Расчет показателей функций
Задача 1
Вычислить 
.
Решение
Заметим, что 
и
.
Тогда
.
Ответ:
3/2.
Задача 2
Пусть матрицы 
и
такие
что: 
,
и
выполнено условие:
.
Требуется:
) Предложить матрицы 
и
,
удовлетворяющие этому уравнению;
) Доказать, что
.
Решение
Так как, по условию
,
Откуда 
.
Обозначим 
.
Тогда 
.
Умножим последнее уравнение на 
слева, получим:
, откуда 
.
Следовательно, 
,
то есть 
.
Так как 
,
то .
Задача 3
Доказать, что 
.
Решение
Докажем, что 
.
Умножим обе части на 
,
получим 
.
То есть, 
или
.
Что очевидно: 
.
Тогда: 
.
Задача 4
Разложить функцию 
по
формуле Тейлора в окрестности точки 
. Рассчитать коэффициент
при
.
Решение
1 способ.
Непосредственно проводя вычисления производных, получим, до пятого члена:
.
способ.
Перемножим 2 ряда, используя метод неопределенных коэффициентов:
.
способ.
По формуле Эйлера:
, с учётом 
,
получим
.
Данное разложение позволяет легко
определить любой коэффициент.
Задача 5
Найти пределы: а) 
,
б) 
,
в) 
.
Решение. а)
;
б) 
,
в) 
.
Задача 6
Дан эллипс 
.
Требуется:
1) Предложить уравнение
гиперболы, имеющее такие же координаты фокусов;
) Показать, что таких
гипербол бесконечно много;
) Показать, что эти
гиперболы ортогональны данному эллипсу.
Решение
Из уравнения эллипса
получаем координаты фокусов 
и эксцентриситет 
.
Пусть искомая гипербола
имеет вид 
.
С учетом условий: 
,
где 
.
Пусть 
-
точка пересечения параболы и гиперболы. Уравнения касательных для этих кривых в
имеют
вид: 
с
угловыми коэффициентами 
.
Далее, из системы
уравнений 
получаем
.
Окончательно, 
.
Задача 7
Найти все корни
уравнения 
.
Решение
Очевидно, что данное
уравнение имеет ровно 2016 корней с учетом кратных и комплексных корней: 
,
,
.
уравнение тейлор
гипербола координата
Задача 8
Накануне Летних
Олимпийских Игр 2016 года в Рио-де-Жанейро Всемирное Антидопинговое Агентство
решило проверить всех спортсменов на употребление запрещенного вещества -
мельдония. Современные методы позволяют обнаружить мельдоний, даже если
анализируется смесь проб у нескольких спортсменов. Поэтому, чтобы уменьшить
количество проб и расходы на них, было предложено смешивать пробы 
спортсменов,
и если проба дала отрицательный результат, то все спортсмены допущены к
соревнованиям. Если же результат допинг-пробы положительный, берется еще проб
у каждого спортсмена в отдельности. Найти оптимальную численность группы ,
если вероятность того, что спортсмен принимал мельдоний 
.
Считать, что число спортсменов достаточно велико.
Решение
Вероятность того, в
группе из спортсменов
получится отрицательная проба равна 
. Тогда «функция
экономии» будет 
она
имеет максимум при 
.
Задача 9
При каких значениях
параметра 
предел
будет
конечным и ненулевым? Найти этот предел.
Замечание.
Разложение функции 
в
ряд Тейлора: 
Решение
Воспользуемся
разложением в ряд Тейлора функций 
и 
до
:
,
.
Тогда 
.
Для того, чтобы предел был конечным и ненулевым, необходимо, чтобы коэффициент
в числителе при 
был
отличен от 0, а коэффициенты при меньших степенях были равны 0. Отсюда получим:
Тогда 
,
откуда получаем 
.
Для данных значений параметра 
.
Ответ: при
.
Задача 10
Найти производные 
,
,
если 
Решение
Перепишем функцию в виде
.
Тогда 
и
.
Так как 
,
,
,
то 
,
.
Задача 11
Вычислить площадь
фигуры, заданной условиями: 
и 
.
Решение
Очевидно, что фигура
симметрична относительно осей координат, поэтому 
, где 
-
площадь фигуры в первой четверти. Точка пересечения линий 
и
-
точка (4,3). Получим:
. 
Ответ:
.
Задача 12
Вычислить интегралы:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
Примечание.
-
целая часть числа ,
-
знак числа 
.
Решение
а) 
.
б) 
.
в) 
.
Ответ: а) 
;
б) 
;
в) 
.
Задача 13
1. Показать, что
функция 
удовлетворяет
функциональному уравнению 
для
любых 
,
где 
-
множество положительных вещественных чисел.
. Найти все
дифференцируемые функции 
удовлетворяющие
данному функциональному уравнению для любых .
Решение
Перепишем условие в виде
.
Переходя к пределу, получим
,
, т.е. 
.
Таким образом, 
,
где из начальных условий следует 
.
Задача 14
Решить дифференциальное
уравнение 
.
Указание.
Использовать замену 
.
Решение
Замена ,
получим
; 
.
Тогда 
,
.
В итоге исходное
уравнение имеет вид 
,
с решением 
или
.
Задача 15
Сборная России по
футболу насчитывает 28 человек, каждый из которых является рыцарем (всегда
говорит правду) или лжецом (всегда лжет). Во время пресс-конференции у каждого
футболиста спросили, сколько в сборной рыцарей. Первый сказал: «Число рыцарей в
сборной - делитель 1». Второй сказал: «Количество рыцарей в сборной - делитель
2» и т.д. до 28-го, который сказал: «Количество рыцарей в сборной - делитель
28». Определите, сколько в сборной России рыцарей.
Решение
Может ли в сборной не
быть рыцарей вообще? Да. В этом случае все 28 членов сборной солгали бы, так
как 0 не является делителем никакого из названных чисел.
Может ли в сборной быть
ровно 1 рыцарь? Нет. В этом случае все 28 членов сборной оказались бы рыцарями.
1≠28.
Может ли в сборной быть
ровно 2 рыцаря? Нет. В этом случае каждый второй член сборной был бы прав, и 14
человек были бы рыцарями. 2≠14.
Может ли в команде быть
ровно 3 рыцаря? Нет. В этом случае каждый третий член сборной был бы прав, и 9
человек были бы рыцарями. 3≠9.
Может ли в сборной быть
ровно 4 рыцаря? Нет. В этом случае каждый четвёртый член сборной был бы прав, и
7 человек были бы рыцарями. 4≠7.
Может ли в сборной быть
ровно 5 рыцарей? Да. В этом случае каждый пятый член сборной был бы прав. Были
бы правы игроки под номерами 5, 10, 15, 20 и 25.
Может ли в сборной быть
ровно 6 рыцарей? Нет. В этом случае каждый шестой член сборной был бы прав. 4
человека были бы рыцарями. 6≠4.
Может ли в команде быть
больше шести рыцарей? Нет. В этом случае правду сказали бы меньше четырёх
человек.
Ответ:
В сборной России по футболу ноль или пять рыцарей.