Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Элементы векторной алгебры и
аналитической геометрии
Задача 1. Даны векторы a, b, c, d. Для указанных
в пп. 1-3 векторов требуется:
) вычислить скалярное произведение векторов из
пункта; 2) найти модуль векторного произведения векторов; 3) проверить коллинеарность
и ортогональность векторов; 4) убедиться, что векторы a,b,c образуют базис; 5)
найти координаты вектора d в этом базисе.
a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k,
d=19i+30j+7k;
1) -7a,
4c; 2) 3a,
7b; 3) a,
c.
. Вычислить скалярное произведение векторов из
пункта:
) найти модуль векторного
произведения векторов;
) проверить коллинеарность и
ортогональность векторов 
и 
;
Вектора коллиниарны 
если
,
или векторное произведение 
:
,
т.е. вектора и неколлиниарны.
Вектора и перпендикулярны
если их
скалярное произведение 
.
Т.е. и неперпендикулярны.
) Убедиться, что векторы a,b,c
образуют базис;
a=10i+3j+k,
b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k
В пространстве образует базис любая
тройка некомпланарных векторов. Вектора некомпланарны, когда их смешанное
произведение не равно 0;
Следовательно вектора образуют
базис.
) Найти координаты вектора
d=19i+30j+7k в базисе векторов a,b,c.
Получили систему:
Решим систему методом Крамера:
, 
, 
, 
; 
; 
Задача 2. Даны вершины A(x1, y1),
B(x2, y2), C(x3, y3) треугольника ABC.
Требуется найти:
уравнение стороны AB;
Уравнение прямой, проходящей через
две точки А и В имеет вид:
АВ: 
уравнение высоты CH и длину этой
высоты;
Общее уравнение прямой имеет вид:
, где 
- координаты вектора нормали.
Определим a и b для прямой АВ:
Вектор нормали 
одновременно
является направляющим вектором прямой СН. Тогда каноническое уравнение высоты
будет иметь вид (с учетом того, что прямая проходит через точку 
):
Длина высоты СН равна модулю
проекции вектора АС или ВС на направление вектора
уравнение меидианы AM;
Определим координаты точки М:
Тогда уравнение АМ, проходящей через 2 точки
имеет вид:
точку N пересечения медианы AM и CH;
уравнение прямой, параллельной
стороне AB и проходящей через вершину C;
Вектор 
Тогда каноническое уравнение искомой
прямой будет иметь вид:
) внутренний угол при вершине A и
внешний угол при вершине C.
A(-2,-3), B(1,6), C(6,1).
Задача 3. Составить канонические
уравнения 1) эллипса, 2) гиперболы, 3) параболы по известным из условий 1 - 3
параметрам. Через a и b обозначены большая и малая полуоси эллипса или
гиперболы, через F - фокус кривой, 
- эксцентриситет, 2 c - фокусное
расстояние, 
- уравнения
асимптот гиперболы, D - директриса кривой, A, B- точки, лежащие на кривой.
Составить каноническое уравнение
эллипса, если 
Каноническое уравнение эллипса имеет
вид:
Подставим координаты точки А в
уравнение и получим:
Искомое каноническое уравнение
эллипса имеет вид:
Составить каноническое уравнение
гиперболы, если
Каноническое уравнение гиперболы
имеет вид:
Точка А является одной из точек
пересечения гиперболы с осью ОХ. Следовательно 
.
Зная точку В найдем фокусное
расстояние с гиперболы.
Следовательно, уравнение искомой
гиперболы будет иметь вид:
вектор произведение
эллипс гипербола
Составить каноническое уравнение
параболы, если известна директриса 
Каноническое уравнение искомой
параболы имеет общий вид: 
Директриса записывается виде
Следовательно искомое уравнение
имеет вид: 
Задачи 4. Даны четыре точки
A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2), A3(x3,y3,z3), A4(x4,y4,z4). Требуется найти:
) уравнение плоскости A1A2A3;
Уравнение плоскости, проходящей
через 3 точки имеет вид:
2) уравнение прямой, проходящей через точку A4,
перпендикулярно плоскости A1A2A3;
Направляющий вектор прямой совпадает с вектором
нормали плоскости A1A2A3 координаты которых определяются как
Каноническое уравнение искомой
прямой принимает вид:
расстояние от точки A4 до плоскости
A1A2A3 находится как:
синус угла между прямой A1A4 и
плоскостью A1A2A3;Уравнение прямой A1A4 имеет вид:
Направляющий вектор прямой A1A4 
. Тогда
) косинус угла между координатной
плоскостью Oxy и плоскостью A1A2A3. A1(7,5,3), A2(9,4,4), A3(4,5,7), A4(7,9,6).
Косинус угла между плоскостями
определяется как косинус угла между его нормалями:
