Построение и анализ модели множественной регрессии

Построение и анализ модели множественной регрессии

Построение и анализ модели множественной регрессии

По исходным данным требуется:

. Построить классическую линейную модель множественной регрессии, выполнить экономический анализ основных показателей модели: коэффициентов "чистой" регрессии, индекса корреляции, индекса детерминации, оценить значимость модели в целом (F-критерий Фишера) и отдельных ее параметров (t-статистика Стьюдента).

. Проанализировать матрицу парных коэффициентов корреляции на наличие мультиколлинеарности. Если мультиколлинеарность присутствует - устранить (или ослабить) ее методом пошагового отбора переменных.

. Построить линейную модель регрессии только со значимыми факторами (на основании выводов, сделанных в п.п. 1 и 2). Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели. Оценить качество построенной модели (индексы корреляции и детерминации, F-критерий Фишера, средняя относительная ошибка аппроксимации). Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и Δ- коэффициентов.

. Построить и проанализировать линейную модель парной регрессии с наиболее значимым фактором. Сравнить качество моделей, построенных в п.п. 3 и 4.

. Осуществить прогнозирование (точечный прогноз и доверительный интервал прогноза) среднего значения показателя Y при уровне значимости a = 0,1 при условии, что прогнозное значения фактора X составит 80% от его максимального значения (для однофакторной модели).

. Представить графически: фактические и модельные значения, точечный прогноз и доверительный интервал прогноза (для однофакторной модели).

Изучите зависимость стоимости квартиры от ряда основных факторов.

Таблица 1 - Исходные данные

регрессия корреляция интервал прогноз

Решение

Линейная модель множественной регрессии имеет вид:

,

где - расчётные значения исследуемой переменной,

 - факторные переменные.

- коэффициенты уравнения, каждый из которых показывает, насколько изменится значение исследуемого признака при изменении соответствующего фактора на 1 при неизменных прочих факторных переменных.

Рассмотрим факторные признаки для построения регрессионной модели.

Цена квартиры - это зависимая переменная Y;

Независимые объясняющие переменные:

-       общая площадь квартиры Х1;

-       жилая площадь квартиры Х2;

-       тип дома Х3;

-       наличие балкона Х4

. Построим классическую модель множественной регрессии

Классическая линейная модель множественной регрессии можно представить в виде:

Проведем регрессивный анализ, используя инструмент Excel "Регрессия" (Сервис - Анализ данных - Регрессия).

Таблица 2 - Протокол выполнения регрессивного анализа многофакторной модели

Из анализа получаем коэффициенты уравнения.

Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от независимых объясняющих переменных принимает вид:

y = -1,4274 + 0,3541 x1 + 0,0743 x2 + 8,1470 x3 + 1,6286 x4

Оценим качество модели.

Определим коэффициент детерминации.

R2 =

Коэффициент детерминации показывает, что около 98% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Коэффициент множественной корреляции R = 0,9899

Он показывает высокую тесноту связи зависимой переменной Y с двумя включенными в модель объясняющими факторами.

Оценим значимость модели в целом на основе вычисления F-критерия Фишера.

По данным дисперсионного анализа F = 305,5792

Табличное значение F-критерия со степенями свободы

υ 1= k и υ2 = (n - k - 1),

где n = 30 (количество наблюдений), k = 4 (количество факторов, включенных в модель) найдем при помощи функции FРАСПОБР()табл = 2,7587

Поскольку F > Fтабл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

С помощью t-статистики Стьюдента оценим статистическую значимость отдельных параметров.

По данным дисперсионного анализа:= -1,2994, tb1 = 5,3387, tb2 = 0,8207, tb3 = 12,8010, tb4 = 2,0759

Табличное значение t-статистики Стьюдента найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР()табл = 2,0595

Среди всех коэффициентов значимыми (tb > tтабл) являются коэффициенты b1, b3 и b4.

По такой модели прогноз сделать не представляется возможным, поскольку большинство коэффициентов регрессии при переменных не значимы.

. Проведем корреляционный анализ для исключения незначимых факторов и устранения мультиколлинеарности.

Используем инструмент Excel "Корреляция" (Сервис - Анализ данных - Корреляция).

Таблица 3 - Матрица коэффициентов парной корреляции

Анализ матрицы показывает, что цена квартиры имеет тесную связь с индексами:- общая площадь квартиры (0,9066)- жилая площадь квартиры (0,8438)

Факторы х1 и х2 тесно связаны между собой (0,9725 > 0,8438), т. е. наблюдается мультиколлинеарность, поэтому оставляем в модели фактор х1.

После исключения незначимых факторов n = 30, k = 1

. Построим линейную модель регрессии только со значимыми факторами.

Таблица 3 - Протокол выполнения регрессионного анализа только со значимыми факторами

Из анализа получаем коэффициенты уравнения регрессии а0, а1.

Уравнение регрессии зависимости цены квартиры только от общей площади квартиры принимает вид:

= 2,9342 + 0,4123x1

Это означает, что величина стоимости квартиры в среднем по совокупности возрастала на 412,3 долларов при увеличении общей площади квартиры на 1 м².

Оценим качество построенной модели, определив коэффициент детерминации.

= 1 -

Коэффициент детерминации показывает, что около 82,2% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием наиболее значимого фактора.

Коэффициент множественной корреляции R = 0,9066

Он показывает высокую тесноту связи зависимой переменной у с объясняющим фактором.

Оценим значимость модели в целом на основе вычисления F-критерия Фишера.

По данным дисперсионного анализа F = 129,2684

Табличное значение F-критерия со степенями свободы

υ1= k и υ2 = (n - k - 1),

где n = 30 (количество наблюдений), k = 1 (количество факторов, включенных в модель) найдем при помощи функции FРАСПОБР()табл = 4,19597

Поскольку F > Fтабл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Еотн.ср.  14,85

Поскольку Eотн.ср. меньше 15%, следовательно точность считается удовлетворительной.

. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y при условии, что прогнозное значения фактора X составит 80% от его максимального значения.

Точечный прогноз вычисляем путём подстановки в уравнение прогнозного значения факторной переменной:

Для однофакторной модели максимальное значение

Х = 137,7 × 80% = 110,16

 = 48,3547

Доверительный интервал прогноза зависит от стандартной ошибки, удаления xпрогн от своего среднего значения в ряде наблюдений xср, количества наблюдений n и уровня значимости прогноза α:

Стандартная ошибка Sст = 4,3968 (по данным таблицы 3).,1 = СТЬЮДРАСПОБР(0,1; 28) = 1,7011

Доверительный интервал L = 1,3204

Фактические значения исследуемого признака с вероятностью (1 - α) попадут в интервал

.

. Представим графически: фактические и модельные значения, точечный прогноз и доверительный интервал прогноза (для однофакторной модели).

Таблица 4 - Прогнозирование цены

Таблица 5 - Результаты прогнозных оценок