Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Министерство высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан
Ташкентский институт текстильной и легкой промышленности
Удк 516.517
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Методические указания
Ташкент-2010
Аннотация
Методическое указание написано в виде справочника, приведены план работы, каждый раздел содержит краткие теоретические введения, решения типовых примеров и задачи для самостоятельного решения. Цель методического указания помочь студентам самостоятельно решать задачи, может оказаться полезной и лицам, желающим повторить элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
СОСТАВИТЕЛЬ
Доцент кандидат физ .- матем. наук М.М.Сайдаматов
РЕЦЕНЗЕНТЫ
ТИТЛП проф. А.З. Маматов, НУУз проф. Б. Атажанов
Утверждено научно-
методическим
советом института
«_12__»___03____ 2010 г.
Протокол № _4___
Размножено в «_25__»
экземплярах
в типографии ТИТЛП
РАЗДЕЛ 1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Основные формулы
. Расстояние d между двумя точками М1(Х1 У1) и М2 (Х1 У2) определяются по формуле
d=М1М2= /1.1/
.Деление отрезка М1М2 в данном отношении.
Точка М делит отрезок М1М2 в отношении , если
М лежит на отрезке или на его продолжении и
= , /1.2/
причем перед дробью берется знак «плюс», если точка М лежит между М1 и М2, и знак «минус» - в противном случае. Если дано отношение , то координаты точек М (х, у) определяются по формулам
/1.3/
Если точка М(х,у) является серединой отрезка М1М2, то ее координаты определяются по формулам
/1.4/
. Общее уравнение прямой
Ах+Ву+С=0 /1.5/
При В 0 из /1.5/ получается уравнение
у=кх+в,
где угловой коэффициент , свободный член .
. Уравнение прямой по точке М0(х0,у0) и угловому коэффициенту К:
у-у0=к(х-х0) /1.6/
к=tg
. Уравнение прямой, проходящие через две точки: М1(х1,у1) и М2(х2,у2):
/1.7/
Угловой коэффициент прямой равен
/1.8/
. Углом между двумя прямыми называется наименьший из углови1
Тангенс угла между прямой с угловым коэффициентами К1 и К2 равен
/1.9/
. Условие параллельности двух прямых с угловыми коэффициентами
К1 и К2 ,
К1=К2 /1.10/
. Условие перпендикулярности двух прямых с угловыми коэффициентами К1 и К2
/1.11/
. Расстояние от точки М1(х1,у1) до прямой ax+by+c=0 вычисляется по формуле
/1.12/
ПРИМЕРЫ
.Дана прямая 2х-3у+3=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(1,1):
а) параллельно данной прямой;
б) перпендикулярно данной прямой.
Решение.
а) Определим угловой коэффициент К1 из уравнения данной прямой
Из условия параллельности прямых - см. формулу /1.10/ получаем угловой коэффициент искомой прямой
По точке М0 и угловому коэффициенту К2 составляем уравнение - см. формулу /1.6/
б) Из условия перпендикулярности прямых - см. формулу /1.11/ определим угловой коэффициент искомой прямой
По формуле /1.6/ составляем уравнение перпендикулярной прямой
или
Ответ: а) 2х-3у+1=0;
б) 3х+2у-5=0
. Найти проекцию точки Р()2,1) на прямой, проходящую через две точки: М1(1,-1) и М2(2,0).
Решение. Проекция Р1 является точкой пересечения данной прямой М1М2 и перпендикулярной прямой РР1.
а) Составим уравнение прямой М1М2 см. формулу /1.7/
или
Из этого уравнения определим угловой коэффициент: К1=1.
б) Из условия перпендикулярности прямых см. формулу /1.11/ найдем угловой коэффициент прямой РР1:
в) составим уравнение прямой РР1 по формуле /1.6/
или
г) найдем координаты проекции Р1, решая совместно два уравнения
Ответ:
. Найти точку Q, симметричную точке Р(5,-2) относительно прямой 5х-3у+3=0
Решение. Точка Q лежит на продолжении перпендикуляра РР1, опущенного из точки Р на прямую, на таком же расстоянии от прямой, что и точка Р. Поэтому точка Q делит отрезок РР1 в отношении
.
А) найдем координаты проекции Р1 (см. решение примера 2). Определим угловой коэффициент К1 данной прямой
.
Тогда угловой коэффициент К2 прямой PQ равен - см. формулу /1.11/
;
Уравнение прямой PQ имеет вид - см. формулу /1.6/
или
.
Координаты точки P1 находим при совместном решении двух уравнений
б) Находим координаты симметричной точки по формулам /1.3/:
, .
Ответ: Q(-5,4).
. Зная координаты вершин треугольника А(2,4), В(-1,3) и С(2,-1) найти:
а) уравнение и длину высоты АН;
б) уравнение медианы ВМ
в) угол В.
Решение. а) составим уравнение прямой ВС по формуле /1.7/:
или
х+3у-5=0
Из уравнения ВС определим угловой коэффициент:
угловой коэффициент высоты АН найдем по формуле /1.11/:
Составим уравнение прямой АН по формуле /1.6/:
или
х-4у+10=0
Расстояние от точки А до стороны ВС получим по формуле /1.12/:
б) Найдем координаты точки М по формулам /1.7/:
, .
Составим уравнение медианы ВМ по формуле /1.7/:
или
х+2н-5=0
в) Угловой коэффициент прямой АВ определим по формуле /1.8/:
Угол В вычисляем по формуле /1.9/:
Ответ: а) АН: 3х-4у+100=0,
б) ВМ: х+2у-5=0
в)
. Даны вершины треугольника А(4,6), В(-4,0) и С(-1,-4).
Составим уравнение биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине В.
Решение. а) Из школьного курса геометрии известно, что биссектриса ВК делит сторону АС в отношении
Определим длины сторон АВ и ВС по формуле /1.1/:
; . Тогда
б) Координаты точки К вычислим по формулам /1.3/:
, .
в)Составим уравнение биссектрисы ВК по формуле /1.7/:
или
х+7у+4=0
г) биссектриса BL перпендикулярна ВК, следовательно, угловой коэффициент КBL находим по формуле /1.11/:
.
д) Составим уравнение биссектрисы BL по формуле /1.6/:
у-0=7(х+4)
или
х-у+2В=0
Ответ: ВК: х+7у+4=0, BL: 7x-y+2B=0.
Самостоятельная работа
.Построить прямую, отсекающую на оси Оу отрезок и составляющую с осью Ох угол: .
.Дан треугольник с вершинами А(-2, 0), B(2,4), и С(4,0). Написать уравнения сторон треугольника, медианы AE, высоты AD и найти длину медианы AE.
.Определить вершины и углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями х+3у=0, х=3, х-2у+3=0.
.Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми у=2х, у=-2х и у=х+b.
РАЗДЕЛ 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
№1. Векторы. Линейные операции над векторами. Основные понятия и определения
. Вектором называется величина, которая характеризуется числовым значением и направлением в пространстве.
Геометрически вектор изображается отрезком определенной длины и определенного направления
Точка - начало вектора . Точка - конец вектора . Числовое значение вектора называется модулем / длиной / вектора: .
Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают.
Ортом вектора называется вектор, имеющий единичную длину и такое же направление, как и данный вектор .
. Коллинеарным называется векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.
Компланарными называются векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
. Два вектора считаются равными, если:
а) они имеются равные модули / длины/;
б) коллинеарные;
в) одинаково направлены.
. Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения их на числа.
Суммой двух векторов и называется третий вектор, идущий из начала вектора в конце вектора , когда начало вектора, приложено к концу вектора , сумму можно представить также как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к одному началу.
Произведением числа на вектор называется такой вектор, длина которого равна , а направление сохраняется прежним при и заменяется противоположным при . Если , то вектор называется противоположным вектору .
Свойства векторов
. (переместительный закон)
. (сочетательный закон ).
.
.
. (распределительный закон).
. (распределительный закон).
.
.
Линейной комбинацией n векторов коэффициентами называется вектор, равный
.
. проекцией вектора на ось (на вектор ) называется число, равное , где - проекцией начала А и - проекцией конца на ось (на вектор ), причем знак плюс берется, когда направление совпадает с направлением , а знак «минус в противном случае.
Проекция вектора вычисляется по формуле , где - наименьший угол, на который надо повернуть вектор , чтобы его направление совпало с направлением .
. Разложение вектора по базису.
Базисом в пространстве называются любые три некомпланарных вектора .
Разложить вектор по базису - это значит представить вектор в виде линейной комбинации
,
где - числа, называемые координатами вектора в данном базисе.
Базис в плоскости называются любые два неколлинеарных вектора -это значит представить вектор в виде линейной комбинацией , где и - числа, называемые координатами вектора в данном базисе.
Пусть - векторы/ направленные соответственно по осям OX, OY, OZ прямоугольной системы координат, имеющие единичную длину.
Базис называется прямоугольным базисом. Разложение вектора по базису имеет вид , где X,Y,Z - прямоугольные координаты вектора (символическое обозначение: ).
Прямоугольные координаты вектора равны проекциям этого вектора на оси координат.
Основные формулы в координатной форме
1.Координаты вектора, заданного двумя точками - началом
М1(X1, Y1, Z1) и концом М2(X2, Y2, Z2): X=X2-X1, Y=Y2-Y2, Z=Z2-Z1 /2.1/
Cуммой и разностью двух векторов
,
2.Модуль (длина) вектора : /2.2/
3.Направляющие косинусы вектора :
, , , /2.3/
где - угля между вектором и осями координат OX, OY, OZ соответственно.
Направляющие косинусы связаны формулой
. /2.4/
Орт вектор имеет координаты .
4.Координаты линейной комбинацией векторов
и
/2.5/,
.Признак коллинеарности векторов и :
/2.6/
ПРИМЕРЫ
. Определить координаты и модули векторов, заданных двумя точками
Б) Модули векторов находим по формуле /2.2/
Ответ:
. Определить начало вектора , направляющие конусы и орт ,если конец совпадает с точкой
Решение. А) из формулы /2.1/ получаем координаты начала :
Б) Модуль вектора определим по формуле /2.2/:
В) Направляющие конусы вычисляем по формуле /2.3/:
Г)Координаты орта числено равны направляющим конусам:
Ответ:
. Может ли вектор составлять с координатами осями углы
Решение. Для заданных величин формула /2.4/ не выполняется:
поэтому вектор не может составлять данные углы с осями координат.
. Даны два вектора и
Определить . По формуле /2.5/ получаем:
.Определить, при каких значениях α и β векторы и коллинеарны.
Решение. Используя признаки колинеарности векторов - см, формулу /2.6/, составим пропорцию:
. Найти разложение вектора по базису
Решение. Найдем коэффициенты α, β, γ в разложении .
Для этого запишем данную формулу в координатах. Координаты правой части вычислим, используя формулу /2.5/:
Эти координаты должны равняться соответствующим координатам вектора . Следовательно,
Решим полученную систему уравнений методом исключения неизвестных /методом Гаусса/:
Самостоятельная работа
.Определить координаты и модули векторов, заданных двумя точками .
.Определить, при каких значениях α и β векторы и
коллинеарны.
3. Найти разложение вектора по базису
. При каких значениях m векторы перпендикулярны
№ 2. Скалярное произведение векторов и его применение. Основные понятия и определения
1. Углом между векторами и будем называть наименьший из двух углов и /считаем, что всегда можно сделать параллельным переносом/.
. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между ними:
1.Скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию другого вектора на первый вектор:
2.Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда либо один из векторов равен нулю, либо они перпендикулярны.
3.Физический смысл скалярного произведения.
Работа А равнодействующей несколько сил , приложенных к материальной точке, при прямолинейном точке, при прямолинейном перемещении из положения М1 в положение М2, равна .
Свойства скалярного произведения.
. /переместительный закон/.
. /распределительный закон/.
. /сочетательный закон относительно числового множителя/.
. /скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его длины/.
Основные формулы в координатной форме.
1.Скалярное произведение векторов и :
/2.7/
.Угол между векторами и определяется по формуле
/2.8/
3.Признак перпендикулярности векторов и :
/2.9/
ПРИМЕРЫ
. В Параллелепипеда АBCDA`B`C`D` стороны АВ и АD взаимно перпендикулярны, а стороны АА` образует с ними углы в 1200. Определить длины диагоналей А`С и В`D если длины сторон равны АВ=2, АD=1, AA`=3.
Решение. Рассмотрим векторы . Из рисунка видно, что диагональ , лежащая в плоскости АА`C`C, удовлетворяет соотношению.
Для нахождения используем 4-е свойство скалярного произведения:
Аналогично, диагональ B`D, лежащая в плоскости DD`B`B, удовлетворяет соотношению
Поэтому
.
. Даны вершины треугольника А(1,2,-1), В(-1,0,1) и С(1,1,1). Определить его внутренний и внешний углы при вершине В.
Решение. а/ Внутренний угол при вершине В образован векторами и . Координаты векторов находим по формулам /2.1/:
б/ Косинус угла при вершине В находим по формуле /2.8/:
.
.
в/ Внешний угол при вершине В равен
,
. Найти сектор , зная, что он перпендикулярен к векторам и и удовлетворяет условию
Решение. Обозначим координаты искомого вектора
а/ Из условия перпендикулярности векторов /2.9/ получим
Последнее условие примера с учетом формулы /2.7/ примет вид
Х+2Y-Z=19
б/ Полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными решим методом исключения:
.
. Даны две точки М1(1,0,2) и М2(-1,1,1). Найти проекцию вектора на вектор .
Решение. а/ Определить координаты вектора :
.
б/ Скалярное произведение вычислим по формуле /2.7/:
в/ Проекция вектора на вектор с учетом формулы /2.8/ равна
Ответ: .
. Даны две силы и , приложенные к одной точке. Какую работу производит равнодействующая этих сил, когда её точка приложения прямолинейно перемещается из положения М1(0,1,1) в положение М2(1,-2,1)?
Решение. а/ Равнодействующая сила равна ;
б/ вектор перемещения равен
в/ Работу вычисляем по формуле /2.9/:
Ответ: А=4.
№ 3. Векторное произведение векторов и его применение
1. Ориентация системы векторов в пространстве.
Система трех некомпланарных векторов в пространстве может иметь две ориентации: правею и левую.
Поместим начала трех векторов в одну точку О и проведем через второй и третий векторы плоскость. Если смотреть из конца третьего вектора на конец второго, то первый вектор будет расположен либо с правой, либо с левой стороны от плоскости.
В первом случае система трех некомпланарных векторов имеет правую ориентацию, а во втором случае - левую.
. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символ /или / к удовлетворяющий условиям:
а/ длина вектора равна произведению длин векторов и , умноженному на синус угла между ними:
;
б/ вектор перпендикулярен векторам и .
в/ система трех векторов имеет правую
ориентацию. -18-
. Векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда либо один из векторов равен нулю, либо они коллинеарны.
. Геометрический смысл векторного произведения.
Модуль /длина/ векторного произведения векторов и равен площади S параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах:
/2.10/
. Физический смысл векторного произведения.
Момент силы , приложенной к материальной точке А, относительно точки О равен
. /2.11/
Свойства векторного произведения
. /антипереместительный закон/
. /распределительный закон/
. /сочетательный закон относительно числового множителя/
. /векторное произведение вектора на себя равно нулю/. Это свойства является следствием п.з. данного параграфа.
Векторное произведение вектора
и
В координатной форме:
/2.12/
ПРИМЕРЫ
. Векторы и образуют угол Зная, что вычислить площадь параллелограмма, построена на векторах и
Решение. а/ Используя свойства векторного произведения, вычислим
б/ Площадь параллелограмма найден, учитывая геометрический смысл векторного произведения:
.
Ответ: S=21
. Даны вершины треугольника А(1,-2,3), В(0,2,2) и С(-1,2,1). Вычислить площадь S треугольника АВС и длину высоты h, опущенной из вершины А на сторону ВС.
Решение: а/ Рассмотрим два вектора и , исходящие из общей точки С. Их координаты равны
По формуле /2.12/ определим векторное произведение этих векторов:
По формуле /2.10/ найдем S1 - площадь параллелограмма, построенного на векторах и :
.
Затем вычислим площадь треугольника АВС:
.
б/ По формуле /2.2/ определим длину сторон СВ:
.
Теперь из соотношения найдем длину высоты:
Ответ:
. Даны три силы и , приложенные к точке А(0,1,2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно начала координат О.
Решение. а/ найдем равнодействующую силу R по формуле /2.5/:
б/ Вычислим координаты вектора
в/ По формуле /2.11/ определим вектор момента равнодействующей силы в координатной форме:
г/ Вычислим величину момента: затем направляющие косинусы момента:
Ответ:
№ 4. Смешанное произведение и его применение
. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :
. Смешанное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда либо один из векторов равен нулю, либо они компланарны.
. Геометрический смысл смешанного произведения.
Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему V параллелепипеда, ребрами которого является эти векторы:
/2.13/
Знак смешанного произведения определяет ориентацию системы трех векторов в пространстве: если то система имеет правую ориентацию, если то левую.
Свойства смешанного произведения
.
. .
/При перестановке сомножителей смешанное произведение не изменится, если не изменится ориентация системы векторов. Если ориентация системы изменится, то у смешанного произведения изменится только знак/.
Смешанного произведение векторов
, ,
В координатной форме:
/2.14/
Признаки компланарности векторов
/2.15/
ПРИМЕРЫ
. Вычислить объем V тетраэдра, вершины которого находятся в точках А(-1,0,1), В(0,1,1), С(4,1,-2) и D(2,-1,0).
Решение. а/ Рассмотрим три вектора и , исходящие из общей точки А. Их координаты равны
.
б/ Вычислим смешанное произведение этих векторов по формуле /2.14/:
в/ Найдем объем параллелепипеда V1, учитывая геометрический смысл смешанного произведения, по формуле /2.13/:
г/ Объем тетраэдра V получим из соотношения
Ответ:
3.При каком значении α четыре точки А(0,1,-1), В(1,0,1), С(1,2,0) и D(1,1,α) лежат в одной плоскости?
Решение. а/ рассмотрим три вектора и , исходящие из общей точки А. Четыре точки А,В,С и D лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланерны.
Координаты этих векторов равны .
б/ Запишем условие компланетности трех векторов и в координатной форме - см. формула /2.15/:
Вычислим полученный определитель разложением по элементам третьей строки:
или1(-1-2)+(α+1)(1+1)=0,или-3+2(α+1)=0,
Ответ:
Самостоятельная работа
1.Построить пирамиду с вершинами 0(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0), С(1,2,4) и вычислить ее объем.
2.Даны векторы при каком значении m векторы компланарны.
.Построить пирамиду с вершинами 0(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0), С(1,2,4) и вычислить площадь грани АВС и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
.При каком значении α четыре точки А(0,1,-1), В(1,0, α ), С(1,2,0) и D(1,1,2) лежат в одной плоскости?
РАЗДЕЛ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Основные формулы
. Общее уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D=0 /3.1/
Высокий /не равный нулю/ вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором. Вектор - нормальный вектор плоскости, заданный уравнением /3.1/.
. Уравнение плоскости по точке М0(Х0,Y0,Z0) и нормальному вектору :
A(X-X0)+B(Y-Y0)+C(Z-Z0)=0/3.2/
. Уравнение прямой L в пространстве как линии пересечения двух плоскостей π1 и π2:
/3.3/
Где коэффициент А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2.
. Канонические уравнения прямой L в пространстве:
/3.4/
М0(Х0,Y0,Z0) - Точка на прямой L.
S={p, q, r} - направляющий вектор прямой L.
. Параметрические уравнения прямой L в пространстве:
М0(Х0,Y0,Z0) - Точка на прямой L.
S={p, q, r} - направляющий вектор прямой L /3.5/
λ - параметр, -∞< λ <∞.
ПРИМЕРЫ
. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1,-1,-1) параллельно векторам и .
Решение. а/ По условию задачи векторы и параллельны плоскости. Следовательно, по определению векторного произведения, вектор х перпендикулярен плоскости и может быть взят и качестве её нормального вектора . Найдем координаты вектора :
б/ По формуле /3.2/ составим уравнение искомой плоскости:
(х-1)+2(у+1)-(z+1)=0 или 2х-2у+z-3=0
Ответ: 2х-2y-z-3=0/
. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
М1(-1,1,2), М2(0,1,-1), М3(2,-1,-1).
Решение. а/ Рассмотрим векторы М1М2 и М1М3 параллельны искомой плоскости /более того, лежат в этой плоскости/. Следовательно, задача свелась к предыдущей задаче № 1: составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 параллельно двум векторам М1М2 и М1М3.
Координаты нормального вектора ищем по формуле
Уравнение искомой плоскости составил по формуле /3.2/:
(x+1)-6(y01)-2(z-2)=0 или 3x+3y+z-2=0
Ответ: 3x+3y+z-2=0
. Определить, при каком значении α следующие плоскости
х-6у+αz-4=0 и x-2y-z+1=0
а/ параллельны?
б/ перпендикулярны?
Решение. а/ Заданные плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллеарны. Координаты нормальных векторов равны
Запишем условие коллинеарности этих векторов - см. формула /2.6/:
Из пропорции получим α=-3.
б/ Заданные плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и перпендикулярны.
Запишем условие перпендикулярности этих векторов - см. формула /2.9/:
3+12-α=0
Откуда α=15
Ответ: При α=-3. плоскости параллельны, при α=15 плоскости перпендикулярны.
. Составить канонические и параметрические уравнения прямой
Решение. а/ Искомая прямая L является линией пересечения двух плоскостей. Найдем какую-либо точку, принадлежащую прямой L. Для этого в заданных уравнениях плоскостей положим какое-либо неизвестное равным постоянной, например, z=0.
Найдем значения двух других неизвестных из полученной системы уравнений:
Точка М(1,-2,0) лежит на прямой L.
б/ Определим направляющий вектор прямой S. Для этого найдем
нормальные векторы плоскостей: .
Вектор будет параллелен обеим плоскостям и, следовательно. Линии их пересечения L. Поэтому возьмем вектор в качестве направляющего вектора прямой L. Найдем координаты вектора :
в/ По формуле /3.4/ составим канонические уравнения прямой L:
г/ По формуле /3.5/ составим канонические уравнения прямой L:
-∞< λ <∞.
Ответ: , х=1-3λ, у=2-λ, z=2λ, (-∞< λ <∞).
. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки А(0,1,-1) и В(1,-2,0).
Решение. а/ Схематически изобразим прямую /более того, лежит не ней/, то его можно взять в качестве направляющего:
б/ По формуле /3.4/ составил канонические уравнения прямой, проходящей через точку А(0,1,-1) в направлении вектора
.
в/ По формулам /3.5/ составим параметрические уравнения искомой прямой:
-∞< λ <∞.
Ответ: , х=λ, у=1-3λ, z=-1+λ, (-∞< λ <∞).
. Составить канонические и параметрические уравнение прямой, проходящей через точку М(0,2,2) параллельно прямой
Решение. Схематически изобразим искомую прямую L и данную прямую L1. Определим направляющий вектор прямой L. Так как прямые по условию параллельны, то направляющий вектор прямой L можно взять равным направляющему вектору прямой L1. Из заданных канонических уравнений прямой L1 получим:
По формуле /3.4/ составим канонические уравнения искомой прямой L:
По формуле /3.4/ составим параметрические уравнения искомой прямой L:
-∞< λ <∞.
Ответ: , x=2λ, y=2+3λ, z=2-λ, (-∞< λ <∞).
7. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(1,-2,0) перпендикулярно плоскости
x-3y+z-1=0.
Решение. Схематически изобразим заданную плоскость π и искомую прямую L. Определим направляющий вектор прямой L. Так как эта прямая по условию перпендикулярна плоскости, то нормальный вектор плоскости параллелен прямой L. Поэтому возьмем вектор в качестве направляющего вектора искомой прямой L:
По формуле /3.4/ составим канонические уравнения прямой:
По формуле /3.5/ составим параметрические уравнения прямой:
-∞< λ <∞.
Ответ: , x=1+2λ, y=-2-3λ, z=λ, (-∞< λ <∞).
8. При каком значении α прямые
и
а/ параллельны? б/ перпендикулярны?
Решение. а/ Сначала из заданных уравнений в соответствии с формулами /3.4/ и /3.5/ определим направляющие векторы прямых
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны. Запишем условие коллинеарности этих векторов - см. формулу /2.6/:
.
Из пропорции получим
б/ Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны. Запишем условие перпендикулярности векторов - см. формулу /2.9/:
Отсюда .
Ответ: Прямые параллельны при и перпендикулярны при .
Самостоятельная работа
1. Определить, при каком значении α следующие плоскости
х-5у+z-4=0 и x-3y-αz+2=0
а/ параллельны? б/ перпендикулярны?
2.Составить канонические и параметрические уравнения прямой,
проходящей через две данные точки А(2,1,-1) и В(1,-2,0).
3. При каком значении α прямые и
а/ параллельны? б/ перпендикулярны?
3.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1,-1,-1)
параллельно векторам и .
РАЗДЕЛ 4. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
№ 1. Простейшие геометрические преобразования
. Построение графиков функций с помощью осевой симметрии.
А) с помощью симметрии относительно оси ОY
Б) с помощью симметрии относительно оси ОХ
. Построение графиков функций с помощью сжатия (или растяжения) с осями координат.
А) с помощью сжатия (или растяжения) к оси ОY. Если , то график функции растягивают от оси ОY в раз. Если , то график функций сжимают к оси ОY в раз. При К<0 дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОY.
Б) с помощью сжатия (или растяжения) к оси ОХ. Если , то график функции растягивают от оси ОХ в раз. Если , то график функций сжимают к оси ОХ в раз. При R<0 дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОХ.
3. Построение графиков функций с помощью переносов параллельно осям координат.
А) с помощью переноса параллельно оси ОХ на вектор .
Б) с помощью переноса параллельно оси ОY на вектор .
Построение графика функции с помощью композиции преобразований
График функции строят из графика функции с помощью последовательного выполнения преобразований 1 - 3:
А)
Если К<0, то дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОY.
Б)
Если R<0, то дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОX
В)
Г)
Построение графика функции
График функции при х ≥ 0 (в правой полуплоскости совпадает) получается с помощью симметрии относительно оси ОY, уже построенной для х ≥ 0 части графика.
Построение графика функции
График функции располагается в верхней полуплоскости и получается из графика функции следующим образом: все точки графика функции , лежащие на оси ОХ и выше её, остаются на месте; все точки графика функции б лежащие нише оси ОХ, отражаются симметрично относительно оси ОХ.
ПРИМЕРЫ
. Построить график дробно-линейной функции
Построение. Вначале данную функцию приводят к виду
:
Порядок построения графика:
А) Б) получают из графика растяжением от оси ОХ в 5 раз (ординаты всех точек увеличиваются в 5 раз).
А) получают на график Г) получают из графика отраженном симметрично относи- переносом параллельно тельно оси ОХ. Оси ОХ на вектор .
Д) получают из графика переносом параллельно оси ОY на вектор .
Асимптоты графика:
х=1 и у=-2
точки пересечения с осями:
,
. Построить график показательной функции .
Построение. Вначале данную функцию приводит к виду :
Порядок построения графика:
А) y=3x=f(x); Б) получают из графика у=3х растяжением от оси ОY в 2 раза (абсциссы всех точек увеличиваются в 2 раза).
В) получают из графика Г) получают из графи-
отражением симметрично ка переносом параллель-
относительно оси ОY. но оси ОХ на вектор
Точка пересечения с осью ОY:
C5(0,3)
. Построить график тригонометрической функций y=3cos(2x+1)
Построение. Вначале данную функцию приводят к виду
Порядок построения графика:
А) y=cosx = f(x); Б) y=cos2x получают из графика
y=cosx сжатием к оси ОY в 2 раза.
-
Период Т=2π Амплитуда А=1Период Т= π Амплитуда А=1
В) y=3cos2x получают из графика Г) получают из гра-
y=cos2x растяжением от оси ОХфика y=3cos2x переносом пара-
в 3 раза. ллельно оси ОХ на вектор .
Период Т=πАмплитуда А=3Точки пересечения с осями:
(0;3cos1) и ;
. Построить график логарифмической функции
Построение. Вначале данную функцию производят к виду:
Порядок построения графика:
А) получают из графика
отражением части,
расположенной в нижней полу-плоскости, симметрично относи-тельно оси ОХ.
В) получают из Г) получают из
графика переносом графика отра-
параллельно оси ОХ на вектор жжением части, расположенной
в нижней полуплоскости, сим-
метрично относительно оси ОХ.
Асимптота х=3
Точки пересечения с осями:
В3(2;0) и D(0;log23)
. Построить график обратной тригонометрической функции
Построение.
А) Б) получают на гра-
фика растяжением от оси ОY в 2 раза.
В) получают из гра-Г) получает из
фика растяжения от графика переносом
оси ОХ в 2 раза. параллельно оси ОХ на вектор
Точки пересечения с осями:
Е(-1;0) и F(0;π/3)
№ 2. Графическое решение систем неравенств
Множество решений неравенства y>f(x) (или y<f(x)) находят следующим образом.
На плоскости строят график функции y=f(x). Множество точек плоскости М(x,y), расположенных выше графика y=f(x), является множеством решений неравенства y>f(x), а множество точек М(x,y), расположенных ниже графика y=f(x), является множеством решений неравенства y<f(x), причем рассматривают только те точки, абсциссы которых принадлежит области определения функции f(x).
Множество решений неравенства f1(x)>f2(x) определяют следующим образом.
На плоскости строят графики функций y=f1(x) или y=f2(x).
Множество точек x оси OX, при которых график первой функции лежит выше графика второй функции является множеством решений неравенства f1(x)>f2(x).
Множество решений системы неравенств получают пересечением множеств решений отдельных неравенств входящих в систему.
ПРИМЕРЫ
1.Найти множество решений неравенства .
Решение: Построим графики показательной функции y=2x и линейной функции .
Определение точки пересечённая А(0,1) и В(2,4) графиков.
Множество точек оси ОХ, при которых график линейной функции лежит ниже графика показательной функции, образует интервал (0,2).
Ответ: (0,2)
.Построить область, удовлетворяющую системе неравенств
вектор произведение неравенство геометрический
Построение:
А) Строки график функции: y=arcsin x
Б) Строим график функции :
Множество решений второго неравенства системы заштриховано на чертеже (точки, лежащие на прямых y=±2, не принадлежат множеству решений).
В) Область, удовлетворяющая системе неравенств получается пересечением множеств решений первого и второго неравенств (точки, лежащие на верхней и нижней границах области, не принадлежат множеству решений, а точки, лежащие на баковых границах, принадлежат множеству).
.Построить область, удовлетворяющую системе неравенств.
Построение:А) Строим график функции
Множество решений первого неравенства
системы заштриховано на чертеже (точки, лежащие на оси ОY, не принадлежат множеству решений, так как абсцисса этих точек равна нулю и не входит в область определения функции ).
Б) Строим график функции :
Множество решений второго неравенства системы заштриховано
В) Области удовлетворяющие системе неравенств, получаются пересеченными множеств решений первого и второго неравенств (точки, держащие на границах областей, включая отрицательную полуось и точку 0, не принадлежат множеству решений системы).
. Построить область, удовлетворенную системе неравенств
Построение:
А) Строим графики функций y=-1 и y=ln(2-x):
Порядок построения график:
y=ln(2-x): 1) y=lnx
) y=ln(-x)
) y=ln[-(x-2)]
Б) Строям графики прямых линий В) Область, удовлетворяющая . системе неравенств, изображена на чертеже (границы области не принадлежат множеству решений).
Самостоятельная работа
1.Построить графики функции:
а) , б) , в) ,
г) , д) , е) y=4cos(3x-1)
ЛИТЕРАТУРА
Бугров Я.С., Никольский С.М.Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии М: Наука 1985
Бугров Я.С. Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление М:. Наука 1984.
Пискунов Н.С.Дифференциальное и интегральное исчисление М:. Наука 1985 Т.
Берман Г.М. Сборник задач по курсу математического анализа М: Наука 1985
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М: Наука 1980