Методы решения дифференциальных уравнений

Контрольная работа

Методы решения дифференциальных уравнений

Содержание

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Методы Рунге - Кутты

1.2 Аппроксимация МНК

1.3 Метод золотого сечения

1.4 Метод прямоугольников

2. Расчетная часть

Заключение

Список литературы

Введение

Дифференциа́льное уравне́ние - уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные. Решить дифференциальное уравнение не просто. Есть большое число способов их решения.

1. Теоретическая часть

1.1 Методы Рунге - Кутты

Методы Рунге-Кутты - важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений <#"878203.files/image001.gif">

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

где h - величина шага сетки по x

Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O (h⁴) (ошибка на каждом шаге порядка O (h⁵)).

.2 Аппроксимация МНК

Метод наименьших квадратов - один из методов регрессионного анализа <#"878203.files/image007.gif">. Тогда для того, чтобы найти определённое значение этой функции на заданном отрезке, отвечающее критерию поиска (пусть это будет минимум <#"878203.files/image008.gif"> и  такие, что:

 <#"878203.files/image011.gif">,

где  - пропорция золотого сечения <#"878203.files/image013.gif">

То есть точка  делит отрезок  в отношении золотого сечения. Аналогично  делит отрезок  в той же пропорции. Это свойство и используется для построения итеративного процесса.

1.      Шаг 1. Задаются начальные границы отрезка  и точность .

2.      Шаг 2. Рассчитывают начальные точки деления:

3.      и значения в них целевой функции <#"878203.files/image019.gif">.

§   Если  (для поиска max изменить неравенство на ), то

§   Иначе .

4.      Шаг 3.

§   Если , то  и останов.

§   Иначе возврат к шагу 2.

1.4 Метод прямоугольников

Метод прямоугольников - метод численного интегрирования <#"878203.files/image026.gif"> является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по

В случае разбиения отрезка интегрирования на  элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы

1.      Для левых прямоугольников:

.        Для правых прямоугольников:

Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически, либо каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной точке. В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле трапеций <#"878203.files/image031.gif">

Рисунок 1-полученные значения

. Составим Блок-схему алгоритма программы

Рисунок 2 - Блок-схема алгоритма

Заключение

Освоение методов решения дифференциальных уравнений, в ходе выполнения курсовой работы, позволяет проводить различные вычислительные операции, которые упрощают вычисления.

Метод Рунге-Кутты позволяет вычислить дифференциальное уравнение за короткое время. Удобен в работе.

Аппроксимация МНК достаточно трудоемко в использовании.

Метод золотого сечения очень прост в использовании, легок к восприятию.

Метод наименьших квадратов прост в использовании, имеет не очень высокую точность.

Данные методы были реализованы на языке высокого уровня программирования PASCAL.

Список литературы

1. Демидович Б.П., Марон Дифференциальное исчисление 2010г.

. И.А., Шувалова Э.З. "Численные методы анализа", М.: "Наука" 2012г.

3. <http://rsc-team.ru/>

. http://pascal. proweb. kz <http://pascal.proweb.kz/>