Исследование искажений сигналов на выходе фильтра нижних частот

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)»

Факультет ИБС

Кафедра ТОЭ

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине: Теоретические основы электротехники

На тему: ИССЛЕДОВАНИЕ ИСКАЖЕНИЙ СИГНАЛОВ НА ВЫХОДЕ ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ

Выполнил Соколов В.Н.

Проверил: Попов Е.Ф.

Санкт-Петербург 2015 г.

Оглавление

1. Техническое задание

. Нормировка

. Определение передаточной функции цепи

. Расчет частотных характеристик цепи

. Составление уравнений состояний цепи

. Определение переходной и импульсной характеристик

. Вычисление реакции при воздействии одиночного импульса

. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия

. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе цепи

. Определение спектра периодического входного сигнала

. Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии

Заключение

Список использованной литературы

1. Техническое задание

Целью курсовой работы является практическое освоение и сравнение различных методов расчета цепей, прогноза ожидаемых реакций и оценки полученных результатов.

Задание к курсовой работе:

Схема

Входной импульс

Параметры схемы

2. Нормировка

Проведем нормирование параметров и переменных цепи.

Базисные величины при нормировке: R_б = R_н = R₂ = R₁ = 2 кОм; w_б = 10⁶ c^-1

R^*₁ = R^*₂ = ^*₁ = ; L^*₂ = 0.5^*₁ = Cw_бR_б = 1

Для простоты записи знак нормировки “*” в дальнейшем опускаю

3. Определение передаточной функции цепи

Для расчета передаточной функции цепи воспользуемся методом пропорциональных величин:

Пусть I^’_Rн(S) = 1, тогда U^’_Rн(S) = 1

U^’_L2(S) = I^’_н(S)z_L2 =^’_C1(S) = U^’_L2(S) + U^’_н(S) = ^’_C1(S) =  ^’_L1(S) = I^’_C1(S) + I^’_Rн(S) = ^’_L1(S) = I^’_L1(S)z_L1 = ^’_R1(S) = U^’_L1(S) * U^’_C1(S) = ^’_R1(S) =

I^’₀ = I^’_R1(S) + I^’_L1(S) = (S) =  (3.1)

Рис. 2.2.а

Рис. 2.2.б

Проконтролируем функция Н(S). Из (3.1) следует, что Н(0) = 0,5;H(∞) = 0, что соответствует результатам, полученным по схемам замещения цепи при S=0 и при , приведенным на рис. 2.2,а,б соответственно

Практическая длительность переходного процесса:

4. Расчет частотных характеристик цепи

цепь сигнал импульс спектр

Амплитудно-фазовая характеристика получается из переходной характеристики при подстановке

Обобщенная частотная характеристика:

H(jw)= H(s)|_S=jw =

Амплитудно-частотная характеристика(АЧХ):

А(w)=|(H(jw)|=

Фазочастотная характеристика (ФЧХ):

Определим полосу пропускания по графику АЧХ на уровне 0,707 A_max (ω) ≈0,3535 . Частота среза ωср ≈ 2; полоса пропускания ∆ω_ПП ∈ [0;2], что соответствует фильтру нижних частот. Значение АЧХ на нулевой частоте, определяющее соотношение площадей под графиками входного и выходного сигналов, A(0) = 0,5. Так как A(∞) = 0, то график выходного сигнала должен быть непрерывным (без скачков).

Анализ рис. 2.1, б показывает, что ФЧХ в полосе пропускания близка к линейной. Следовательно, в случае попадания спектра воздействия в полосу пропускания цепи искажения формы сигнала не будут существенными.

Оценим время запаздывания по наклону графика ФЧХ в области низких частот: t_з = |∆Φ (ω)|/ ∆ω, где ∆Φ(ω) - приращение фазы, измеренное в радианах; ∆ω - приращение частоты в области низких частот. Для ФНЧ можно также использовать формулу t з = Φ′(0). Таким образом, t_з ≈ 1.

Графики АЧХ, ФЧХ, АФХ приведены на рис. 2.1, а, б, в соответственно

Рис.2.1.а

Рис.2.1.б

рис.2.1.в

5. Составление уравнений состояний цепи

Получим уравнения состояния цепи с помощью формальной процедуры, для чего заменим L-элементы на источники тока i(t)_L1 и i(t)_L2 , а C- элемент на источник напряжения u(t)_С1 .

Для получения уравнений состояния используем метод узловых напряжений:

Используем соотношения ;  получим уравнения состояния:

Уравнение состояния в матричной форме

Записываем характеристический полином

Корни ХП - частоты собственных колебаний цепи

6. Определение переходной и импульсной характеристик

Для получения переходной и импульсной характеристик воспользуемся операторным методом.

Получение переходной характеристики

График переходной характеристики приведен на рис. 2.2, а.

Рис.2.2.а

Получение импульсной характеристики:

Для этого возьмем производную от переходной характеристики.

h(t)=1e^-2t - 0.578cos(1.73t + 1.571)e^{- t} - 0.99994sin(1.73t+1.571)e^-t

График импульсной характеристики приведен на рис. 2.2, б.

Рис.2.2.б

Выполним численный расчет переходной характеристики, для чего получим численное решение уравнений состояния на основе алгоритма Эйлера:

Уравнение связи:

Реакция на нагрузке

Графики переходной характеристики, полученные на основе аналитического и численного расчета, приведены на рис 2.3

Рис.2.3

7. Вычисление реакции при воздействии одиночного импульса

Найдем изображение по Лапласу входного одиночного импульса, для чего с помощью метода двойного дифференцирования представим указанный импульс в виде

i₀(t) = 2I_0mδ₁(t) - 4I_0mδ₁(t - t_u/2) + 2I_0mδ₁(t - t_u)₀(S) =  (2.6)_н(S) = H(S)I₀(S) =  = I_н1(S) - I_н1(S)e^-Stu/2 + I_н1(S)e^-Stu

I_н1(S) = I_н1(t)δ₁(t) - I_н1(t - t_u/2) δ₁(t - t_u/2) + I_н1(t - t_u)δ₁(t - t_u)

Графики реакции (штриховая линия) и измененного в A(0) раз воздействия (сплошная линия) приведены на рис. 2.4.а ,б соответственно. Анализ рис. 2.4.а,б подтверждает правильность предположений, сделанных в п.4

Рис.2.4.а

Рис.2.4.б

8. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия

Определим спектральные характеристики одиночного импульса. С учетом (2.6) комплексный спектр импульсного воздействия:

I₀(jw) = I₀(S)|_S=jw =  (1 - 2e^-jwtu/2 + e^-jwtu) =  e^-jwtu/2(e^jwtu/2 - 2 + e^-jwtu/2) =  e^-jwtu/2sin²

Амплитудный спектр входного сигнала:

A(w) =  sin²

Фазовый спектр входного сигнала:

Ф(w) = -  +

Ширина спектра импульсного входного сигнала, определенная по 10%-му амплитудному критерию (см. рис. 2.5.1, а), ∆ω_СП ∈ [0;0,9]. Сравнение ширины спектра воздействия и полосы пропускания цепи показывает, что спектр входного сигнала укладывается в полосе пропускания, следовательно, оценки, сделанные в п. 4, справедливы, что подтверждается данными точного расчета, проведенного в п. 7

Рис.2.5.1.а

Рис.2.5.1.б

Рис.2.5.2.а

Рис.2.5.2.б

9. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе цепи

Выражение для амплитудного спектра реакции:

A₁(w) =  sin²

А(w) = ₂(w) = A₁(w)*A(w)

Фазовый спектр реакции:

Ф₁(w) = -  +

Ф₂(w) = 0 - arctg  - arctg(w - 1.73) - arctg(w + 1.73)

Ф₃(w) = Ф₁(w) + Ф₂(w)

Графики амплитудного и фазового спектров реакции на импульсное воздействие приведены на рис.2.6.1.а,б и рис.2.6.2,а,б соответственно

Рис.2.6.1.а

Рис.2.6.1.б

Рис.2.6.2.а

Рис.2.6.2.б

10. Определение спектра периодического входного сигнала

I₁(s) =  -  e^-Stu/2+ e^-Stu =  (1 - 2e^-Stu/2 + e^-Stu)

Å_k =  *  (1 - e^-jk2πtu/2tu + e^-jk2πtu/tu) = (1 - 2e^-jkπ + e^-jk2π) =  e^-jkπ sin²

Aмплитудный спектр входного периодического сигнала

A_k = | Å_k| =  sin²

Фазовый спектр входного периодического сигнала

Ф_k = arg Å_k = - kπ +

Запишем отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий входное периодическое воздействие при N = 9

Графики амплитудного и фазового дискретных спектров приведены на рис.2.7.1 и рис.2.7.1,а,б соответственно

Рис.2.7.1

Рис.2.7.1.а

Рис.2.7.1.б

11. Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии

Запишем выражения для амплитудного и фазового дискретных спектров реакции при периодическом воздействии:

A_k2 = A_k * A(w)

Ф_k2 = Ф_k + Ф(w)

_u = 62.8

Полученные значения отсчетов дискретных спектров приведены в таблице

Отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий реакцию, имеет вид:

Графики амплитудного и фазового дискретных спектров реакции на периодическое воздействие приведены на рис.2.8.1,а,б.

Рис.2.8.1.а

Рис.2.8.1.б

t_u = 12.56

Полученные значения отсчетов дискретных спектров приведены в таблице

Отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий реакцию, имеет вид:

Графики амплитудного и фазового дискретных спектров реакции на периодическое воздействие приведены на рис.2.8.2,а,б.

Рис.2.8.2.а

Рис.2.8.2.б

Анализ приведенного на рис. 2.8.1.б и 2.8.2.б графиков подтверждают правильность оценки времени запаздывания ( t_з ≈ 1), данной в п.4

Заключение

В результате выполнения курсовой работы было исследовано влияние фильтра нижних частот на входной сигнал. При использовании и сравнении различных методов расчета электрических цепей было установлено:

.Полоса пропускания заданного фильтра нижних частот составляет интервал от 0 до 2

. Значение АЧХ на нулевой частоте, определяющее соотношение площадей под графиками входного и выходного сигналов, A(0) = 0,5. Так как A(∞) = 0, то график выходного сигнала должен быть непрерывным (без скачков).

. ФЧХ в полосе пропускания близка к линейной. Следовательно, в случае попадания спектра воздействия в полосу пропускания цепи искажения формы сигнала не будут существенными.

.Сигнал на выходе имеет время запаздывания, равное 1 c.

Список использованной литературы

1.      Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. Основы теории электрических цепей: Учебник для вузов. - СПб.: Издательство «Лань», 2002. - 464 с.

.        Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. и др. Сборник задач и практикум по основам теории электрических цепей. - СПб.: Питер, 2005. - 304 с.:ил. - (Серия «Учебное пособие»).

.        Бычков Ю.А., Соловьева Е.Б., Чернышев Э.П. и др. Анализ электрических цепей. Учебное пособие к курсовой работе по теоретической электротехнике - СПб.: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2011. - 176 с.