
-подгруппы из ,
принадлежит .
В.Н.
Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено
полное решение данной проблемы.
В
данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных
насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы
В
данном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не -групп) и обобщенно субнормальных (-субнормальных и -достижимых)
подгрупп, которые будут использоваться при доказательстве основных результатов
диссертации.
Напомним,
что критической группой формации ( минимальной не -группой) называется группа, не
принадлежащая , все собственные подгруппы
которой принадлежат . Множество всех таких групп
обозначают 
. Через обозначают
множество всех разрешимых групп, а через 
---
множество всех групп, у которых -корадикал разрешим.
1.1
Лемма.
Пусть --- насыщенная формация, --- наследственная насыщенная формация.
Если 
и 
, где
, то 
.
Доказательство.
Пусть . По теореме 2.2.1, --- -группа.
Очевидно, что 
. По лемме 2.2.2, 
, где 
--- -группа, 
--- 
-группа и 
. Так
как 
и 
, то
. Следовательно, 
---
-группа. Пусть 
---
-главный фактор .
Если --- -группа,
то -централен.
Пусть
--- -группа.
По теореме 2.2.3, 
. Пусть 
и ---
произвольная -абнормальная максимальная подгруппа
группы . Тогда 
. Так
как 
, то, по теореме 2.2.4, 
. Следовательно, 
.
Поскольку
то
. Учитывая, что 
,
по теореме 2.2.5, имеем
где
--- максимальные внутренние локальные
экраны, соответственно и .
Если 
, то 
.
Отсюда и из того, что
следует
. А это значит, что -централен.
Пусть
. Так как ---
насыщенная формация и 
, то 
.
Следовательно, --- -нормализатор
группы . В силу того, что покрывает , то -централен.
Следовательно, 
. По теореме 2.2.4, . Лемма доказана.
1.2
Лемма.
Пусть --- непустая наследственная формация.
Если --- -субнормальная
подгруппа, то 
--- субнормальная подгруппа.
Доказательство.
Пусть --- -субнормальная
подгруппа группы . Если ,
то лемма очевидна. Пусть 
. Тогда содержится в максимальной -нормальной подгруппе группы . По
индукции, --- субнормальная подгруппа из . Так как 
и --- наследственная формация, то 
. Следовательно, 
,
значит, 
. Поскольку 
---
нормальная подгруппа группы , то --- субнормальная подгруппа . Лемма доказана.
1.3
Лемма. Пусть
--- наследственная насыщенная формация,
--- -субнормальная
подгруппа группы такая, что 
. Тогда 
.
Доказательство.
Пусть 
. Очевидно,
Так
как 
, то по индукции 
.
Следовательно,
Отсюда,
согласно лемме 2.2.6,
Пусть
. Тогда ---
цоколь группы . По лемме 3.1.2, --- субнормальная подгруппа группы . По теореме 2.2.7, 
. Следовательно, ---
нормальная подгруппа группы . Тогда
По
теореме 2.2.8, 
. Отсюда следует, что 
. Так как 
и --- наследственная формация, то 
. Получаем 
, т.
е. 
. Лемма доказана.
В
следующих леммах приводятся основные свойства -субнормальных
подгрупп.
1.4
Лемма. Пусть
--- непустая наследственная формация.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1)
если --- подгруппа группы и 
, то --- -субнормальная
(-достижимая) подгруппа группы ;
2)
если --- -субнормальная
(-достижимая) подгруппа группы , то 
--- -субнормальная (-достижимая)
подгруппа для любой подгруппы группы ;
3)
если --- -субнормальная
(-достижимая) подгруппа и --- -субнормальная (-достижимая)
подгруппа группы , то ---
-субнормальная (-достижимая)
подгруппа группы ;
4)
если 
и 
--- -субнормальные (-достижимые)
подгруппы группы , то 
---
-субнормальная (-достижимая)
подгруппа группы ;
5)
если все композиционные факторы группы принадлежат
формации , то каждая субнормальная подгруппа
группы -субнормальна
в ;
6)
если --- -субнормальная
(-достижимая) подгруппа группы , то 
-субнормальна (-достижима)
в для любых 
.
Доказательство.
1) Пусть --- подгруппа группы и . Так
как и ---
наследственная формация, то подгруппа 
является
-субнормальной подгруппой группы 
. Отсюда, согласно определению -субнормальной подгруппы, существует
максимальная цепь
такая,
что 
для всех .
Отсюда, с учетом леммы 2.2.6 получаем, что в группе существует
максимальная цепь
такая,
что для всех .
А
это значит, что --- -субнормальная
подгруппа группы .
Пусть
--- подгруппа группы , содержащая ,
тогда --- -субнормальная
подгруппа группы . А так как любая -субнормальная подгруппа группы является -достижимой
в , то --- -достижимая подгруппа группы .
2)
Пусть --- -субнормальная
подгруппа группы . Тогда, по определению,
существует максимальная цепь подгрупп
такая,
что для любого .
Пусть
--- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп
Так
как и формация наследственна,
то из 
следует, что
Теперь,
ввиду изоморфизма,
имеем
. Значит, 
.
Так как , то 
.
Итак, . Отсюда, по определению, --- -субнормальная
подгруппа группы .
Пусть
--- -достижимая
подгруппа группы . Тогда, по определению,
существует цепь подгрупп
такая,
что для любого либо подгруппа нормальна в ,
либо .
Пусть
--- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп:
Если
подгруппа нормальна в , то
подгруппа 
нормальна в 
.
Пусть . Так как формация наследственна, то из следует, что
Теперь,
ввиду изоморфизма,
имеем
. Значит, .
Так как , то .
Итак, для каждого либо подгруппа нормальна в ,
либо . Отсюда, по определению, --- -достижимая
подгруппа группы .
Утверждение
3) следует непосредственно из определения -субнормальной
(-достижимой) подгруппы.
Утверждение
4) следует теперь из утверждений 2) и 3).
5)
Пусть все композиционные факторы группы принадлежат
формации , и пусть ---
субнормальная подгруппа группы . Тогда в группе существует цепь подгрупп
такая,
что для любого подгруппа нормальна в .
Согласно
условию, 
, отсюда следует, что 
. А это значит, что подгруппа -субнормальна
в группе .
Утверждение
6) следует непосредственно из определения -субнормальной
(-достижимой) подгруппы. Лемма доказана.
1.5
Лемма.
Пусть --- непустая формация, и ---
подгруппы группы , причем нормальна в .
Тогда:
1)
если -субнормальна
(-достижима) в ,
то 
-субнормальна
(-достижима) в и
-субнормальна
(-достижима) в 
;
2)
если 
, то -субнормальна (-достижима)
в тогда и только тогда, когда 
-субнормальна
(-достижима) в .
Доказательство.
Пусть --- -субнормальная
подгруппа группы . Тогда, по определению,
существует максимальная цепь подгрупп
такая,
что для любого .
Рассмотрим
следующую цепь подгрупп
Так
как , то ввиду леммы 2.2.6, 
. Отсюда следует, что
Итак,
для каждого 
.
Отсюда, по определению, --- -субнормальная подгруппа группы .
Ввиду
леммы 2.2.6,
Поэтому
для любого 
.
Значит, --- -субнормальная
подгруппа группы .
Пусть
--- -достижимая
подгруппа группы . Тогда, по опрeделению,
существует цепь подгрупп
такая,
что для любого либо нормальна
в , либо .
Рассмотрим следующую цепь подгрупп
Если
подгруппа нормальна в , то
подгруппа 
нормальна в 
.
Пусть . Тогда ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что 
. Итак, для каждого 
либо подгруппа нормальна
в , либо .
Отсюда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы .
Ввиду
леммы 2.2.6, 
. Поэтому для любого либо подгруппа 
нормальна
в 
, либо .
Значит, --- -достижимая
подгруппа группы .
Утверждение
2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.
В
работе [3] А.Ф. Васильевым была предложена задача об описании наследственных
насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп и , у которых
любая силовская подгруппа -субнормальна в 
. В этой же работе было получено
описание таких формаций в классе конечных разрешимых групп. Развитию данного
направления были посвящены работы [4, 16].
В
данном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих в
класс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством.
В
теории классов групп важную роль играет класс всех -групп
( --- некоторое множество простых чисел),
который обозначается через . Большинство
важнейших классов групп можно построить из классов вида с
помощью операций пересечения и произведения классов.
Напомним,
что произведением классов групп и называется класс групп 
, который состоит из всех групп , таких, что в найдется
нормальная -подгруппа с
условием 
.
Пусть
--- множество всех натуральных чисел.
Обозначим через 
некоторое подмножество из 
. Пусть 
, 
--- некоторые множества простых чисел,
а 
, 
---
классы всех -групп и -групп
соответственно. В дальнейшем рассматриваем формации вида:
Напомним,
что группа называется -замкнутой
( -нильпотентной), если ее силовская -подгруппа (силовское -дополнение) нормальна в . Группа называется
-разложимой, если она одновременно -замкнута и -нильпотентна.
Через
обозначим дополнение к во множестве всех простых чисел, если 
, то вместо будем
просто писать 
. Тогда 
--- класс всех -нильпотентных
групп, 
--- класс всех -замкнутых
групп, 
--- класс всех -разложимых
групп, 
--- класс всех нильпотентных групп, где
пробегает все простые числа.
Группа
называется -нильпотентной
( -разложимой), если она -нильпотентна (-разложима)
для любого простого числа из . Классы всех -нильпотентных
(-разложимых) групп можно записать в виде
Группа
называется -замкнутой,
если она имеет нормальную -холлову подгруппу.
Тогда 
--- класс всех -замкнутых
групп.
2.1
Лемма.
Пусть --- наследственная формация. Если --- -субнормальная
-подгруппа группы , то композиционные факторы группы содержатся среди композиционных
факторов групп из .
Доказательство.
Если 
, то лемма верна. Пусть 
. Тогда содержится
в -нормальной максимальной подгруппе группы . По
индукции, 
. Так как 
, то 
. Отсюда, и из ,
получаем 
. Лемма доказана.
2.2
Лемма.
Пусть 
--- наследственная формация, --- класс всех групп. Тогда формация 
совпадает с формацией 
.
Доказательство
леммы осуществляется непосредственной проверкой.
2.3
Теорема
[10-A, 13-A]. Пусть --- наследственная формация.
Тогда всякая формация , представимая в виде , содержит любую группу , у которой 
и
силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны
в .
Доказательство.
Пусть --- формация указанного вида и --- такая группа, что , где и
любая силовская подгруппа из и -субнормальна
в . Индукцией по порядку докажем, что 
.
Рассмотрим сначала случай, когда 
--- класс всех
групп.
Пусть
--- минимальная нормальная подгруппа из
. Ясно, что любая силовская подгруппа из
и 
имеет
вид 
, 
, где
и 
---
силовские подгруппы из и соответственно.
Согласно лемме 3.1.5, и --- -субнормальные подгруппы фактор-группы . По индукции, .
Так как --- формация, то отсюда следует, что имеет единственную минимальную нормальную
подгруппу . Очевидно, что 
.
Так как --- насыщенная формация, то нетрудно
показать, что .
Пусть
--- силовская подгруппа из . Покажем, что 
.
Пусть
--- абелева группа. Так как --- -субнормальная
подгруппа группы , то, согласно теореме 2.2.8, .
Пусть
--- неабелева группа. В этом случае 
есть прямое произведение изоморфных
неабелевых простых групп и 
.
Рассмотрим
подгруппу 
. Согласно лемме 3.1.5, --- -субнормальная
подгруппа группы . Пусть 
. Так как и --- собственная -субнормальная
подгруппа группы , то равенство 
невозможно. Итак, .
Так
как 
и ---
насыщенная формация, то 
. Отсюда следует, что
А
это значит, что 
. Если 
,
то 
. Последнее равенство невозможно, так
как согласно лемме 3.1.4 --- собственная -субнормальная подгруппа 
.
Итак,
--- собственная подгруппа . Если 
, то
Так
как 
и ---
наследственная формация, то 
. Но тогда нетрудно
заметить, что 
.
Так
как , то согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная
подгруппа. Так как и ---
наследственная формация, то любая силовская подгруппа 
-субнормальна в .
Согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная
подгруппа группы . По индукции, 
. Отсюда следует, что 
для любой 
.
Аналогичным
образом доказывается, что 
для любой , где ---
любая силовская подгруппа из . Из того, что , следует 
.
Рассмотрим
два случая: 
и 
.
Пусть
. Покажем, что 
.
Если
--- абелева, то ---
примарная -группа, где 
.
Отсюда следует, что .
Если
--- неабелева, то есть прямое произведение изоморфных
неабелевых простых групп.
Так
как 
--- нормальная подгруппа из , то
Так
как 
, то очевидно, что . Так как 
, то
для любой .
Следовательно, 
.
Пусть
теперь . Если ---
неабелева, то . Тогда 
. Отсюда следует, что 
. А это значит, что 
. Отсюда следует, что 
, где ---
любое простое число из 
.
Рассмотрим
подгруппу 
, где ---
любая силовская подгруппа из .
Если
, то, как и выше, получаем, что .
Если
, то, как и выше, получаем, что 
. Отсюда следует, что , где ---
любое простое число из 
. Согласно лемме 2.2.9, любая
силовская подгруппа группы есть 
, где
--- силовские подгруппы из и соответственно.
Отсюда следует, что любое простое число из 
принадлежит .
Следовательно, 
. А это значит, что .
Пусть
--- абелева группа, то 
. Но тогда 
.
Ввиду
, получаем, что для
любой . А это значит, что .
Пусть
теперь --- произвольная наследственная
формация и . По лемме 3.2.1, композиционные факторы
группы содержатся среди композиционных
факторов групп из . Это значит, что принадлежит .
Пусть
. Так как 
, то
ввиду леммы 3.2.2, силовские подгруппы из и -субнормальны
в . По доказанному, 
. Так как , то,
по лемме 3.2.2, . Теорема доказана.
2.4
Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Пусть --- наследственная формация. Тогда
всякая формация вида является сверхрадикальной.
Доказательство.
Пусть , где и --- -субнормальные
-подгруппы группы . Так как ---
наследственная формация, то согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из (из ) -субнормальна в (соответственно
в ). Отсюда, согласно лемме 3.1.4, любая
силовская подгруппа из и из -субнормальна в .
Теперь требуемый результат следует из теоремы 3.2.3.
2.5
Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Формация вида 
является сверхрадикальной.
2.6
Следствие. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные
подгруппы группы , принадлежащие .
2.7
Следствие. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные
подгруппы группы , принадлежащие .
2.8
Следствие. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные
подгруппы группы , принадлежащие .
2.9
Следствие [10-A, 13-A]. Пусть .
Тогда формация содержит любую группу , у которой и
силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны
в .
2.10
Следствие [10-A, 13-A]. Пусть ---
формация всех -нильпо- тентных групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из
подгрупп и -субнормальны в .
2.11
Следствие [10-A, 13-A]. Пусть ---
формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из
подгрупп и -субнормальны в .
2.12
Следствие [10-A, 13-A]. Пусть ---
формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из
подгрупп и -субнормальны в .
2.13
Лемма.
Пусть --- непустая наследственная формация.
Пусть все композиционные факторы группы принадлежат
. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
1)
--- -субнормальная
подгруппа группы ;
2)
--- -достижимая
подгруппа группы .
Доказательство.
Пусть --- -субнормальная
подгруппа группы . Тогда, по определению, --- -достижимая
подгруппа группы .
Пусть
--- -достижимая
подгруппа группы . Тогда существует цепь
в
которой для любого 
либо 
нормальна
в 
, либо 
.
Пусть
. Уплотним участок от до цепи
до максимальной 
-цепи.
Ввиду
утверждения 1) леммы 3.1.4, все подгруппы ,
содержащие , -субнормальны
в . Пусть теперь нормальна
в . Можно считать, что --- максимальная нормальная подгруппа (в противном случае уплотняем участок
от до до
композиционной -цепи). Ввиду условия леммы 
, т. е. .
Пришли к рассматриваемому выше случаю. Теперь, ввиду утверждения 1) леммы
3.1.4, подгруппа -субнормальна
в . Лемма доказана.
2.14
Лемма.
Пусть --- наследственная насыщенная формация.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
любая группа , где и
любые силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны
в , принадлежит ;
2)
любая группа , где и
любые силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы
в , принадлежит .
Доказательство.
Покажем, что из 1) следует 2). Доказательство проведем индукцией по порядку
группы .
Пусть
--- минимальная нормальная подгруппа
группы . Очевидно, что 
.
Пусть --- произвольная -силовская подгруппа из . Ясно, что --- -силовская подгруппа из . По лемме 3.1.5, --- -достижимая
подгруппа группы . Аналогичным образом
доказыватся, что любая силовская подгруппа из -достижима в . Так
как 
, то по индукции, . Предположим, что 
и 
---
две различные минимальные нормальные подгруппы группы .
Выше показано, что 
, 
. Так
как --- формация, то 
. Итак, имеет
единственную минимальную нормальную подгруппу .
Покажем,
что . Предположим противное. Тогда, как и
выше, с учетом индукции можно показать, что 
. Так
как --- наследственная формация, то . Итак, .
Рассмотрим
следующие два случая.
1)
Пусть --- абелева, тогда --- примарная группа. Так как --- насыщенная формация и , то . Как
и выше, с учетом индукции можно показать, что .
Теперь, с учетом леммы 3.2.13 и условия следует, что .
2)
Пусть --- неабелева группа. В этом случае
есть
прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .
Рассмотрим
подгруппу . Согласно лемме 3.1.5, --- -субнормальная
подгруппа группы . Пусть . Так как и --- собственная -субнормальная
подгруппа группы , то равенство невозможно. Итак, .
Так
как и ---
насыщенная формация, то . Отсюда следует, что
А
это значит, что . Если ,
то . Последнее равенство невозможно, так
как , согласно лемме 3.1.4, собственная -субнормальная подгруппа .
Итак,
--- собственная подгруппа . Если , то
Так
как и ---
наследственная формация, то . Но тогда нетрудно
заметить, что .
Согласно
индукции, группа принадлежит формации . Согласно лемме 3.2.13, любая -достижимая подгруппа является -субнормальной подгруппой. Согласно
условию получаем, что группа принадлежит .
Непосредственно
из определения -субнормальности и -достижимости из 2) следует 1). Лемма
доказана.
Непосредственно
из данной леммы и теоремы 3.2.3 следует следующая теорема.
2.15
Теорема.
Пусть --- наследственная формация. Тогда
всякая формация , представимая в виде , содержит любую группу , у которой и
силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы
в .
2.16
Следствие. Пусть . Тогда формация содержит любую группу , у которой и
силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы
в .
2.17
Следствие. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из
подгрупп и -достижимы в .
2.18
Следствие. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из
подгрупп и -достижимы в .
2.19
Следствие. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из
подгрупп и -достижимы в .
В
теории формаций конечных групп одной из известных проблем является проблема
Шеметкова об описании сверхрадикальных формаций.
В.Н.
Семенчуком в работе [28] получено полное решение проблемы Л.А. Шеметкова в
классе конечных разрешимых групп. Оказалось, что все такие формации имеют
следующее строение: 
, где 
---
некоторые множества простых чисел, а 
--- множество всех
разрешимых -групп.
В
данном разделе приводится описание наследственных насыщенных сверхрадикальных
формаций, критические группы которых разрешимы.
Приведем
примеры сверхрадикальных формаций.
3.1
Пример.
Формация всех -групп ,
где --- некоторое множество простых чисел
является сверхрадикальной формацией.
Действительно.
Пусть , где и --- -группы,
и --- -субнормальные подгруппы группы . Так как формация замкнута относительно расширений, то,
очевидно, что --- -группа.
3.2
Пример.
Формации , ---
сверхрадикальные формации.
Действительно,
если --- -субнормальная
подгруппа группы , то ---
субнормальная подгруппа из . Очевидно, что любая
группа , где и --- нильпотентные субнормальные
подгруппы из , нильпотентна.
Если
--- разрешимая -субнормальная
подгруппа из , то разрешима.
Следовательно, --- сверхрадикальная
формация.
Следующая
лемма устанавливает связь между сверхрадикальными формациями и формациями
Фиттинга.
Напомним,
что формациями Фиттинга называются формации,
которые замкнуты относительно взятия субнормальных подгрупп и произведения
нормальных -подгрупп.
3.3
Лемма.
Пусть --- наследственная сверхрадикальная
формация, тогда --- формация Фиттинга.
Доказательство.
Пусть , где и --- нормальные -подгруппы
группы . Так как
то
. Аналогичным образом, 
. Согласно лемме 3.1.4, и --- -субнормальные подгруппы группы . Так как ---
сверхрадикальная формация, то . Итак, --- формация Фиттинга. Лемма доказана.
3.4
Лемма. Пусть
--- непустая наследственная формация.
Если содержит любую группу , где для любого из
силовские -подгруппы
и принадлежат
и -субнормальные
подгруппы в , то ---
сверхрадикальная формация.
Доказательство.
Пусть --- непустая наследственная формация,
удовлетворяющая условию леммы. Покажем, что ---
сверхрадикальная формация. Пусть , где и --- -субнормальные -подгруппы
группы . Пусть ---
произвольное простое число из , а и ---
силовские -подгруппы из и
соответственно. Так как и принадлежат
и ---
наследственная формация, то и принадлежат и, и -субнормальны в и
соответственно. Так как и --- -субнормальные подгруппы группы , то согласно лемме 3.1.4, и -субнормальны в группе . Согласно условию леммы, принадлежит . А
это значит, что --- сверхрадикальная
формация. Лемма доказана.
3.5
Лемма. Пусть
--- наследственная насыщенная
разрешимая формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
--- сверхрадикальная формация;
2)
--- содержит любую группу , где и
для любого простого числа из силовские -подгруппы
и -субнормальны в .
Доказательство.
Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть
--- сверхрадикальная формация и пусть , где и
для любого простого числа из и --- -субнормальные
подгруппы группы . Так как --- насыщенная формация и , то и принадлежат . Так
как --- разрешимая формация и --- -субнормальная
подгруппа группы , то отсюда нетрудно показать,
что --- разрешимая группа. А это значит,
что и разрешимы.
Согласно
теореме Ф. Холла [63], 
, где 
. Так как ---
сверхрадикальная формация, то 
принадлежит . Так как 
и 
--- -субнормальные
подгруппы группы , то согласно теореме 2.2.10, --- -субнормальная
подгруппа группы . Так как принадлежит и --- сверхрадикальная формация, то
подгруппа 
принадлежит .
Продолжая в аналогичном порядке получаем, что принадлежит
. Аналогичным образом можем доказать,
что принадлежит . Так
как --- сверхрадикальная формация, то .
Тот
факт, что из 2) следует 1) вытекает из леммы 3.3.4. Лемма доказана.
В
следующей теореме получено решение проблемы Шеметкова о классификации
сверхрадикальных формаций для наследственных насыщенных формаций, критические
группы которых разрешимы.
3.6
Теорема
[20-A]. Пусть --- наследственная насыщенная
формация такая, что 
. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
1)
--- сверхрадикальная формация;
2)
, где ---
некоторые множества простых чисел.
Доказательство.
Пусть --- сверхрадикальная формация. Вначале
докажем, что любая минимальная не -группа является либо
группой простого порядка, либо группой Шмидта.
Пусть
--- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию теоремы, разрешима. Если 
,
то нетрудно заметить, что --- группа простого
порядка , где 
.
Рассмотрим
случай, когда . Согласно теореме 2.2.5, 
, где ---
единственная минимальная нормальная подгруппа из , --- -группа,
, 
---
максимальный внутренний локальный экран формации .
Очевидно, что .
Покажем,
что является примарной циклической
подгруппой. Предположим противное. Поскольку ---
разрешимая группа, то в существуют
максимальные подгруппы 
и 
такие,
что 
. Так как , то
очевидно, что 
и 
--- -нормальные максимальные -подгруппы группы . Но тогда 
.
Так как --- сверхрадикальная формация, то . Противоречие. Итак, имеет единственный класс максимальных
сопряженных подгрупп. Следовательно, --- циклическая -подгруппа. Поскольку --- насыщенная формация и 
, имеем 
.
Покажем,
что 
. Предположим противное. Пусть 
, где 
.
Пусть 
и 
---
циклические группы соответственно порядков 
и . Обозначим через 
регулярное сплетение 
. Пусть ---
база сплетения, т. е. 
. Так как некоторая подгруппа
группы изоморфна , то 
. Очевидно, подгруппы , принадлежат
формации 
.
Пусть
, где 
.
Обозначим через 
базу сплетения 
. Тогда 
.
Так
как 
, то 
,
значит, что подгруппы 
и 
-субнормальны в .
Легко видеть, что 
, 
.
Так
как --- сверхрадикальная формация, то 
. Но 
, и
поэтому 
.
Полученное
противоречие показывает, что 
. Итак, 
--- группа Шмидта. Теперь из леммы
3.1.1 следует, что --- группа Шмидта.
Пусть
--- максимальный внутренний локальный
экран формации . Покажем, что формация имеет полный локальный экран 
такой, что 
, для
любого из 
.
Действительно, пусть 
--- такая формация, у которой
есть локальный экран . Покажем, что 
.
С
учетом того, что 
для любого простого из ,
получим 
.
Покажем
обратное включение. Пусть --- группа
наименьшего порядка из 
. Так как 
--- наследственная формация, то
формация также является наследственной, значит, . Так как ---
насыщенная формация, то нетрудно показать, что .
Выше
показано, что --- либо группа простого
порядка, либо группа Шмидта. Пусть --- группа простого
порядка и 
. Нетрудно показать, что 
. Так как 
,
имеем 
. Отсюда следует, что . Противоречие.
Пусть
теперь --- группа Шмидта. Поскольку , то из свойств группы Шмидта следует 
, где 
и 
. Так как , то 
. Из того, что 
,
следует 
. Так как 
и --- наследственная формация, то 
. Теперь из того, что 
, где ---
единственная минимальная нормальная подгруппа группы и
, следует что .
Получили противоречие. Итак, 
, значит, .
Так
как --- локальный экран формации , имеем
следовательно,
--- формация из 2).
Пусть
. Тогда из следствия 3.2.5 следует, что --- сверхрадикальная формация. Теорема
доказана.
Покажем,
что в теореме 3.3.6 условие наследственной насыщенной формации можно отбросить, в случае, когда --- разрешимая формация.
3.7
Лемма.
Пусть --- разрешимая нормально наследственная
формация. Если и 
, то 
.
Доказательство.
Пусть и .
Если 
, то утверждение леммы очевидно. Пусть 
. Пусть ---
нормальная максимальная подгруппа группы .
Если 
, то 
.
Пусть
. Ясно, что 
. Так
как и ---
нормально наследственная формация, то 
.
Индукцией по порядку группы получаем, что . Лемма доказана.
Если
--- произвольный класс групп, то через 
обозначим наибольший по включению
наследственный подкласс класса . Более точно
3.8
Лемма.
Всякая разрешимая сверхрадикальная формация является наследственной формацией.
Доказательство.
Пусть --- разрешимая сверхрадикальная формация.
Как и в теореме 3.3.6 нетрудно показать, что любая разрешимая минимальная не -группа является группой Шмидта, либо
группой простого порядка.
Покажем,
что 
, где 
---
максимальная наследственная подформация из .
Допустим, что множество 
непусто и выберем в
нем группу наименьшего порядка. В силу леммы
2.2.11, формация является насыщенной. Поэтому . Очевидно, что группа имеет единственную минимальную
нормальную подгруппу и 
.
Так как 
, то в найдется
минимальная не -группа . Из нормальной наследственности
формации следует, что 
.
Ясно, что является также минимальной не -группой.
По
условию, --- группа Шмидта. В этом случае 
, где ---
нормальная силовская -подгруппа, а --- циклическая 
-подгруппа
группы , и --- различные простые числа.
Если
, то
Получили
противоречие с выбором . Остается принять, что 
. Отсюда и из 
получаем,
что 
, а значит, --- -группа. Рассмотрим 
. Тогда группу 
можно
представить в виде
где
--- элементарная абелева -группа, а 
.
Так как не входит в , то
по лемме 2.2.12 
, где ---
максимальный внутренний локальный экран формации . Так
как и 
, то 
является -группой.
Отсюда следует, что 
. Из нормальной
наследственности формации , по теореме 2.2.13,
следует, что 
является нормально наследственной
формацией. Тогда, по лемме 3.3.7, 
. Получили
противоречие. Таким образом, . Лемма доказана.
Напомним,
что формация называется формацией Шеметкова, если
любая минимальная не -группа является либо группой
Шмидта, либо группой простого порядка.
3.9
Теорема
[16-A]. Пусть --- наследственная насыщенная
формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
--- формация Шеметкова;
2)
формация содержит любую группу , где и --- -достижимые
-подгруппы из и
;
3)
--- сверхрадикальная формация и ;
4)
формация такая, что для любой группы и для любых ее перестановочных -субнормальных подгрупп и подгруппа
-субнормальна
в и ;
5)
формация такая, что для любой группы и для любых ее перестановочных -достижимых подгрупп и подгруппа
-достижима
в и ;
6)
, где ---
некоторые множества простых чисел и .
Доказательство
следует из теорем 2.2.14, 2.2.15 и теоремы 3.3.6.
3.10
Теорема [3-A,
5-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация
такая, что . Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
1)
формация содержит любую группу , где и --- -субнормальны
в G и ;
2)
, где ---
некоторые множества простых чисел.
Доказательство.
Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть
--- формация, удовлетворяющая
утверждению 1). Покажем, что она является сверхрадикальной формацией. Пусть --- любая группа такая, что , где и --- -субнормальные
подгруппы группы , принадлежащие . Пусть и произвольные -силовские
подгруппы из и соответственно.
Так как 
, 
и --- наследственная формация, то и -субнормальны соответственно в и . Так
как и -субнормальны в ,
то по лемме 3.1.4, и -субнормальны в группе . Отсюда следует, что . Следовательно, ---
сверхрадикальная формация.
Теперь,
согласно теореме 3.3.6, получаем, что .
Обратное
утверждение следует из следствия 3.2.16. Теорема доказана.
Из
леммы 3.3.5 следует, что в классе конечных разрешимых групп класс всех
наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций совпадает с классом всех
наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения
подгрупп и ,
силовские подгруппы которых обобщенно субнормальны в .
Как
следует из теоремы 3.3.10, аналогичное утверждение верно для всех
наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы.
Однако для произвольной наследственной насыщенной формации данный вопрос
остается открытым.
В
главе 1 приведены некоторые свойства критических групп и обобщенно
субнормальных подгрупп, необходимые для доказательства основных результатов
глав2 и 3.
В
главе 2 найдены серии наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения
подгрупп и , у
которых любая силовская подгруппа -субнормальна в , теорема 2.3 [10-A,13-A].
В
главе 3 получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций,
критические группы которых разрешимы, теорема 3.6 [20-A].
Основные
научные результаты работы
В
данной работе проведено изучение строения наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, обладающих заданными
свойствами.
1.
Найдены серии произвольных наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения
подгрупп и , у
которых любая силовская подгруппа -субнормальна в [10-A, 13-A].
2.
Получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций,
критические группы которых разрешимы [20-A].
3.
В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных насыщенных
формаций , замкнутых относительно произведения
обобщенно субнормальных -подгрупп взаимно
простых индексов [18-A].
4.
Доказано, что любая разрешимая 2-кратно насыщенная формация , замкнутая относительно произведения
обобщенно субнормальных -подгрупп, индексы
которых взаимно просты является сверхрадикальной [18-A].
5.
Получено описание наследственных насыщенных -формаций
Шеметкова [14-A, 21-A].
6.
Получено описание наследственных насыщенных -формаций
Шеметкова [14-A, 21-A].
7.
В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных формаций
Фиттинга , замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на
некоторое фиксированное простое число [14-A, 21-A].
Полученные
результаты могут найти приложение в вопросах классификации классов конечных групп,
в дальнейшем развитии теории обобщенно субнормальных подгрупп, а также при
изучении строения непростых конечных групп по заданным свойствам её обобщенно
субнормальных и критических подгрупп.
Решенные
в диссертации задачи позволяют подойти к ещё нерешенным проблемам: задаче об
описании наследственных сверхрадикальных формаций; задаче об описании
наследственных насыщенных формаций , замкнутых
относительно произведений обобщенно субнормальных -подгрупп,
индексы которых взаимно просты.
Результаты
диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов
для студентов математических специальностей в высших учебных заведениях,
написании курсовых, дипломных проектов и диссертаций.
1. Васильев, А.Ф. О
максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев //
Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос.
ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып.
5. -- С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. О
решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н.
Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т
математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С.
27--54.
3. Васильев, А.Ф. О
влиянии примарных -субнормальных подгрупп на
строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во
обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.:
Л.А. Шеметков [и др.]. -- Гомель, 1995. -- Вып. 8. -- С. 31--39.
4. Васильева, Т.И. О
конечных группах с -достижимыми силовскими
подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. -- 18 с. --
(Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. О
локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. --
1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.
6. Казарин, Л.С.
Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. --
1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. О
произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, №
3. -- С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. О
некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников //
Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. О
двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994.
-- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь
(нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. -- Новосибирск,
1992. -- 172 с.
11. Коуровская тетрадь
(нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. --
Новосибирск, 1999. -- 146 с.
12. Легчекова, Е.В.
Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В.
Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, №
1. -- С. 27--33.
13. Монахов, В.С.
Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные
группы. -- 1975. -- С. 70--100.
14. Монахов, В.С. О
произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С.
Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр.
БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск:
Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.
15. Мокеева, С.А.
Конечные группы с перестановочными -субнормальными (-достижимыми) подгруппами / С.А.
Мокеева. -- Гомель, 2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф.
Скорины; № 56).
16. Прокопенко, А.И. О
конечных группах с -достижимыми силовскими
подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф.
Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. О
минимальных не -группах / В.Н. Семенчук //
ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. -- С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н. Конечные
группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1979. --
№ 1. -- С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н.
Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук //
Алгебра и логика. -- 1979. -- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н.
Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп
/ В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики
АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н.
Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук //
Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т
математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н.
Характеризация локальных формаций по заданным
свойствам минимальных не -групп / В.Н.
Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения
конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984.
-- С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н.
Описание разрешимых минимальных не -групп для
произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. --
1988. -- Т. 43, № 4. -- С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. О
разрешимых минимальных не -группах / В.Н.
Семенчук // Вопросы алгебры. -- Минск: Университетское, 1987. -- Вып. 3. -- С.
16--21.
25. Семенчук, В.Н. Роль
минимальных не -групп в теории формаций /
В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1991. -- Т. 98, № 1. -- С. 110--115.
26. Семенчук, В.Н.
Конечные группы с -абнормальными или -субнормальными подгруппами / В.Н.
Семенчук // Матем. заметки. -- 1994. -- Т. 56, № 6. -- С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н.
Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. --
1995. -- Т. 36, № 4. -- С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н.
Разрешимые -радикальные формации / В.Н. Семенчук //
Матем. заметки. -- 1996. -- Т. 59, № 2. -- С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Об
одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. -- 1996.
-- № 3. -- С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. О
разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. --
1997. -- № 11. -- С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н.,
Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не -групп
/ В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. -- 1998. -- № 4 (431). --
С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н.
Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых
бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины.
-- 1999. -- № 1 (15). -- С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н.
Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН
Беларуси. -- 2000. -- Т. 44, № 5. -- С. 24--26.
34. Семенчук, В.Н.
Конечные группы, факторизуемые -достижимыми
подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та
им. Ф. Скорины. -- 2002. -- № 5 (14). -- С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Об
одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. --
1990. -- Т. 34, № 11. -- С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебра
формаций / А.Н. Скиба. -- Минск: Беларуская навука, 1997. -- 240 с.
37. Старостин, А.И. О
минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем.
заметки. -- 1968. -- Т. 3, № 1. -- С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н.
Факторизации -нильпотентными сомножителями / В.Н.
Тютянов // Матем. сб. -- 1996. -- Т. 187, № 9. -- С. 97--102.
39. Чунихин, С.А. О
специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1929. -- Т. 36, № 2. -- С.
135--137.
40. Чунихин, С.А. О
специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1933. -- Т. 40, № 1. -- С.
39--41.
41. Чунихин, С.А. О
группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1938.
-- Т. 4 (46), № 3. -- С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. О
существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по
теории групп. -- ГОНТИ, М.--Л. -- 1938. -- С. 106--125.
43. Чунихин, С.А.
Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. -- Минск: Наука и техника, 1964. --
158 с.
44. Шеметков, Л.А.
Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. -- М.: Наука, 1978. -- 272 с.
45. Шеметков, Л.А.
Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1981. -- Т. 25, №
8. -- С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. О
произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1984. -- Т. 28, № 2. --
С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А.
Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. -- М.: Наука, 1989.
-- 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы,
все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. -- 1924. -- Т. 31,
№ 3. -- С. 366--372.
49.
Ballester-Bolinches, A. On the lattice of -subnormal
subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra.
-- 1992. -- Vol. 148, № 2. -- P. 42--52.
50. Ballester-Bolinches,
A. On -critical groups / A.
Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1995. -- Vol. 174. --
P. 948--958.
51.
Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A.
Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1996. -- Vol. 179. --
P. 905--917.
52.
Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M.
Ezquerro. -- Springer, 2006. -- 385 p.
53. Bryce, R.A. Fitting
formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. --
1972. -- Bd. 127, № 3. -- S. 217--233.
54. Carter, R.O. The -normalizers of a finite soluble group /
R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1967. -- Vol. 5, № 2. -- Р. 175--202.
55. Carter, R. Extreme
classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J.
Algebra. -- 1968. -- Vol. 9, № 3. -- P. 285--313.
56. Doerk, K. Minimal
nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. -- 1966. -- Vol.
91. -- P. 198--205.
57. Doerk, K. Finite
soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. -- Berlin -- New York: Walter de Gruyter,
1992. -- 891 p.
58. Fisman, E. On
product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. -- 1983. --
Vol. 80, № 2. -- P. 517--536.
59. Gaschutz, W. Zur
Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. -- 1963. -- Vol. 80, № 4.
-- P. 300--305.
60. Guo, W. The Theory
of Classes of Groups / W. Guo. -- Dordrecht -- Boston -- London: Kluwer
Academic Publishers, 2000. -- 257 p.
61. Guo, W.
X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba //
J. Algebra. -- 2007. -- Vol. 315. -- P. 31--41.
62. Hall, P. A note on
soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1928. -- Vol. 3. -- P.
98--105.
63. Hall, P. On the
Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1937.
-- Vol. 43. -- P. 316--323.
64. Hawkes, T. On
Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. -- 1970. -- Vol. 117. -- P.
177--182.
65. Huppert, B.
Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math.
Z. -- 1954. -- Vol. 60. -- P. 409--434.
66. Ito, N. Note on
(LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. -- 1951. --
Vol. 1--2. -- P. 1--6.
67. Kazarin, L.S.
Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. -- 1986. --
Vol. 14, № 6. -- P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H.
Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. -- 1961. -- Vol. 12, № 2. -- P.
90--93.
69. Kegel, O.H.
Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt
enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. -- 1978. -- Bd. 30, № 3. -- S. 225--228.
70. Miller, G.A.
Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno
// Trans. Amer. Math. Soc. -- 1903. -- Vol. 4. -- P. 398--404.
71. Semenchuk, V.N.
Finite groups with permutable -subnormal and -accessible subgroups / V.N. Semenchuk,
S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts,
August 4--9. -- 2003. -- P. 153--154.
72. Thompson, J.G.
Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G.
Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1968. -- Vol. 74. -- P. 383--437.
73. Wielandt, H. Eine
Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. --
1939. -- Bd. 45. -- S. 209--244.
74. Wielandt, H. Uber
den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. --
1958. -- Bd. 69, № 8. -- S. 463--465.
75. Wielandt, H. Uber
das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. -- 1958.
-- Vol. 2, № 4B. -- P. 611--618.