Изучение показательной и логарифмической функции в школьном курсе математики
Содержание
Введение
1. Теоретические основы изучения показательной и
логарифмической функций в школьном курсе математики
1.1
Анализ учебников
.2
Основные понятия, связанные с понятиями показательной и логарифмической функций
в школьном курсе математики
.3
Анализ результатов ЕГЭ 2012-2013 гг.
.
Решение задач с использованием логарифмической и показательной функции в
школьном курсе математики
.1
Обзор задач и упражнений на решение показательной логарифмической функций в
школьном курсе математики
.2
Методика решения типовых задач, связанных с показательной и логарифмической
функциями, в школьном курсе математики
.3
Подбор задач на нахождение и использование показательной и логарифмической
функций в школьном курсе математики
Заключение
Список
использованных источников
Введение
Изучение различных преобразований выражений и
формул занимает значительную часть учебного времени в курсе школьной
математики. Простые преобразования, опирающиеся на свойства арифметических
операций, производятся уже в начальной школе и в IV-V классах. Но основная
нагрузка по формированию умений и навыков выполнения преобразований приходится
на школьный курс алгебры. Связано это как с быстрым увеличением числа и
разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их
доказательству и выяснению условий применимости, с выделением и изучением
понятий, преобразований. Данная исследовательская работа в области алгебры и
начала анализа на тему "Изучение показательной и логарифмической функции в
школьном курсе математики".
Большой вклад в разработку данной
темы внес математик и механик - Леонард Эйлер. Близкое к современному понимание
логарифмирования - как операции, обратной возведению в степень
<#"882814.files/image001.gif">,
где 
и
1,
называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции
:
:
1) 
=
2) 
) возрастает
) непрерывна;
при 0 < 
< 1:
) =
)
3) убывает;
) непрерывна.
График функции
,
где > 1 изображен
на рисунке 1.
Рисунок 1
График функции , где >
1
График функции ,
где 
изображен
на рисунке 2.
Рисунок 2
График функции , где
Кривую, изображенную на рисунке 1 или 2,
называют экспонентой. Впрочем, экспонентой называют и саму показательную
функцию .
Так что термин "экспонента" используется в двух смыслах: и для
наименования показательной функции, и для названия графика показательной
функции. Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной
функции :
ось х является горизонтальной асимптотой графика функции при
,
если 
и
при 
,
если 
.
Школьники часто путают термины: "степенная
функция" и "показательная функция". Сравните:
,
,
,
-
это примеры степенных функций.
- это примеры
показательных функций.
Вообще
математика показательный
логарифмический функция
,
где 
- конкретное
число, - степенная функция (аргумент х содержится в основании степени);
,
где - конкретное число
(положительное и отличное от 1), называется показательной функцией (аргумент х
содержится в показателе степени).
А такую "экзотическую" функцию, как 
,
не считают ни показательной, ни степенной (ее иногда называют
показательно-степенной).
Основные свойства показательной функции
. Если 
,
то равенство 
справедливо тогда
и только тогда, когда 
. Если 
,
то неравенство 
справедливо тогда
и только тогда, когда 
(рис. 3);
неравенство справедливо тогда
и только тогда, когда 
.
Рисунок 3
График функции
. Если 
,
то равенство справедливо тогда
и только тогда, когда 
. Если ,
то неравенство 
справедливо тогда
и только тогда, когда (рис. 4);
неравенство 
справедливо тогда
и только тогда, когда 
.
Рисунок 4
График функции
Показательными уравнениями называют уравнения
вида 
,
где -
положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к этому виду.
Основные свойства:
. Показательное уравнение (где
,
)
равносильно уравнению 
. Показательными неравенствами называют
неравенства вида 
, где а -
положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
. Если 
,
то показательное неравенство равносильно
неравенству того же смысла: 
Если 
,
то показательное неравенство
равносильно
неравенству противоположного смысла: f
Логарифмом положительного числа 
по
положительному и отличному от 1 основанию называют
показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число .
Свойства логарифма:
) 
) 
) 
)
Логарифм по основанию 
обычно
называют десятичным логарифмом и обозначают как 
.
Функция 
её
свойства и график.
График функции симметричен
графику функции относительно
прямой 
Рисунок 5
График функции 
Свойства функции 
,
) =
) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на (0; +
);
) не ограничена сверху, не
ограничена снизу;
) не имеет ни наибольшего, ни
наименьшего значений;
) непрерывна;
) 
) выпукла вверх.
На рисунке 6 схематически изображены
графики функций и в случае,
когда 
Рисунок 6 График
функции
Свойства функции ,
) 
) не является ни четной, ни
нечетной;
) убывает на (0; +);
) не ограничена сверху, не
ограничена снизу;
) не имеет ни наибольшего, ни
наименьшего значений;
) непрерывна;
)
) выпукла вниз.
Отметим, что ось 
является
вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда , и в
случае, когда 0 < <1.
Свойства логарифмов:
1) 
2) 
3) 
4) 
,
5) 
6) 
,
Все свойства формулируются и доказываются только
для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов.
Логарифмическими уравнениями называются уравнения вида
положительное
число, отличное от 1,и уравнения, сводящиеся к этому виду. Если 
,
то логарифмическое уравнение 
равносильно
уравнению 
Логарифмическими неравенствами называются
неравенства вида
где положительное
число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Если 
и
,
то: при логарифмическое
неравенство
равносильно
неравенству того же смысла: 
при логарифмическое
неравенство
равносильно
неравенству противоположного смысла: 
Перейдем к новому основанию логарифма. Если 
положительные
числа, причем 
.
Если 
положительные
и отличные от 1 числа, то справедливо
Если положительные
числа, причем 
то для любого
числа 
справедливо
Дифференцирование показательной и
логарифмической функций.
Число 
. Функция 
,
её свойства, график, дифференцирование.
Рассмотрим показательную функцию ,
где .
Для различных оснований получаем различные
графики, но можно заметить, что все они проходят через точку 
,
все они имеют горизонтальную асимптоту 
при
,
все они обращены выпуклостью вниз и, наконец, все они имеют касательные во всех
своих точках.
Проведем для примера касательную к графику
функции 
в
точке 
,
рассмотренную на рисунке 7.
Рисунок 7
Касательная к графику функции
Если сделать аккуратные построения и измерения,
то можно убедиться в том, что эта касательная образует с осью 
угол
35°. Теперь проведем касательную к графику функции 
тоже
в точке ,
которая изображена на рисунке 8.
Рисунок 8 Касательная
к графику функции
Здесь угол между касательной и осью х будет
больше 48°. А для показательной функции 
в
аналогичной ситуации получаем угол примерно 66,5°, изображенный на рисунке 9.
Рисунок 9
График функции
Итак, если основание а показательной функции постепенно
увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке и
осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. Логично предположить,
что существует основание , для которого
соответствующий угол равен 45°. Это основание должно быть заключено между
числами 2 и 3, поскольку для функции интересующий
нас угол равен 35°, что меньше, чем 45°, а для функции он
равен 48°, что уже немного больше, чем 45°. Доказано, что интересующее нас
основание действительно существует, его принято обозначать буквой .
Установлено, что число - иррациональное,
то есть представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь:
= 
...
;
на практике обычно полагают, что 
Графиком функции 
изображен
на рисунке 10. Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (график
показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к
графику в точке и осью абсцисс
равен 45
.
Рисунок 10
Касательная к графику функции
Свойства функции :
) 
) не является ни четной, ни нечетной;
) возрастает;
) не ограничена сверху, ограничена снизу;
) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значений;
) непрерывна;
) выпукла вниз.
В курсе математического анализа доказано, что
функция имеет
производную в любой точке 
, причем
Натуральные логарифмы. Функция 
,
её свойства, график, дифференцирование
Если основанием логарифма служит число ,
то говорят, что задан натуральный логарифм.
Мы знаем, что график логарифмической функции 
симметричен
графику показательной функции относительно прямой
.
Значит, и график функции симметричен
графику функции относительно
прямой ,
изображенный на рисунке 11. Это экспонента, отличающаяся от других экспонент
(графиков логарифмических функций с другими основаниями) тем, что угол между
касательной к графику в точке 
и осью абсцисс равен
45°.
Рисунок 11 
Симметрия графиков
Свойства функции 
:
) 
) не является ни четной, ни нечетной;
) возрастает на (
) не ограничена ни сверху, ни снизу;
) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значений;
) непрерывна;
) выпукла вверх;
) дифференцируема.
В курсе математического анализа доказано, что
для любого значения 
справедлива
формула дифференцирования
Формулы дифференцирования любой показательной и
любой логарифмической функции:
) (
)'
= 
;
) ()'
[1, с.
232-272].
1.3 Анализ результатов ЕГЭ 2012-2013 гг.
В 2012 году экзамен по математике сдавали 25133
(без учета выпускников прошлых лет). Не преодолели порог успешности 1168
человек, что составляет 4,6% от общей численности выпускников, это на 0,8%
больше чем в прошлом году в нашем крае, что объясняется тем, что в 2012 году
произошло увеличение с 4 до 5 минимального числа заданий, которые необходимо
верно выполнить для достижения порога успешности. Процент учащихся,
изображенный на рисунке 1, в крае не преодолевших порог успешности в 2012 г. на
2,9% меньше чем в среднем по Росси (7,5%). В 2012 году около половины школ края
(458 из 952) сдали ЕГЭ по математике без двоек.
Рисунок 1
Распределение неудовлетворительных оценок на ЕГЭ-2012 по математике в
территориях края
Самый большой прирост среднего балла в этом году
продемонстрировали выпускники Отрадненского района и заняли 4-е место, а еще в
2009 году этот район занимал последнее место в рейтинге территорий края.
Значительно вырос средний бал в Северском и
Успенском районах. И не смотря на то, что результаты этого года в данных
территориях все ещё ниже среднего по краю, для Северского и Успенского районов
налицо положительная динамика результатов работы. Это свидетельствует об
организованной системе мер по повышению качества обученности.
В тоже время, не смотря на то, что единая
технология подготовки к ЕГЭ департаментом образования и науки совместно с
ККИДППО распространялась на весь край, следует отметить территории, которые
подготовили своих учащихся к ЕГЭ не качественно.
Сигналом, что в территории есть проблемы с
подготовкой к ЕГЭ по математике были результаты краевых диагностических работ
(КДР). После детального анализа результатов КДР территориям оказывалась
методическая помощь по заказу территории. Однако результаты КДР в Выселковском,
Гулькевическом, и Кущевском районах не предвещали низких результатов на ЕГЭ,
они были средними или выше среднего по краю. Это свидетельствует либо о не
правильной организации проведения работ, либо о фальсификации их результатов.
В 2012 году на ЕГЭ по математике в нашем крае
было использовано 18 вариантов, в таблице 1 приведены средние значения процента
выполнения каждого задания по исследуемой теме.
Таблица 1
Средний
процент выполнения заданий
|
Номер
задания
|
В5
|
В7
|
|
Средний
процент выполнения заданий
|
84
|
58
|
|
Миним.
|
73
|
53
|
|
Максим.
|
91
|
63
|
Наилучшие результаты по выполнению заданий
первой части учащиеся нашего края показали при выполнении задания В5. Хуже
всего выпускники 2012 года справились с выполнением заданий В7, это можно
увидеть на рисунке 2. При выполнении заданий повышенного и высокого уровне
сложности выпускники 2012 года показали лучше результат по заданию С3 и хуже
справились с решением задания С5. На рисунке 3 приведен средний балл выполнения
заданий 2
ой
части.
Рисунок 2 Процент
выполнения заданий 1-й части ЕГЭ-2012 по математике
Рисунок 3
Средний балл выполнения заданий 2-й части ЕГЭ-2012 по математике
Все варианты КИМ включали задание на тождественное
преобразование выражений, содержащих степени и логарифмы (В7). В каждом
варианте ЕГЭ-2012 содержалось только одно задание непосредственно на
преобразование выражений. При выполнении этого задания учащимся необходимо было
применить основное тригонометрическое тождество с учетом знаков
тригонометрических функций по четвертям. Средний процент выполнения этого
задания оставил 58%. Следует отметить, что в 2011 году с таким же заданием в
среднем справилось 55% выпускников края.
При решении других заданий первой части
преобразований выражений не требовалось. Однако элементом решения задачи С3 и
С5 было преобразование логарифмических, показательных и степенных выражений. В
вариантах КИМ-2012 из всех видов уравнений, рассматриваемых в школьном курсе математики,
в первой части работы были представлены только логарифмические уравнения
(задания В5). Средний процент выполнения этих заданий составил 84,3%. При этом
задания "Найдите корень
уравнения 
наши выпускники
выполнили на 73%, задание "Найдите
корень уравнения 
на 91%. Идея
решения этих уравнений совершенно одинакова, разница лишь в проводимых
вычислениях [7, с. 1-26].
Теперь сравним результаты выполнения заданий В5,
В7, С3, С5, приведенные в таблицах 2 и 3.
Таблица 2 Результаты
выполнения учащимися заданий В5, В7 КИМов ЕГЭ за два года
Таблица 3
Результаты выполнения учащимися заданий С3, С5 КИМов ЕГЭ за два года
|
Год
|
Количество
баллов
|
С3
|
С5
|
|
2012
|
0
|
87
|
96
|
|
2013
|
|
85,7
|
92,6
|
|
2012
|
1
|
9
|
|
2013
|
|
8,2
|
2,9
|
|
2012
|
2
|
1
|
0
|
|
2013
|
|
0,7
|
1,6
|
|
2012
|
3
|
3
|
0
|
|
2013
|
|
5,4
|
0,9
|
|
2012
|
4
|
|
1
|
|
2013
|
|
|
2
|
Задачи второй части остаются по-прежнему очень
сложными для выпускников, о чем свидетельствуют статистические данные. При
подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике целесообразно познакомить их с
опубликованными вариантами работ, критериями оценивания заданий С3 и С5, а так
же вести исчерпывающий разбор типичных ошибок, выявлять их природу и происхождение,
так как без этого нельзя обеспечить эффективные средства исправления и
предупреждения ошибок в будущем.
2. Решение задач с использованием
логарифмической и показательной функции в школьном курсе математики
.1 Обзор задач и упражнений на решение
показательной логарифмической функций в школьном курсе математики
. Решите уравнения и неравенства:
) 
;
Ответ: 
[1,
с. 239].
) 
;
Ответ: 
[1,
с. 240].
3) 
Ответ: 
[1,
с.
243].
4) 
Ответ: 
[1,
с. 244].
. Решите уравнение
Ответ: 
[1,
с. 245].
. Решите систему уравнений
Ответ: 
[1,
с. 246].
. Решите неравенство
Ответ: 
[1,
с. 248].
. Вычислите:
а) 
;
Ответ: 
[1,
с. 250].
б) 
;
Ответ: 
[1,
с. 251].
в) 
Ответ: 
[1,
с. 251].
. Найдите наименьшее и наибольшее значения
функции на заданном промежутке:
а) 
Ответ: 
[1,
с. 254].
;
Ответ: 
[1,
с. 254].
. Постройте график функции
Ответ: смотрите рисунок 1 [1,
с. 256].
Рисунок 1- График функций
. Известно, что положительные числа 
связаны
соотношением 
. Выразить 
(
)
через логарифмы по основанию 
чисел 
Ответ:
[1, с. 259].
9. Решите уравнение
Ответ: 
[1,
с.
264].
. Решите уравнение 
Ответ: 
[1,
с. 265].
. Решите неравенство 
Ответ: 
[1,
с.
269].
Ответ: 
[1,
с. 272].
. Вычислить значение производной функции 
в
точке 
Ответ:
[1, с. 278].
. Исследовать на экстремум функцию
;
Ответ: 
[1,
с. 279].
2.2 Методика решения типовых задач, связанных с
показательной и логарифмической функциями, в школьном курсе математики
1. Решите
уравнение
.
Решение. Построив в одной системе координат
графики функций 
, замечаем, что они
имеют одну общую точку 
Значит, уравнение имеет
единственный корень [1, с. 256].
2. Решите
уравнение
[10, с. 1].
Решение. Здесь есть возможность и левую и правую
части уравнения представить в виде степени с основанием 
.
В самом деле:
1) 
) 
) 
4) 
Таким образом, заданное уравнение мы
преобразовали к виду
Далее получаем:
3. Решите
неравенство
[10, с. 4].
Решение. Заданное неравенство равносильно
неравенству противоположного смысла
Найдем корни квадратного трехчлена
:
, 
Значит, неравенство 
4. Вычислить
[1,
с.
260].
Решение. Пусть 
Тогда,
по определению логарифма, 
. Решая это
показательное уравнение, последовательно находим:
5. Найдите
наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке
[10, с. 5].
Решение. Функция 
непрерывная
и убывающая, поскольку основание этой логарифмической функции, т.е. число 
,
меньше 
Следовательно,
своих наибольшего и наименьшего значений функция достигает на концах заданного
отрезка 
6. Вычислите
[10,
с.
6].
Решение. Поработаем с показателем степени:
Теперь заданное числовое выражение мы можем
записать в виде 
.
Далее находим:
.
Остается вспомнить, что 
Значит,
7. Решить
систему уравнений
Решение. Преобразуем первое уравнение системы к
более простому виду:
Преобразуем второе уравнение системы к более
простому виду:
Решим полученную систему уравнений
Подставив 
вместо
во
второе уравнение системы, получим:
Из соотношения 
находим
соотношение:
Осталось сделать проверку найденных пар 
с
помощью условий, которые задают область допустимых значений переменных 
эти
условия мы находим, анализируя исходную систему уравнений. Пара (
удовлетворяет условиям, а пара 
не удовлетворяет.
Ответ: (
8. Решите
систему неравенств
.
Решение.
Неравенство 
запишем
в виде
(
Относительно 
неравенство
имеет вид: 
, откуда получаем:
(
,
Значит,
, 
Второе неравенство системы определено при
то есть при 
и
При
допустимых значениях значений переменной получаем:
, 
.
С учетом области допустимых значений переменной
получаем решение второго неравенства системы:
Сравним 
и
.
Так как 
,
то
,
следовательно,
.
Ответ: 
[11,
с.1].
2.3 Подбор задач на нахождение и использование
показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики
. Решите неравенства:
а) 
[10,
с. 6]
б) 
[10,
с. 3].
. Решите уравнения:
а) 
[9,
с. 5].
б) 
найдите все корни этого уравнения, принадлежащие
отрезку 
[10,
с. 2].
. Найдите корни уравнений:
а) 
[10,
с. 8].
б) 
[10,
с.
7].
. Решите системы неравенств:
а) 
б) 
.
) 
[9,
с. 1].
Подведем некоторые итоги. Можно выделить три
основных метода решения примеров и задач:
1) Функционально-графический
метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо
свойств функций.
2) Метод
уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение 
равносильно
уравнению 
, где -
положительное число, отличное от 1.
3) Метод
введения новой переменной.
Заключение
В данной курсовой работе по теме
"Логарифмическая и показательная функции" было рассмотрено введение
данного материала в школьный курс алгебры и начала анализа. Логарифмическая и
показательная функции часто используются для решения различных задач. В ЕГЭ на
исследуемую тему отведено четыре задания, два из которых из первой части и два
из второй. Задания бывают смешанного типа, где знание показательной и
логарифмической функции поможет решить их. Показательная функция является
математической моделью для большого класса процессов в области физики и
экономики. Поэтому изучение данной темы играет важную роль в школьном курсе
математики для школьников.
Следует отметить, что была изучена научно методическая
литература таких авторов, как Колмогорова А.Н. и Мордковича А.Г.,
способствующая усвоению материала темы "Логарифмическая и показательная
функции". Приведены примеры смешанного типа. Подробно разобраны типовые
задачи по теме материала и выделены три основных метода решения:
) функционально-графический метод;
) метод уравнения показателей;
) метод введения новой переменной.
В процессе исследования:
- Проведен
сравнительный анализ теоретических основ изучения показательной и
логарифмической функций в школьном курсе математики;
- Проанализирован
результаты ЕГЭ 2012-2013 гг. по данной теме;
- Приведены примеры и
задачи, способствующие изучению материала темы " Логарифмическая и
показательная функции".
Подведя итоги можно сказать,
что поставленные задачи решены, цель исследования достигнута.
Список использованных источников
1.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа: учебник для учащихся
1011
классов. - 10-е изд. - М., 2009. С. 232273.
.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. Алгебра и начала математического
анализа: учебник для 1011 классов. 17-е
изд. 
М.,
2008. С.
201-261.
.
Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа: учебник для учащихся 1011
классов. - 2-е изд. - М., 1992. С. 185
303.
.
Образовательный сайт SLOWO.ws,
2006-2013.
URL:
http://slovo.ws/urok/algebra/10/014/001.html
(16.03.2014).
.
Образовательный сайт NASHOL.COM,
2007-2014.
URL:http://nashol.com/2012061365602/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-kolmogorov-a-n-abramov-u-p-2008.html
(17.03.2014).
.
Образовательный сайт NASHOL.COM,
2007-2014.
URL:http://nashol.com/20100414357/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klassi-uchebnik-mordkovich-a-g-2001.html
(17.03.2014).
Краснодарский
краевой институт дополнительного профессионального педагогического образования,
2007-2014.
URL:
http://kkidppo.ru/metodicheskiy-analiz-ege-2012 (02.04.14).
8.
Краснодарский краевой институт дополнительного профессионального
педагогического образования, 2007-2014.
URL:http://kkidppo.ru/metodicheskiy-analiz-ege-2013
(02.04.14).
.
Образовательный сайт YOUR
TUTOR репетитор
математики и физики / статья Селиверстова Сергея Валерьевича, 2011-2013.
URL:
http://yourtutor.info/решение-систем-неравенств-репетитор
10.
Федеральный институт педагогических измерений / Открытый банк заданий ЕГЭ /
Математика, 2004-2014.
URL:
http://www.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/afrms.php?proj= (31.03.14).
11.
Федеральный институт педагогических измерений, 2004-2014.
URL:
http://www.fipi.ru/view/sections/92/docs/
(31.03.14).
.
Столяр А.А. Методы обучения математике: пособие для учителей средней школы,
1966.
.
Стефанова Н.Л., Подходова Н.С. Методика и технология обучения математике. Курс
лекции: пособие для вузов. - М., 2005.