Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП , ЗАМКНУТЫЕ О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ИНДЕКСОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ -ПОДГРУПП

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-53 МОКЕЕВА О. А.

Научный руководитель:

доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.

Гомель 2009

Оглавление

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Введение

1 Некоторые базисные леммы

2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых обобщенно субнормальными -подгруппами, индексы которых взаимно просты, наследственно насыщенным формациям

Заключение

Список использованных источников

Перечень условных обозначений

Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].

 --- множество всех натуральных чисел;

 --- множество всех простых чисел;

 --- некоторое множество простых чисел, т. е. ;

--- дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число --- любое число вида .

Буквами  обозначаются простые числа.

Пусть  --- группа. Тогда:

 --- порядок группы ;

--- множество всех простых делителей порядка группы ;

-группа --- группа , для которой ;

-группа --- группа , для которой ;

 --- коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

 --- подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

 --- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;

 --- подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

 --- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

 --- -холлова подгруппа группы ;

 --- силовская -подгруппа группы ;

 --- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т. е. -холлова подгруппа группы ;

 --- нильпотентная длина группы ;

 --- -длина группы ;

 --- минимальное число порождающих элементов группы ;

 --- цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы ;

 --- циклическая группа порядка .

Если  и  --- подгруппы группы , то :

 ---  является подгруппой группы ;

 ---  является собственной подгруппой группы ;

 ---  является нормальной подгруппой группы ;

--- ядро подгруппы  в группе , т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с  в ;

 --- нормальное замыкание подгруппы  в группе , т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с  подгруппами группы ;

 --- индекс подгруппы  в группе ;

;

 --- нормализатор подгруппы  в группе ;

 --- централизатор подгруппы  в группе ;

 --- взаимный коммутант подгрупп  и ;

 --- подгруппа, порожденная подгруппами  и .

Минимальная нормальная подгруппа группы  --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;

 ---  является максимальной подгруппой группы .

Если  и  --- подгруппы группы , то:

 --- прямое произведение подгрупп  и ;

 --- полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы ;

 ---  и  изоморфны;

 --- регулярное сплетение подгрупп  и .

Подгруппы  и  группы  называются перестановочными, если .

Группу  называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы  нормальна в ;

-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы  нормальна в ;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

разрешимой, если существует номер  такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.

-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой.

-специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.

-разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой.

Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе  группы  называется такая подгруппа  из , что .

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.

Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп  называется:

субнормальным, если  для любого ;

нормальным, если  для любого ;

главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех .

Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой  и все ей изоморфные группы.

-группа --- группа, принадлежащая классу групп .

Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Если  --- класс групп, то:

 --- множество всех простых делителей порядков всех групп из ;

 --- множество всех тех простых чисел , для которых ;

 --- формация, порожденная классом ;

 --- насыщенная формация, порожденная классом ;

 --- класс всех групп , представимых в виде

где , ;

;

 --- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых принадлежат ;

 --- класс всех -групп из ;

 --- класс всех конечных групп;

 --- класс всех разрешимых конечных групп;

 --- класс всех -групп;

 --- класс всех разрешимых -групп;

 --- класс всех разрешимых -групп;

 --- класс всех нильпотентных групп;

 --- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной .

Если  и  --- классы групп, то:

.

Если  --- класс групп и  --- группа, то:

 --- пересечение всех нормальных подгрупп  из  таких, что ;

 --- произведение всех нормальных -подгрупп группы .

Если  и  --- формации, то:

 --- произведение формаций;

 --- пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп группы .

Если  --- насыщенная формация, то:

 --- существенная характеристика формации .

-абнормальной называется максимальная подгруппа  группы , если

, где  

--- некоторая непустая формация.

-гиперцентральной подгруппой в  называется разрешимая нормальная подгруппа  группы , если  обладает субнормальным рядом  таким, что

(1) каждый фактор  является главным фактором группы ;

(2) если порядок фактора  есть степень простого числа , то .

 --- -гиперцентр группы , т. е. произведение всех -гиперцентральных подгрупп группы .

Введение

Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим можно сформулировать следующую проблему.

Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации  с тем свойством, что любая группа , где  и  --- -субнормальные -подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит .

Именно изучению таких формаций посвящена данная работа. В частности, в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы.

1 Некоторые базисные леммы

В данном разделе доказаны леммы, которые существенным образом используются при доказательстве основного раздела данной главы.

1.1 Лемма [18-A]. Пусть  --- насыщенная формация,  принадлежит  и имеет нормальную силовскую -подгруппу  для некоторого простого числа . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) , где  --- любое дополнение к  в .

Доказательство. Так как , то , а значит, . Так как  и формация  насыщенная, то  не содержится в . Так как  --- элементарная группа, то по теореме 2.2.16,  обладает -допустимым дополнением  в . Тогда , . Если , то  отлична от  и, значит, принадлежит . Но тогда, ввиду равенства , имеем

отсюда следует  и . Тем самым доказано, что .

Докажем утверждение 2). Очевидно, что  является -корадикалом и единственной минимальной нормальной подгруппой группы , причем . Поэтому, ввиду теоремы 2.2.17,

Очевидно,

. Если , то

отсюда . Значит, . Лемма доказана.

Пусть  и  --- произвольные классы групп. Следуя [55], обозначим через  --- множество всех групп, у которых все -подгруппы принадлежат .

Если  --- локальный экран, то через  обозначим локальную функцию, обладающую равенством  для любого простого числа .

1.2 Лемма [18-A]. Пусть  и  --- некоторые классы групп. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)  --- наследственный класс;

2) ;

3) если , то ;

4) если , то  --- класс всех групп;

5) если  --- формация, а  --- насыщенный гомоморф, то  --- формация;

6) если , ,  --- некоторые классы групп и  --- наследственный класс, то  в том и только в том случае, когда ;

7) если  и  --- гомоморфы и , то .

Доказательство. Доказательство утверждений 1), 2), 3) и 4) следует непосредственно из определения класса групп .

Пусть ,  --- нормальная подгруппа группы  и  --- -подгруппа из . Пусть  --- добавление к  в . Покажем, что . Предположим противное. Пусть  не входит в . Тогда  обладает максимальной подгруппой , не содержащей . Поэтому , а значит, , что противоречит определению добавления.

Так как  --- насыщенный гомоморф, то . Но тогда  и . Значит, класс  замкнут относительно гомоморфных образов.

Пусть . Пусть  --- -подгруппа из . Тогда , а значит ввиду определения класса , имеем

Так как  --- формация и , то отсюда получаем, что . Таким образом, .

Докажем утверждение 6). Пусть , . Если  не входит в , то получается, что каждая -подгруппа из  принадлежит , а значит, . Получили противоречие. Поэтому .

Покажем, что . Предположим, что множество  непусто, и выберем в нем группу  наименьшего порядка. Тогда  не входит в . Пусть  --- собственная подгруппа из . Так как классы  и  --- наследственные классы, то . Ввиду минимальности  имеем . Значит, . Получили противоречие. Поэтому .

Докажем утверждение 7). Пусть  и  --- -подгруппа из группы . Отсюда следует, что , . А это значит, что . Отсюда нетрудно заметить, что . Следовательно, . Итак, . Лемма доказана.

1.3 Лемма [18-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная формация,  --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда -корадикал любой минимальной не -группы является силовской подгруппой, когда:

1) ;

2) формация  имеет полный локальный экран  такой , что  для любого  из .

Доказательство. Необходимость. Пусть  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Пусть  --- произвольное простое число из . Так как  --- насыщенный гомоморф, то по лемме 4.1.2,  --- формация.

Пусть  --- формация, имеющая локальный экран  такой, что  для любого  из . Покажем , что . Согласно теореме 2.2.13,  --- наследственная формация для любого  из . Отсюда нетрудно заметить, что  для любого  из . А это значит, что .

Пусть  --- группа минимального порядка из . Так как --- наследственная формация, то очевидно, что  --- наследственная формация. А это значит, что  и . Покажем, что  --- полный локальный экран, т. е.  для любого  из . Действительно. Пусть  --- произвольная группа из . Отсюда . Пусть  --- произвольная -группа из . Так как , то . Отсюда . Так как  --- полный экран, то . А это значит, что . Следовательно, . Отсюда нетрудно заметить, что . Теперь, согласно теореме 2.2.5, , где  --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы ,  --- -группа и . Так как  и , то . Отсюда . Противоречие. Итак, . Покажем, что  для любого  из . Пусть  и  --- -группа. Пусть  --- произвольная -подгруппа из . Тогда . Отсюда . А это значит, что . Противоречие.

Достаточность. Пусть  --- произвольная минимальная не -группа. Так как  разрешима, то по теореме 2.2.5,

где  --- -группа, . Согласно условию,  --- -группа. А это значит, что  --- -замкнутая группа. Но тогда,  --- -замкнутая группа. Согласно лемме 4.1.1,  --- силовская подгруппа группы . Лемма доказана.

1.4 Лемма [18-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная формация,  --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда любая минимальная не -группа бипримарна и -замкнута, где , когда:

1) ;

2) формация  имеет полный локальный экран  такой, что  и любая группа из  является примарной -группой для любого простого  из .

Доказательство. Необходимость. Пусть  --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию,  --- бипримарная -замкнутая группа, где . По лемме 4.1.1, . Согласно лемме 4.1.3, формация  имеет полный локальный экран  такой, что  и  для любого простого  из . Покажем, что любая группа из  примарна. Предположим противное. Тогда существует группа  и . Пусть  --- группа наименьшего порядка такая, что . Очевидно, что  и . Нетрудно заметить, что  и  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу. Значит, по лемме 2.2.18, существует точный неприводимый -модуль , где  --- поле из  элементов.

Пусть . Покажем, что . Поскольку  и , то .

Пусть  --- собственная подгруппа из . Покажем, что . Пусть . Если , то . Следовательно, . Пусть . Тогда  --- собственная подгруппа из . А это значит, что  и . Так как  и  --- наследственная формация, то . Но тогда и , а значит и .

Пусть теперь . Так как , то  и . Отсюда следует, что . Итак, . Cогласно условию,  бипримарна, что невозможно, т. к. .

Достаточность. Пусть  --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию,  разрешима. По теореме 2.2.5,

где  --- -группа, .

Согласно условию,  --- примарная -группа. А это значит, что  --- бипримарная -замкнутая группа. Но тогда  --- бипримарная -замкнутая группа. Лемма доказана.

2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых обобщенно субнормальными -подгруппами, индексы которых взаимно просты, наследственно насыщенным формациям

В данном разделе в классе конечных разрешимых групп получена классификация наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных -подгрупп, индексы которых взаимно просты.

2.1 Теорема [18-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная формация, --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация  содержит любую группу , где  и  --- -субнормальные -подгруппы и индексы ,  взаимно просты;

2) любая минимальная не -группа  либо бипримарная -замкнутая группа , либо группа простого порядка;

3) формация  имеет полный локальный экран  такой, что  и любая группа из  является примарной -группой для любого простого  из .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть  --- произвольная минимальная не -группа. Предположим, что , где  --- характеристика формации . Покажем, что  --- группа простого порядка. Пусть . Тогда существует простое число , . Так как , то , что невозможно. Итак,  --- примарная -группа. Так как , то, очевидно, что .

Пусть теперь . Рассмотрим случай, когда .

Покажем, что  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу . Предположим противное. Тогда  содержит, по крайней мере, две минимальные нормальные подгруппы  и . Так как , то в группе  найдутся максимальные подгруппы  и  такие, что , . Так как  и  принадлежат , , , то , . Так как  --- формация, то . Получили противоречие. Итак, , где  --- единственная минимальная нормальная -подгруппа группы .

Покажем, что  --- примарная -группа, где . Предположим, что существуют простые числа , где . Тогда в  найдутся максимальные подгруппы  и  такие, что  --- -число,  --- -число. Рассмотрим подгруппы  и . Очевидно, что индексы  и  взаимно просты. Так как  и , то . Согласно лемме 3.1.4, подгруппы  и  -субнормальны в . Так как  --- минимальная не -группа,  и  --- собственные подгруппы группы , то  и . Так как , то согласно условию, . Получили противоречие.

Покажем, что  --- -группа, где . Предположим, что . Так как , то согласно лемме 3.1.4,  --- -субнормальная подгуппа группы . Рассмотрим подгруппу . Так как  --- собственная подгруппа  и , то . Согласно лемме 3.1.4,  --- -субнормальная подгруппа . Очевидно, что  --- -субнормальная подгруппа . По лемме 3.1.4,  --- -субнормальная подгруппа группы . Так как , то из  и условия теоремы следует, что . Получили противоречие. Итак,  --- -группа. Тогда  --- бипримарная -замкнутая группа, где .

Пусть . Рассмотрим фактор-группу . Так как , то, как показано выше,  --- бипримарная -замкнутая группа. Отсюда следует, что  --- бипримарная -замкнутая группа.

Из леммы 4.1.4 следует, что утверждение 3) следует из 2).

Покажем, что из 3) следует 1).

Пусть  --- группа наименьшего порядка такая, что , где  и  --- -субнормальные -подгруппы группы  взаимно простых индексов, то . Так как  --- разрешимая группа и , где , то нетрудно заметить, что , где  и  --- холловские подгруппы группы ,  и , , где ,  --- некоторые элементы группы .

Пусть  --- собственная подгруппа группы . Покажем, что . Так как  --- разрешимая группа, то согласно теореме Ф. Холла [63], , где , , где ,  --- некоторые элементы из . Согласно лемме 3.1.4,  и  --- -субнормальные подгруппы группы . Так как  и , а  --- наследственная формация, то  и  --- -субнормальные подгруппы  и  соответственно. Согласно лемме 3.1.4, нетрудно показать, что  и  --- -субнормальные подгруппы группы , а значит, согласно лемме 3.1.4 и в . Так как , то по индукции, получаем, что . А это значит, что  --- минимальная не -группа.

Если  --- группа простого порядка, то ее нельзя представить в виде произведения собственных подгрупп взаимно простых индексов.

Пусть  --- бипримарная группа. Тогда согласно лемме 4.1.4, . Согласно лемме 4.1.1, . А это значит, что все подгруппы группы , содержащие  -абнормальны, т. е. группа  не представима в виде произведения собственных -субнормальных -подгрупп взаимно простых индексов. Получили противоречие. Теорема доказана.

Напомним, что формация  называется 2-кратно насыщенной, если она имеет локальный экран  такой, что  --- насыщенная формация для любого простого числа  из .

Следующая теорема доказана в классе конечных разрешимых групп.

2.2 Теорема [18-A]. Пусть  --- наследственная 2-кратно насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация  содержит любую группу , где  и  --- -субнормальные -подгруппы из  взаимно простых индексов;

2)  --- формация Шеметкова;

3) формация  содержит любую группу , где  и  --- -субнормальные -подгруппы из ;

4) .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть  --- произвольная минимальная не -группа. Рассмотрим случай, когда . Как и в теореме 4.2.1 можно показать, что либо  --- группа простого порядка , где , либо , где  и  из . А также нетрудно показать, что  --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы . А это значит, что . Пусть  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Если , то из полноты экрана  следует, что . Так как  --- внутренний экран, то . А это значит, что . Противоречие. Итак, .

Покажем, что . Предположим, что это не так. Тогда в  найдется неединичная собственная подгруппа . Рассмотрим подгруппу . Так как  --- минимальная не -группа и  --- собственная подгруппа , то . Покажем, что . Если это не так, то в  существует неединичная нормальная -подгруппа . Тогда . Так как , то , что невозможно. Согласно лемме 2.2.12, . Отсюда . Так как , то . А это значит, что . Так как  --- насыщенная формация, то . Следовательно, , что невозможно. Итак, , значит,  --- группа Шмидта. Итак,  --- группа Шмидта. По лемме 3.1.1,  --- группа Шмидта.

Тот факт, что из 2)  3) следует из теоремы 2.2.19; 3)  4) следует из теоремы 2.2.10; 4)  1) следует из теоремы 2.2.10. Теорема доказана.

Очевидно, что любая сверхрадикальная формация  содержит любую группу , где  и  -субнормальны в  и принадлежат  и имеют взаимно простые индексы в .

2.3 Пример. Пусть  --- формация всех сверхразрешимых групп, а  --- формация всех -групп, где ,  и  --- различные простые числа. Рассмотрим формацию . Так как существуют минимальные не -группы, которые не являются либо группой Шмидта, либо группой простого порядка, то  не является формацией Шеметкова. Так как , то согласно теореме 3.3.9, формация  не является сверхрадикальной формацией.

С другой стороны хорошо известно, что любая минимальная несверхразрешимая группа  -замкнута, где . Очевидно, что любая минимальная не -группа  является либо группой простого порядка, либо бипримарной -замкнутой группой, где . Теперь из теоремы 4.2.1 следует, что  содержит любую группу , где ,  и  принадлежат  и  и  --- субнормальны в .

Заключение

В главе 1 доказаны леммы, которые используются для доказательства основных результатов главы 2.

В главе 2 важную роль сыграл метод экстремальных классов, разработанный в работе Картера, Фишера, Хоукса [55] и метод критических групп, разработанный В.Н. Семенчуком в работе [19]. С помощью этих методов в классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных насыщенных формаций , содержащих любую группу , где ,  и  принадлежат  и  и  --- -субнормальны в , теорема 2.1 .

Доказано, что любая разрешимая  --- наследственная 2-кратно насыщенная формация, обладающая отмеченным выше свойством, является сверхрадикальной, теорема 2.2 .

Список использованных источников

1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып. 5. -- С. 39--45.

2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С. 27--54.

3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарных -субнормальных подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Гомель, 1995. -- Вып. 8. -- С. 31--39.

4. Васильева, Т.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. -- 18 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).

5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. -- 1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.

6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. -- 1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.

7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, № 3. -- С. 528--531.

8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.

9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994. -- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.

10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. -- Новосибирск, 1992. -- 172 с.

11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. -- Новосибирск, 1999. -- 146 с.

12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, № 1. -- С. 27--33.

13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. -- 1975. -- С. 70--100.

14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.

15. Мокеева, С.А. Конечные группы с перестановочными -субнормальными (-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. -- Гомель, 2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 56).

16. Прокопенко, А.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.

17. Семенчук, В.Н. О минимальных не -группах / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. -- С. 596--599.

18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1979. -- № 1. -- С. 11--15.

19. Семенчук, В.Н. Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук // Алгебра и логика. -- 1979. -- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.

20. Семенчук, В.Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп / В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С. 138--149.

21. Семенчук, В.Н. Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.

22. Семенчук, В.Н. Характеризация локальных формаций  по заданным свойствам минимальных не -групп / В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 175--181.

23. Семенчук, В.Н. Описание разрешимых минимальных не -групп для произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1988. -- Т. 43, № 4. -- С. 251--260.

24. Семенчук, В.Н. О разрешимых минимальных не -группах / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- Минск: Университетское, 1987. -- Вып. 3. -- С. 16--21.

25. Семенчук, В.Н. Роль минимальных не -групп в теории формаций / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1991. -- Т. 98, № 1. -- С. 110--115.

26. Семенчук, В.Н. Конечные группы с -абнормальными или -субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1994. -- Т. 56, № 6. -- С. 111--115.

27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. -- 1995. -- Т. 36, № 4. -- С. 861--872.

28. Семенчук, В.Н. Разрешимые -радикальные формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1996. -- Т. 59, № 2. -- С. 261--266.

29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. -- 1996. -- № 3. -- С. 25--29.

30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- 1997. -- № 11. -- С. 109--115.

31. Семенчук, В.Н., Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не -групп / В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. -- 1998. -- № 4 (431). -- С. 1--4.

32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 1999. -- № 1 (15). -- С. 153--162.

33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. -- 2000. -- Т. 44, № 5. -- С. 24--26.

34. Семенчук, В.Н. Конечные группы, факторизуемые -достижимыми подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2002. -- № 5 (14). -- С. 47--49.

35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. -- 1990. -- Т. 34, № 11. -- С. 382--385.

36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. -- Минск: Беларуская навука, 1997. -- 240 с.

37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. -- 1968. -- Т. 3, № 1. -- С. 33--37.

38. Тютянов, В.Н. Факторизации -нильпотентными сомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб. -- 1996. -- Т. 187, № 9. -- С. 97--102.

39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1929. -- Т. 36, № 2. -- С. 135--137.

40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1933. -- Т. 40, № 1. -- С. 39--41.

41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1938. -- Т. 4 (46), № 3. -- С. 521--530.

42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. -- ГОНТИ, М.--Л. -- 1938. -- С. 106--125.

43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. -- Минск: Наука и техника, 1964. -- 158 с.

44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. -- М.: Наука, 1978. -- 272 с.

45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1981. -- Т. 25, № 8. -- С. 677--680.

46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1984. -- Т. 28, № 2. -- С. 101--103.

47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. -- М.: Наука, 1989. -- 256 с.

48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. -- 1924. -- Т. 31, № 3. -- С. 366--372.

49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of -subnormal subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1992. -- Vol. 148, № 2. -- P. 42--52.

50. Ballester-Bolinches, A. On -critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1995. -- Vol. 174. -- P. 948--958.

51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1996. -- Vol. 179. -- P. 905--917.

52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. -- Springer, 2006. -- 385 p.

53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. -- 1972. -- Bd. 127, № 3. -- S. 217--233.

54. Carter, R.O. The -normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1967. -- Vol. 5, № 2. -- Р. 175--202.

55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1968. -- Vol. 9, № 3. -- P. 285--313.

56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. -- 1966. -- Vol. 91. -- P. 198--205.

57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. -- Berlin -- New York: Walter de Gruyter, 1992. -- 891 p.

58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. -- 1983. -- Vol. 80, № 2. -- P. 517--536.

59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. -- 1963. -- Vol. 80, № 4. -- P. 300--305.

60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. -- Dordrecht -- Boston -- London: Kluwer Academic Publishers, 2000. -- 257 p.

61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. -- 2007. -- Vol. 315. -- P. 31--41.

62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1928. -- Vol. 3. -- P. 98--105.

63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1937. -- Vol. 43. -- P. 316--323.

64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. -- 1970. -- Vol. 117. -- P. 177--182.

65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. -- 1954. -- Vol. 60. -- P. 409--434.

67. Kazarin, L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. -- 1986. -- Vol. 14, № 6. -- P. 1001--1066.

68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. -- 1961. -- Vol. 12, № 2. -- P. 90--93.

69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. -- 1978. -- Bd. 30, № 3. -- S. 225--228.

70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1903. -- Vol. 4. -- P. 398--404.

71. Semenchuk, V.N. Finite groups with permutable -subnormal and -accessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4--9. -- 2003. -- P. 153--154.

72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1968. -- Vol. 74. -- P. 383--437.

73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1939. -- Bd. 45. -- S. 209--244.

74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1958. -- Bd. 69, № 8. -- S. 463--465.

75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. -- 1958. -- Vol. 2, № 4B. -- P. 611--618.