Дослідження випадкових процесів

Дослідження випадкових процесів

ПЕРША ЧАСТИНА. Дослідження випадкових процесів

Завдання 1. Характеристика випадкових процесів

Метою даного завдання є дослідження заданого та теоретичного закону розподілу випадкового процесу.

Завдання: За заданої щільності розподілу визначити, який це закон розподілу. У результаті побудувати щільність розподілу, функцію розподілу, а також гістограму розподілу випадкового процесу . Одномірні щільності розподілу задано в табл. 1. Після проведених досліджень визначити кількісні характеристики випадкового процесу: математичне сподівання, дисперсію, «асиметрія» і ексцес.

Номер варіанту - 1.

Заданий параметр розподілу - 10.

Згідно варіанту задана одномірна щільність розподілу ймовірності  =  стаціонарного у вузькому сенсі випадкового процесу . Область значень випадкових величин:  і параметр: =10.

Заданий закон є експоненційним законом розподілу випадкових величин.

Експонеційний закон розподілу відіграє велику роль в теорії масового обслуговування та теорії надійності.

Безперервна випадкова величина X має експоненційний закон розподілу з параметром , якщо її щільність ймовірності f(x) має вигляд:

На рис 1.8 показано графік щільність розподілу ймовірності експоненційного закону розподілу.

Графік щільності розподілу ймовірності еспоненційного закону

Функція розподілу випадкової величини X, розподіленої по експоненційному закону, є

Графік функції F(х) наведений на рис 1.9.

Визначимо числові характеристики випадкової величини з рівномірним розподілом.

Математичне очікування

Дисперсія

Середньоквадратичне відхилення

Коефіцієнт асиметрії

.

Ексцес дорівнює

Графік функції розподілу експоненційного закону

Дослідження заданого закону.

Так як щільність  = , а заданий параметр b=10, то

, а отже функція розподілу випадкового процесу має вигляд:

,

а щільність розподілу:

.

Потім було виміряно параметри експоненційного закону:

Потім було побудовано гістограму експоненційного закону. Для цього було задано кількість випробувань, знайдено нормовані висоти столбців, сформовано дані для гістограми за допомогою функції hist (intervals, data), що повертає вектор з числом точок з data, що потрапили у відповідний інтервал з кордонами, заданих b вектором intervals:

,

де int - інтервал частот.

Отже, числові статистичні характеристики заданого закону розподілу:

.

Завдання №2. Перетворення випадкових процесів

Метою даного завдання є дослідження перетворення випадкових процесів, а саме щільності розподілу на виході безінерційного пристрою.

Завдання: На безінерційний радіотехнічний пристрій впливає стаціонарний випадковий сигнал  і має щільність розподілу . Знайти в загальному вигляді щільність розподілу  сигналу на виході цього пристрою по заданій щільності розподілу ймовірностей розрахованій в завданні 1 та заданій характеристиці пристрою (детермінованій функції) .

За результатами проведених теоретичних та практичних досліджень побудувати графік залежності щільності розподілу  на виході безінерційний пристрою. В результаті проведених досліджень порівняти вхідну  та отриману щільність  розподілу випадкового процесу на виході цього пристрою.

Варіант: (m - n), де m - передостання; n - остання цифри номера студентського квитка - (10-1)=9.

: .

Сигнал на вході пристрою має вигляд:

та його щільність:

.

Щільність розподілу сигналу на виході знаходимо за формулою:

.

Характеристика пристрою, що залежить від y має вигляд:

Для того, щоб знайти , потрібно прийняти , тоді.

Потім було знайдено похідну від оберненої детермінованої функції, що дорівнює ½.

Отже, в загальному вигляді функція щільності сигналу на виході має таке рішення:

І має такий графік:

Якщо порівняти щільність на вході і виході неінерційного виходу, то можна побачити, що характеристики сигналу не змінюються зі зміною його аргументу:

ДРУГА ЧАСТИНА. Дослідження параметричних алгоритмів виявлення сигналів

Мета завдання:

1) Ознайомлення з основними алгоритмами виявлення сигналів.

2)      Вивчення особливостей виявлення нормального сигналу на фоні нормального шуму методом накопичення відліків згинаючої випадкового процесу.

)        Оцінка ефективності алгоритмів виявлення сигналів методом математичного проектування в середовищі MathCAD

Завдання:

1.   сформувати випадковий процес згідно заданому варіанту (табл.4);

2.      сформувати інформаційний сигнал згідно заданому варіанту(табл.4);

.        сформувати адитивну суміш;

.        визначити кількісні характеристики (математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення) для випадкового процесу, інформаційного сигналу, адитивної суміші;

5.      побудувати щільність розподілу і розрахувати вузькополосний випадковий процес на вході детектора огинаючої за відсутності корисного сигналу ();

.        побудувати щільність розподілу і розрахувати корисний сигнал у вигляді адитивної суміші сигналу і шуму на вході детектора огинаючої ();

.        побудувати і розрахувати густину обвідної нормального випадкового процесу при лінійному детектуванні, яке описується законом Релея при відсутності сигналу і при наявності сигналу;

.        побудувати і розрахувати криві розподілу відліків обвідної процесу за відсутності та за наявності сигналу;

.        побудувати і розрахувати криві розподілу перевірочної статистики ;

.        розрахувати поріг прийняття рішення на основі кривих розподілу перевірочної статистики  дослідним шляхом для різної кількості відліків перевірочної статистики;

.        на підставі розрахованого порогу прийняття рішення знайти ймовірність правильного прийняття рішення  та ймовірності помилкової тривоги  для різної кількості відліків перевірочної статистики;

.        провести оцінку точності процедури прийняття рішення на підставі побудови графічної залежності ймовірності правильного прийняття рішення  від співвідношення сигнал/шум  і кількості відліків  перевірочної статистики;

.        результати сформувати у вигляді зведеної таблиці і побудувати графічні залежності ймовірності правильного прийняття рішення  від співвідношення сигнал / шум  і кількості відліків перевірочної статистики .

Номер варіанту - 30

Спочатку було створено для всіх процесів корисний сигнал (радіоімпульс з амплітудою 14мВ та структурою сигнала 11011000):

та виміряно його параметри:

Отже, тепер можна сформувати перший випадковий процес для =0,5 та знайти його характеристики за допомогою вбудованих функцій MathCad.

1.      mean (A) - Повертає середнє значення елементів масиву A розмірності mxn;

2.      var (A) - Повертає дисперсію елементів масиву A розмірності mxn;

3.      stdev (A) Повертає середньоквадратичне відхилення (квадратний корінь з дисперсії) елементів mxn.

Потім було сформовано адитивну суміш заданого радіоімпульсу та випадкового процесу. Також було визначено характеристики:

Потім було побудовано щільність розподілу і розраховано вузькополосний випадковий процес на вході детектора огинаючої за відсутності корисного сигналу.

Структурна схема виявлення з накопиченням відліків огинаючої випадкового процесу:

Звідси видно, що на вхід детектора огинаючої за відсутності корисного сигналу () надходить вузькополосний випадковий процес, який представляє собою стандартний (гаусівський) шум з математичний очікуванням і має щільність розподіл ймовірності виду:

,

де - дисперсія (потужність) шуму. При наявності на вході, детектора корисного сигналу () з математичним очікуванням щільність розподілу адитивної суміші сигналу і шуму також має нормальний розподіл:

де  - дисперсія (потужність) адитивної суміші сигналу і шуму,

 - потужність сигналу (потужністю інформативного сигналу виступає його амплітуда).

Для її виведення використана теорема складання дисперсій: дисперсія суми некорельованих випадкових величин дорівнює сумі дисперсій доданків. Крім того, відомо, що сума нормальних процесів також розподілена за нормальним законом. Розподіл (18) зручно записати у вигляді

,

де  - відношення огинаючої потужності сигналу до потужності завади.

Отже,

На виході детектора виділяється обвідна вхідного випадкового процесу і завдання полягає у побудові і розрахунку густину цієї обвідної при лінійному детектуванні. Щільність розподілу обвідної нормального випадкового процесу при лінійному детектуванні описується законом Релея:

при відсутності сигналу:

і при наявності сигналу

Для цього було побудовано і розраховано густину обвідної нормального випадкового процесу при лінійному детектуванні, яке описується законом Релея при відсутності сигналу і при наявності сигналу:

Математичне очікування та дисперсія дискретних релеївських відліків при відсутності сигналу:

та при наявності сигналу:

Криві розподілу відліків огинаючої процесу за відсутності та за наявності сигналу:

Криві розподілу перевірочної статистики :

Для прийняття рішення  про те, що на вході детектора є корисний сигнал, необхідно, щоб випадкова величина  перевищила поріг .

Значення порогу при виявлення сигналів вибирають при розрахунках відповідно до критерію Неймана-Пірсона так, щоб ймовірність перевищення його статистикою за відсутності сигналу була б не більш наперед заданої:

після спрощення отримаємо:

,

де  - табульований інтеграл ймовірності.

При заданому значенні ймовірності помилкової тривоги  значення порогу вирішенні  може бути знайдено за допомогою таблиць з попереднього рівняння.

Вірогідність  правильного виявлення сигналу визначається виразом:

або

Отже, спочатку перша перевірочна статистика для 2 дискретних відліків:

Потім друга перевірочна статистика для 4 дискретних відліків:

випадковий процес очікування розподіл

Третя перевірочна статистика для 10 дискретних відліків:

Четверта перевірочна статистика для 100 дискретних відліків:

Аналогічні обчислення були використані й для другого та третього випадкового процесу:

Оцінка точності процедури прийняття рішення проводиться на підставі побудови графічної залежності ймовірності правильного прийняття рішення від співвідношення сигнал/шум і кількості відліків перевірочної статистики.

Задана ймовірність правильного виявлення  при збільшенні обсягу накопичення  може бути досягнута при меншому значенні відношенні сигнал/шум .

При заданому  збільшення  забезпечує збільшення ймовірності правильного виявлення сигналів на фоні шумів.

Висновки

Випадковий процес називається стаціонарним випадковим процесом, якщо його характеристики не змінюються зі зміною його аргументу, тобто, однакові у всіх перетинах процесів X (t) і ( ) 0 X t + t , де 0 t - будь-яке фіксоване число.

Вид щільності розподілу зміниться після безінерційного перетворення.