Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
  • Формат файла:
    MS Word
  • Опубликовано:
    2013-12-04
  • Размер файла:
    35,7 Кб
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Задача 1. Даны векторы a, b, c, d. Для указанных в пп. 1-3 векторов требуется:

) вычислить скалярное произведение векторов из пункта; 2) найти модуль векторного произведения векторов; 3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов; 4) убедиться, что векторы a,b,c образуют базис; 5) найти координаты вектора d в этом базисе.

a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k, d=19i+30j+7k;

1) -7a, 4c; 2) 3a, 7b; 3) a, c.

. Вычислить скалярное произведение векторов из пункта:


) найти модуль векторного произведения векторов;


) проверить коллинеарность и ортогональность векторов и ;

Вектора коллиниарны если

,

или векторное произведение :

,

т.е. вектора и неколлиниарны.

Вектора и перпендикулярны если их скалярное произведение .


Т.е. и неперпендикулярны.

) Убедиться, что векторы a,b,c образуют базис;

a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k

В пространстве образует базис любая тройка некомпланарных векторов. Вектора некомпланарны, когда их смешанное произведение не равно 0;


Следовательно вектора образуют базис.

) Найти координаты вектора d=19i+30j+7k в базисе векторов a,b,c.


Получили систему:


Решим систему методом Крамера:

, , ,

; ;


Задача 2. Даны вершины A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) треугольника ABC.

Требуется найти:

уравнение стороны AB;

Уравнение прямой, проходящей через две точки А и В имеет вид:

АВ:

уравнение высоты CH и длину этой высоты;

Общее уравнение прямой имеет вид:

, где - координаты вектора нормали.

Определим a и b для прямой АВ:


Вектор нормали одновременно является направляющим вектором прямой СН. Тогда каноническое уравнение высоты будет иметь вид (с учетом того, что прямая проходит через точку ):


Длина высоты СН равна модулю проекции вектора АС или ВС на направление вектора


уравнение меидианы AM;

Определим координаты точки М:


Тогда уравнение АМ, проходящей через 2 точки имеет вид:


точку N пересечения медианы AM и CH;


уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину C;

Вектор

Тогда каноническое уравнение искомой прямой будет иметь вид:


) внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C.

A(-2,-3), B(1,6), C(6,1).


Задача 3. Составить канонические уравнения 1) эллипса, 2) гиперболы, 3) параболы по известным из условий 1 - 3 параметрам. Через a и b обозначены большая и малая полуоси эллипса или гиперболы, через F - фокус кривой, - эксцентриситет, 2 c - фокусное расстояние, - уравнения асимптот гиперболы, D - директриса кривой, A, B- точки, лежащие на кривой.


Составить каноническое уравнение эллипса, если

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:


Подставим координаты точки А в уравнение и получим:


Искомое каноническое уравнение эллипса имеет вид:


Составить каноническое уравнение гиперболы, если


Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:


Точка А является одной из точек пересечения гиперболы с осью ОХ. Следовательно .

Зная точку В найдем фокусное расстояние с гиперболы.


Следовательно, уравнение искомой гиперболы будет иметь вид:

вектор произведение эллипс гипербола


Составить каноническое уравнение параболы, если известна директриса

Каноническое уравнение искомой параболы имеет общий вид:

Директриса записывается виде


Следовательно искомое уравнение имеет вид:

Задачи 4. Даны четыре точки A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2), A3(x3,y3,z3), A4(x4,y4,z4). Требуется найти:

) уравнение плоскости A1A2A3;

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки имеет вид:


2) уравнение прямой, проходящей через точку A4, перпендикулярно плоскости A1A2A3;

Направляющий вектор прямой совпадает с вектором нормали плоскости A1A2A3 координаты которых определяются как


Каноническое уравнение искомой прямой принимает вид:


расстояние от точки A4 до плоскости A1A2A3 находится как:


синус угла между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3;Уравнение прямой A1A4 имеет вид:


Направляющий вектор прямой A1A4 . Тогда


) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A1A2A3. A1(7,5,3), A2(9,4,4), A3(4,5,7), A4(7,9,6).

Косинус угла между плоскостями определяется как косинус угла между его нормалями:


Похожие работы на - Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!