Интегралы. Функции переменных

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    89,98 kb
  • Опубликовано:
    2010-10-29
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Интегралы. Функции переменных

Вариант 2

I. Вычислить интегралы


Преобразуем подынтегральное выражения с целью его непосредственного интегрирования:


Найдем А и В:


Отсюда видно что А и В являются решением системы:


Решим эту систему и найдем А и В:

Итак, A=3/5, B=7/5, зная эти коэффициенты, вычисляем интеграл.

 с помощью замены переменных


Введем  и возьмем соответствующий неопределенный интеграл:


Возвращаемся к x:


Теперь вычисляем определенный интеграл:

Итак,

3. методом интегрирования по частям


Итак,


II. Функции многих переменных

1. Найти частные производные 1-го порядка


2. Исследовать на экстремум функцию

Найдем частные производные


Найдем все стационарные точки функции, точки в которых должны выполняться условия: ,


Это равносильно следующему:

 

 


Вторая система не имеет вещественного корня

t= 0 t=1

y=1 y=-1

x=1

M0(0;0) и M1(1;1) – стационарные точки данной функции.

Теперь определим характер этих стационарных точек.

Найдем частные производные второго порядка этой функции.


В точке M0(0;0):


Так как <0, то экстремума в точке M0(0;0) нет.

В точке M1(1;1):


Так как >0,A>0,C>0 то точка M1(1;1) это точка экстремума,

Причем этот экстремум-минимум.

III. Решить дифференциальные уравнения.

1. Решить уравнение с разделяющимися переменными

Интегрируем правую и левую части уравнения:


После некоторых преобразований выражаем решение уравнения:


2. Решить линейное уравнение 1-го порядка


Ищем решение уравнения в виде произведения двух функций:

При этом:


После подстановки в исходное уравнение имеем:


Чтобы коэффициент при u обратился в 0, в качестве v выбираем функцию удовлетворяющую уравнению:


Найдем функцию u, которая должна удовлетворять уравнению:

:

Решение запишется в виде:

3

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение ищем в виде:

, где  - общее решение соответствующего однородного уравнения,  - частное решение.

Найдем

Решим однородное дифференциальное уравнение


Характеристическое уравнение для него:


Это квадратное уравнение

d=36-100=-64 – дискриминант отрицательный, корни комплексные:

k1=3-4i ; k2=3+4i

Общее решение, следовательно, имеет вид:

,

где  - константы.

Ищем частное решение. Функция свободного члена имеет вид:

, где a=2,b=3,k=1,p=-6,q=25

При этом , следовательно, частное решение ищем в виде:


Находим его производные первого и второго порядка и подставляем в уравнение:


Для нахождения коэффициентов А и В решим систему:

A=0,07, B=0,16

Таким образом, окончательное решение уравнения имеет вид:


IV. Ряды

1. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами

 

Рассмотрим ряд:


Это степенной ряд с основанием меньшим 1, а он заведомо сходится.

Теперь сравним члены ряда  с членами ряда

 при n>4 , значит ряд  также сходится.

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:


Исследуем на абсолютную сходимость (сходимость ряда, состоящего из модулей членов знакопеременного ряда) значит необходимый признак сходимости выполняется.

,

Сравним член этого ряда с членом заведомо расходящегося гармонического ряда:

, следовательно наш ряд расходится абсолютно.

Исследуем ряд на условную сходимость:

Так как условия признака Лейбница выполнены

 

данный ряд сходится условно.

3. Найти область сходимости функционального ряда

, перепишем его в виде:


Член данного ряда представляет собой член степенного ряда, помноженный на член гармонического ряда.

Для расходящегося гармонического ряда выполняется однако основной признак сходимости (его член стремится к нулю), так что сходимость функционального ряда  определяется сходимостью степенного ряда: , причем при любом x это будет знакопостоянный ряд.

Cтепенной же ряд сходится когда его член по модулю <1:


Решаем это модульное неравенство и находим область сходимости функционального ряда :


Похожие работы на - Интегралы. Функции переменных

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!