Прогнозирование в регрессионных моделях
Прогнозирование
в регрессионных моделях
Содержание
Введение
Глава
1.
Сущность прогнозирования
.1 Понятие
прогнозирования и его особенности
1.2 Точечное
и интервальное прогнозирование
.3 Условное
и безусловное прогнозирование
1.4
Прогнозирование
при наличии авторегрессии ошибок
Глава
2.Пример
построения прогноза по эконометрической модели
.1
Точечное и интервальное прогнозирование, основанное на модели линейной
регрессии
Заключение
Библиографический
список
Введение
Процесс прогнозирования достаточно актуален в
настоящее время. Широка сфера его применения. Прогнозирование широко
используется в экономике. Прогнозирование позволяют управлять массовыми
экономическими явлениями и процессами и предвидеть их развитие.
В современном быстро меняющемся мире, когда
рыночная конкуренция становится все более жесткой, основной проблемой для
предприятий является проблема выживания и обеспечения развития. В наши дни ни
одно предприятие не может обойтись без прогнозирования и планирования своей
дальнейшей деятельности. В условиях ожесточенной конкурентной борьбы, особенно
на мировом рынке, уже недостаточно только поддержания высокого качества
реализуемой продукции. Необходимы тщательный учет специфики требований
потребителей в различных странах, анализ деятельности основных
фирм-конкурентов, широкая рекламная компания, выбор оптимальных форм и методов
сбыта, т.е. деятельность предприятия необходимо планировать и прогнозировать.
Современные условия рыночного хозяйствования
предъявляют к методам прогнозирования очень высокие требования, в
виду
все возрастающей важности правильного прогноза для судьбы предприятия, да и
экономики страны в целом.
Прогнозирование следует рассматривать как
важнейшую функцию управления любой экономической системой, в том числе экономикой
рыночного типа, поскольку формирование рыночных отношений связано с
предпринимательской деятельностью, стратегического менеджмента и систем
прогнозирования.
Прогнозирование является важным связующим звеном
между теорией и практикой во всех областях жизни общества.
Обычно термин «прогнозирование» используется в
тех ситуациях, когда требуется предсказать состояние системы в будущем. Для
регрессионных моделей он имеет более широкое значение. Данные могут не иметь
временной структуры, но и в этих случаях вполне может возникнуть задача оценить
значение зависимой переменной для некоторого набора независимых, объясняющих
переменных, которых нет в исходных наблюдениях. Именно в этом смысле - как
построение оценки зависимой переменной - и следует понимать прогнозирование в
эконометрике.
Общественные явления находятся не только во
взаимной связи, но и в непрерывном движении, изменении, развитии - именно это
обусловливает необходимость прогнозирования.
Предметом прогнозирования в сфере является
система, воспроизводящая объект исследования так, что на ее основе могут быть
изучены структура и размещение социально-экономических явлений, их изменения во
времени, связи зависимости.
Объектом прогнозирования является модель,
интересующая исследователя.
Целью курсовой является выявление перспектив
ближайшего будущего в области потребления домохозяйством в зависимости от
располагаемого дохода и установление основных тенденций развития.
Для достижения поставленной цели представляется
необходимым в рамках данной работы решение следующих задач:
. Определить понятие «прогнозирование» и
исследовать его особенности.
. Рассмотреть точечное и интервальное,
условное и безусловное прогнозирование.
. Проанализировать прогнозирование при
наличии авторегрессии ошибок.
. Провести точечное и интервальное
прогнозирование, основанное на модели линейной регрессии.
Глава 1. Сущность прогнозирования
1.1 Понятие
прогнозирования и его особенности
Прогнозирование - это вид познавательной
деятельности человека, направленной на формирование прогнозов развития
объектов, на основе анализа тенденций и закономерностей его развития.
Прогнозирование - это научное, основанное
на системе установленных причинно-следственных связей и закономерностей,
выявление состояния и вероятностных путей развития явлений и процессов.
Оно предопределяет оценку показателей и дает
характеристику явлений и процессов в будущем. Прогнозирование распространяется
на такие процессы управления, которые в момент выработки прогнозов можно
определить в весьма малом диапазоне, либо совсем невозможно, либо возможно, но
требует учета действия таких факторов, влияние которых не может быть полностью
или однозначно определено.[5]
Прогнозирование определяет реальность и
благоприятность для хозяйственной структуры поставленных перед ней целей.
Разумеется, что некоторые приемы и средства прогнозирования применяются и в
процессе определения целей, особенно долгосрочных, но при выборе целей и
определении степени их достижения главную роль играют субъективные факторы, в
то время когда прогноз опирается на объективные процессы и явления.
Прогноз носит вероятностный
характер, но обладает определенной достоверностью. Прогноз на практике - это
предплановый документ, фиксирующий вероятную степень достижения поставленной
цели в зависимости от масштаба и способа будущих действий
Задачи прогнозирования связаны
с тем, что прогноз, помимо анализа возможностей, является основой для
разработки стратегии, планирования и управления предприятием.
Прогноз должен определять:
основные технические и
организационно-экономические проблемы и сроки их решения;
материалы, технологические
процессы и оборудование, предназначенные для изготовления новой перспективной и
традиционной продукции;
ожидаемые объемы производства
продукции у конкурентов и потребность в ней на рынках;
ожидаемую себестоимость
разработки и производства этой продукции;
- мощность предприятия, необходимую для
разработки и изготовления новой продукции;
- потребность в трудовых
ресурсах с учетом изменения их структуры, квалификации и ожидаемого роста производительности
труда. Прогноз должен включать:
краткий анализ развития
прогнозируемого направления производства и характеристику его современного
состояния;
выявление перспективных
технических и экономических проблем, уже решенных, но не получивших практического
применения;
оценку важности проводящихся
исследований, требующих внимания и затрат для решения будущих проблем.[4]
Прогнозы можно подразделять в зависимости от
целей, задач, объектов, времени упреждения, методов организации
прогнозирования, источников информации и т. д. Большое количество таких
признаков и отсутствие их строго определенных характеристик затрудняют создание
единой классификации. [1]
Выбор методов прогнозирования осуществляется в
соответствии с характером объекта, требований, предъявляемых к информационному
обеспечению, а также на основе сравнения эффективности и оптимальности решения
аналогичных задач. Отличительной чертой социально-экономических явлений и
процессов является инерционность, проявляющаяся, с одной стороны в сохранении взаимосвязей
прогнозируемого явления с другими явлениями , а с другой - в сохранении
тенденции во времени.[5]
Проблема прогнозирования имеет много различных
аспектов. Можно различать точечное и интервальное прогнозирование. В первом
случае оценка - это конкретное число, во втором -интервал, в котором истинное
значение переменной находится с заданным уровнем доверия. Выделяют также
безусловное и условное прогнозирование в зависимости от того, известны ли
интересующие нас объясняющие переменные точно или приближенно. Кроме того, для
временных рядов при нахождении прогноза существенно наличие или отсутствие
корреляции по времени между ошибками.
1.2Точечное
и интервальное прогнозирование
В прогнозных расчетах по уравнению
регрессии определяется предсказываемое (уp) значение
как точечный прогноз при хp=хk, т. е.
путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения х. Однако
точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной
ошибки , т. е. и
соответственно интервальной оценкой прогнозного значения (у*)
-<у*< + (1.1)
Чтобы понять, как строится формула
для определения величин стандартной ошибки , обратимся к уравнению линейной
регрессии:
(1.2)
Подставим в это уравнение выражение
параметра b1:
b1= -b0
тогда уравнение регрессии примет
вид:
= -b0+b0 x=+b0(x-) (1.3)
Отсюда вытекает, что стандартная
ошибка зависит от
ошибки и ошибки
коэффициента регрессии b0, т. е.
2 = (1.4)
Из теории выборки известно, что . Используя
в качестве оценки σ2 остаточную
дисперсию на одну степень свободы S2, получим формулу расчета ошибки
среднего значения переменной у:
(1.5)
Ошибка коэффициента регрессии, как
уже было показано, определяется формулой
∑ (1.6)
Считая, что прогнозное значение фактора хp=хk,
получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии
регрессии значения, т. е.
∑
=
(1.7)
Соответственно имеет
выражение:
(1.8)
Рассмотренная формула стандартной ошибки
предсказываемого среднего значения у при заданном значении хk
характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки как
видно из формулы, достигает минимума при хк =,
и возрастает по мере того, как «удаляется» от в
любом направлении. Иными словами, чем больше разность между хк и х,
тем больше ошибка с которой
предсказывается среднее значение у для заданного значения хk.
Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак- фактор х находится в
центре области наблюдений х и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при
удалении хк от . Если же значение
хк оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при
построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости
от того, насколько хк отклоняется от области наблюдаемых значений
фактора х.
Фактические значения у варьируют
около среднего значения Индивидуальные
значения у могут отклоняться от на величину случайной ошибки ε , дисперсия
которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы S2.
Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения у должна включать не
только стандартную ошибку , но и
случайную ошибку S.
Рис. 1 Доверительный интервал линии
регрессии: а - верхняя доверительная граница; б - линия регрессии; в -
доверительный интервал для при хк; г - нижняя
доверительная граница
Средняя ошибка прогнозируемого
индивидуального значения у составит:
(1.9)
При прогнозировании на основе
уравнения регрессии следует помнить, что величина прогноза зависит не только от
стандартной ошибки индивидуального значения у, но и от точности прогноза
значения фактора х. Его величина может задаваться на основе анализа других
моделей исходя из конкретной ситуации, а также из анализа динамики данного
фактора. Рассмотренная формула средней ошибки индивидуального значения признака
у() может быть
использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения
исходя из регрессионной модели.[6]
1.3 Условное и безусловное
прогнозирование
Безусловное прогнозирование
Термин безусловное прогнозирование
означает, что вектор независимых переменных xn+i известен точно.
Пусть есть еще один набор xn+1
= (хn+1,1,..., xn+1,k)' объясняющих переменных и
известно, что соответствующая зависимая переменная удовлетворяет модели у=Хβ+ε , т.е.
Уn+1 = х'n+1β+εn+1 (2.0)
где , Eεn+1= 0, V(εn+1) = σ2 , и
случайная величина εn+1 не
коррелирована с ε . Требуется
по (у,Х,xn+1) оценить yn+1. Подчеркнем, что в данном
случае надо построить оценку не параметра, а случайной величины.
Предположим, что мы знаем значения
параметров β и σ2 . Тогда
естественно в качестве оценки ŷ n+1= ŷ величины
yn+1 взять Е (yn+1) = x'n+1β.
Среднеквадратичная ошибка такого прогноза есть E(yn+1 -ŷ)2
= Е(ε2n+1) = σ2.
Пусть параметры β и σ2 неизвестны,
что, как правило, и бывает на практике. Обозначим и s2
их МНК-оценки на основании модели у=Хβ+ε: = (Х'Х)-1Х'у,
s2 = е'е/(n - к). Возьмем в качестве оценки уn+1 величину
ŷ =x'n+1 β (2.1)
Нетрудно проверить, что поскольку Е = β, то Е ŷ
= Еуn+1, т.е.
оценка ŷ является несмещенной. Оказывается, в классе линейных (по
у) несмещенных оценок она обладает наименьшей среднеквадратичной ошибкой.[3]
Нетрудно проверить, что
среднеквадратичная ошибка прогноза есть
Е(ŷ -уn+1)2
= σ2(1+ x'n+1 (Х'X)-lxn+1). (2.2)
Заменим σ2 на ее
оценку s2 и обозначим
Получаем, что если ошибки (ε,εn+1) имеют
совместное нормальное распределение, то случайная величина (ŷ -yn+1)/δ имеет
распределение Стьюдента с n- к степенями свободы. Поэтому доверительным
интервалом для yn+1 с уровнем
доверия α будет
интервал (ŷ - δ tα, ŷ
- δ tα) где tα -
двусторонняя α -квантиль
распределения Стьюдента с n - к степенями свободы.
Можно показать, что в случае парной
регрессии, т. е. когда система у=Хβ+ε имеет вид
yt = β1 +β2xt + εt t= 1,. . .,n,
формула (2.2) выглядит так:
(2.3)
где x=1/n ∑xt . Из (2.3)
следует, что среднеквадратичная ошибка
прогноза минимальна при xn+1= , и чем
дальше xn+1 от , тем шире
соответствующий доверительный интервал (см. рис. 2).
Рис. 2 доверительный интервал
Условное прогнозирование
В предыдущих рассуждениях мы
предполагали, что независимая переменная xn+1 известна
точно. Однако на практике встречаются ситуации, когда в xn+1 содержатся
ошибки. Так, при прогнозировании временных рядов часто приходится
прогнозировать значения независимых переменных, что неизбежно приводит к
отклонениям от истинных значений. Поэтому рассмотрим задачу условного
прогнозирования. Пусть выполнены соотношения у=Хβ+ε и (2.0), но
вектор xn+1 наблюдается
с ошибкой
z = xn+1+ u, (2.4)
где u - k х 1
случайный вектор, не зависящий от (ε,εn+1).
Прогноз (2.1) заменяется теперь на
ŷ = z' . (2.5)
Пусть е = ŷ- yn+1 - ошибка
прогнозирования. Тогда
Ее = Е(z' ) - x'n+1 β =
Е[(xn+1 + u)'] - x'n+1 β
= Е(x'n+1 ) + Е(u' )- x'n+1 β = 0,