Показательная функция: свойства и график
Введение
показательный
гиперболический график
В данной курсовой работе будет рассмотрена
показательная функция.
Первая часть данной работы будет рассматриваться
понятие показательной функции и ее графики.
Во второй части рассматривается свойства
показательной функции.
В третей части - решение примеров и задач
показательной функции.
Изучение темы «Показательная функция», является
важнейшим этапов в изучении всех видов функций.
Понятие
показательной функции
Определение 1.1. Показательной функцией называется
функция вида , где основание а-
положительная константа.
Рис.
Рис.
В природе и жизни человека встречается большое
количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что их
отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от
времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы
на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией.
Пусть -
последовательность рациональных чисел, сходящихся к x . Определим число как
предел
Показательной функцией с основанием a называется
функция, принимающая значения ,
Рис.
Данный предел не зависит от выбора
последовательности , приводящей к
числу x . Областью определения показательной функции является вся числовая ось.
Эта функция непрерывна, монотонно возрастает при a > 1 и
монотонно убывает при a < 1 Функция никогда не
обращается в нуль, но имеет горизонтальную асимптоту y = 0.
Рис.
Особое значение в приложениях имеет
показательная функция, в качестве основания которой используют число e ,
определяемое как
Численно оно равно e = 2,71828182845904523536...
Определенная так функция называется
экспоненциальной или просто экспонентой и обозначается
Показательная функция, экспоненциальная функция,
важная элементарная функция
(z) = ez,
обозначается иногда expz; встречается в
многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого
значения z (действительного или комплексного) Показательная функция
определяется соотношением
;
Очевидно, что =
1; при n = 1 значение Показательная функция равно е - основанию натуральных
логарифмов. Показательная функция обладает следующими основными свойствами:
и
при любых значениях z1 и z2, кроме того, на
действительной оси (рис.) Показательная функция ex > 0 и при n ® ¥
возрастает быстрее любой степени х, а при х ® - ¥
убывает быстрее любой степени 1/x:
,
каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной
по отношению к Показательная функция, является логарифмическая функция: если w
=,
то z = lnw.
Рассматривается также Показательная функция при
основаниях а > 0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для
действительных значений z = х рассматриваются Показательная функция 2x, (1/2) x
и т.д.]. Показательная функция az связана с Показательная функция (основной)
соотношением
=
Показательная функция является
целой трансцендентной функцией. Она допускает следующее разложение в степенной
ряд:
, (1)
сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1)
также может служить определением Показательная функция
Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748)
формулу:
= =(cosy
+ isiny), (2)
связывающую Показательную функцию с
тригонометрическими функциями. Из неё вытекают соотношения:
, .
Функции
=ch y, - i
= sh y
называются гиперболическими функциями, обладают
рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют
наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.
Из соотношения (2) следует, что Показательная
функция (комплексного переменного z) имеет период 2pi, то есть или
=
1. Производная Показательная функция равна самой функции: ()"
=
. Свойства показательной функции
Рис.
Таблица
Свойства
показательной функции
|
y
= ,
a > 1
|
y
= ,
0< a < 1
|
1.Область
определения функции
|
|
2.Область
значений функции
|
|
3.Промежутки
сравнения с единицей
|
при
x > 0, > 1
|
при
x > 0, 0< < 1
|
|
при
x < 0, 0< < 1
|
при
x < 0, > 1
|
4.Чётность,
нечётность.
|
Функция
не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
|
5.Монотонность.
|
монотонно
возрастает на R
|
монотонно
убывает на R
|
6.Экстремумы.
|
Показательная
функция экстремумов не имеет.
|
Ось
Ox является горизонтальной асимптотой.
|
8.
При любых действительных значениях x и y;
|
|
. Примеры:
Пример № 1. (Для нахождения области определения
функции). Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:
Пример № 2. (Для нахождения области значений
функции). На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и
область значений функции:
Рис.
Пример № 3. (Для указания промежутков сравнения
с единицей). Каждую из следующих степеней сравните с единицей:
Пример № 4. (Для исследования функции на
монотонность). Сравнить по величине действительные числа m и n если:
Пример № 5. (Для исследования функции на
монотонность). Сделайте заключение относительно основания a, если:
В одной координатной плоскости построены графики
функций:
y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x
Как располагаются графики показательных функций
относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?
Рис.
Рис.
Таблица. Вывод:
при
x < 0
|
чем
больше значение основания степени, тем ближе к оси Ox располагается график
показательной функции;
|
при
x = 0
|
графики
показательных функций пересекаются в одной точке (0;1);
|
при
x > 0
|
чем
больше значение основания степени, тем дальше от осиOx располагается график
показательной функции.
|
Таблица. Вывод:
при
x < 0
|
чем
меньше значение основания степени, тем дальше от оси Ox располагается график
показательной функции;
|
при
x = 0
|
графики
показательных функций пересекаются в одной точке (0;1);
|
при
x > 0
|
чем
меньше значение основания степени, тем ближе к осиOx располагается график
показательной функции.
|
В одной координатной плоскости построены графики
функций:
(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8)x.
Как располагаются графики показательных функций
относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?
Заключение
В данной курсовой работе по теме «Показательная
функция» мною были рассмотрены ее понятие, основные свойства и графики.
Тема показательной функции, в общем, является
одной из часто используемых в вычислениях и решении различных задач.
В работе были приведены примеры и задания,
разные по сложности и по содержанию.
Курсовая работа, по моему мнению, выполнена в
рамках методики преподавания математики и может быть использована как наглядное
пособие для студентов дневного и заочного отделений.
Список литературы
.Колмогоров
А.Н. «Алгебра и начала анализа» учебник для 10-11 кл. общеобр. учреждений.М.:
Просвещение, 2001.
.К.О.
Ананченко Г.Н. Петровский, «Алгебра и начала анализа», Мн., «Народная асвета»,
1997 г.
.Алимов
Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В, «Алгебра и начала анализа», учебник для 10-11
классов общеобразовательных, Просвещение 2003г.
.Н.Я.
Виленкин «Алгебра и математический анализ для 11 класса», М., «Просвещение»,
1990 г.